Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Homogenizacja Kulawik Krzysztof. Jeśli liczba niejednorodności w rozważanym ośrodku jest niewielka, to znalezienie rozwiązania tego zagadnienia jest,

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Homogenizacja Kulawik Krzysztof. Jeśli liczba niejednorodności w rozważanym ośrodku jest niewielka, to znalezienie rozwiązania tego zagadnienia jest,"— Zapis prezentacji:

1 Homogenizacja Kulawik Krzysztof

2 Jeśli liczba niejednorodności w rozważanym ośrodku jest niewielka, to znalezienie rozwiązania tego zagadnienia jest, oczywiście, możliwe bądź analitycznie, bądź numerycznie. Jeśli jednak liczba niejednorodności jest bardzo duża, to rozwiązanie analityczne jest najczęściej niemożliwe, a rozwiązanie numeryczne coraz bardziej czasochłonne i wraz ze wzrostem liczby niejednorodności – coraz bardziej niestabilne.

3 Cel metody Celem metody homogenizacji jest sformułowanie dla zadanego ośrodka niejednorodnego równoważnego mu w sensie średniego zachowania ośrodka jednorodnego.

4 W skali mikro muszą zatem być dane: równania równowagi dla każdej fazy (każdego składnika) układu, warunki brzegowe na granicy rozdziału faz, związki konstytutywne wraz z parametrami, geometria.

5 Natomiast w procesie homogenizacji musimy otrzymać: równania równowagi, związki konstytutywne wraz z parametrami efektywnymi, prawo lokalizacji, tzn. związek pozwalający określić wszystkie pola fizyczne na poziomie mikroskopowym, gdy znane są makroskopowe pola fizyczne.

6 Metodologicznie proces homogenizacji formułowany jest w literaturze na dwa sposoby: Reprezentowanej elementarnej objętości (REO) Matematyczna teoria homogenizacji

7 Metoda wygładzania Podstawowym założeniem teorii homogenizacji, interpretowanej w sensie metody wygładzania, jest postulat o możliwości zdefiniowania w rozważanym ośrodku mikroniejednorodnym tzw. reprezentatywnej elementarnej objętości (REO). Przez pojęcie to rozumie się najmniejszą objętość rozważanego ośrodka, która zawiera wszystkie informacje potrzebne do kompletnego opisu struktury i własności całego materiału Proces przejścia mikro–makro jest oparty na operacji uśredniania (1) – miara objętości REO, m(y) – pewna funkcja wagi

8 Rys. 1. Schemat metody wygładzania

9 W procesie wygładzania wyróżnia się dwie rodziny zmiennych fizycznych, tzn.: zmienne makroskopowe opisujące stan ośrodka jednorodnego, którego właściwości poszukujemy, oraz zmienne mikroskopowe – opisujące stan ośrodka w obrębie REO (rys. 2) Rys. 2. Dwie rodziny zmiennych fizycznych definiowane w metodzie wygładzania

10 Uzupełnienie opisu lokalnego o warunki brzegowe na granicy REO umożliwia również określenie prawa lokalizacji, tj. zależności pozwalającej na obliczanie wartości i rozkładów mikroskopowych pól fizycznych, gdy dane są wartości makroskopowych zmiennych fizycznych i pełna informacja o mikrostrukturze.

11 Uszczegółowienie metody wygładzania Metody wagowego i objętościowego uśredniania - w mechanice ośrodków wielofazowych, Ciągła mikromechanika - do analizy procesu deformacji ośrodka, jak również do prognozowania właściwości efektywnych kompozytowych ośrodków stałych,

12 Matematyczna teoria homogenizacji Jeśli liczba niejednorodności jest bardzo duża (zdąża do nieskończoności), to rozwiązanie dla ośrodka niejednorodnego jest bliskie rozwiązaniu dla ośrodka makroskopowo jednorodnego. Przy ustalonej objętości ośrodka niejednorodnego wzrost liczby niejednorodności implikuje spadek wymiaru pojedynczej niejednorodności (rys. 3).

13 Rys. 3. Schematyczny obraz matematycznej teorii homogenizacji

14 W matematycznym sformułowaniu metody homogenizacji, proces przejścia z jednej skali obserwacji do drugiej dokonuje się więc poprzez parametryzację mikroskopowego opisu matematycznego parametrem skali ε > 0 (np. wymiar niejednorodności), a następnie żądaniem, aby ε 0. Otrzymane przy żądaniu ε 0: granica rozwiązania oraz opis matematyczny spełniony przez tę granicę są poszukiwanymi: polem makroskopowym, opisem makroskopowym. Rozważa się więc cały zbiór zagadnień parametryzowanych przez ε, a nie jedną konkretną sytuację, jak w metodzie wygładzania.

15 Zależnie od rodzaju ośrodka, tj. czy jest to ośrodek periodyczny czy losowy, przy dowodzeniu zbieżności stosuje się, odpowiednio, twierdzenia o zbieżności ciągu funkcji okresowych (homogenizacja dla struktur periodycznych) lub twierdzenia ergodyczne (homogenizacja stochastyczna).

16 Pod względem narzędzia oraz pojęć matematycznych stosowanych do opisu ośrodka losowego oraz dowodzenia zbieżności, homogenizacja stochastyczna jest o wiele bardziej skomplikowana (pojęcia z teorii miary, ergodyczności, systemów dynamicznych etc.) niż homogenizacja struktur periodycznych. Świadczy o tym kolejność otrzymywanych wyników, tj.: najpierw ekwiwalentny opis matematyczny dla ośrodka o strukturze periodycznej, a następnie rozszerzenie ważności na ośrodki losowe

17 Zastosowanie metod homogenizacji Jest podstawą, w zasadzie wszystkich stosowanych w geotechnice metod obliczeniowych dla ośrodków gruntowych i skalnych, Modelowanie naprężeń własnych w kompozytach,

18 Literatura [1]. ŁYDŻBA D., Zastosowania metody asymptotycznej homogenizacji w mechanice gruntów i skał, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 2002 [2]. Golański D., Modelowanie naprężeń własnych w kompozytach MMC z wykorzystaniem metody homogenizacji i techniki cyfrowej obróbki obrazu, Kompozyty (Composites) 2(2002)5,


Pobierz ppt "Homogenizacja Kulawik Krzysztof. Jeśli liczba niejednorodności w rozważanym ośrodku jest niewielka, to znalezienie rozwiązania tego zagadnienia jest,"

Podobne prezentacje


Reklamy Google