Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 1 Stabilność II Metody badania.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 1 Stabilność II Metody badania."— Zapis prezentacji:

1 Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 1 Stabilność II Metody badania stabilności Lapunowa Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli związane jest z jednorodnym równaniem stanu, którego rozwiązanie zależy wyłącznie od warunku początkowego - stabilności zewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu w ujeciu wejście - wyjście

2 Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 2 Rozpoczniemy od ogólniejszego przypadku

3 Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 3 Definicja SII.1. Stan równowagi systemu jest Stabilny, jeżeli dla danego dowolnego istnieje odpowiednia taka, że Niestabilny, jeżeli nie jest stabilny Asymptotycznie stabilny, jeżeli jest on stabilny i można wybrać taką, że W szczególności, dla danego dowolnego istnieje chwila czasowa dla której odpowiadająca jej trajektoria spełnia Globalnie asymptotycznie stabilny, jeżeli jest on stabilny i dla dowolnego stanu początkowego zachodzi W szczególności, dla danego dowolnego orazistnieje chwila czasowa taka, że

4 Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 4 Ekspotencjalnie stabilny, jeżeli istnieją dodatnie stałe oraz takie, że Globalnie ekspotencjalnie stabilny, jeżeli istnieją dodatnie stałeoraz takie, że dla wszystkich warunków początkowych zachodzi stabilność asymptotyczna stabilność globalna asymptotyczna stabilność niestabilność

5 Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 5 Przykład 1: Dla dowolnego punktu początkowego trajektoria stanu która zbiega do w czasie Globalna asymptotyczna stabilność, bo dla dowolnego punktu początkowego Ale nie ekspotencjalna stabilność !

6 Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 6 Dla przypadku punkt jest punktem równowagi

7 Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 7 Definicja SII.2. Stan równowagi systemu jest Stabilny, jeżeli istnieje skończona dodatnia stała taka, że dla dowolnego stanu początkowego dla odpowiadającej mu trajektorii stanu, zachodzi Niestabilny, jeżeli nie jest stabilny (Globalnie) asymptotycznie stabilny, jeżeli dla dowolnego takie, że dla dowolnego stanu początkowego istnieje dla odpowiadającej mu trajektorii stanu zachodzi (Globalnie) ekspotencjalnie stabilny, jeżeli istnieją dodatnie stałeoraz takie, że dla wszystkich warunków początkowych, dla odpowiadających im trajektorii stanu zachodzi

8 Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 8 Twierdzenie SII.1. Stan równowagi systemu jest Stabilny, wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wartości własne macierzy mają (Globalnie) asymptotycznie stabilny, wtedy i tylko wtedy, gdy każda wartość własna macierzy ma ujemną część rzeczywistą niedodatnie części rzeczywiste i geometryczna krotność którejkolwiek wartości własnej mającej zerową część rzeczywistą jest równa jej krotności algebraicznej

9 Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 9 Przykład 2: system mechaniczny Model systemu wejście - wyjście: Model przestrzeni stanu: Naturalny wybór zmiennych stanu: przemieszczenie masy, prędkość przemieszczania masy Analiza energetyczna stabilności

10 Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 10 Model przestrzeni stanu: Stąd Podstawiając do modelu we - wy Postać równań stanu modelu przestrzeni stanu

11 Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 11 Postać równania wyjścia modelu przestrzeni stanu Wejście systemu Postać macierzowa: Różniczkowe równanie stanu Algebraiczne równanie wyjścia

12 Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 12 System drugiego rzędu, jedno wejście, jedno wyjście m = p = 1, n = 2 Rozważmy stabilność wewnętrzną – zerowe wejście Jednorodne równanie różniczkowe

13 Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 13 Zmienne stanu przykładu związane z energią układu x 1 – energia potencjalna zgromadzona w sprężynie (przemieszczenie) x 2 – energia kinetyczna poruszającej się masy (prędkość) Całkowita energia systemu Właściwości: całkowita energia systemu jest dodatnia we wszystkich punktach przestrzeni stanu takich, że całkowita energia systemu osiąga minimum równe zero w stanie równowagi

14 Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 14 Dla oceny wartości funkcji energii wzdłuż trajektorii stanu systemu policzmy pochodną po czasie Dla zerowej wartości współczynnika tłumienia mamy - całkowita energia systemu pozostaje stała wzdłuż dowolnej trajektorii Wniosek: ma miejsce wieczysta przemiana energii potencjalnej zgromadzonej w sprężynie i kinetycznej zgromadzonej w poruszającej się masie Przypadek 1:

15 Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 15 To pokazuje, że dla tego przypadku stan jest stabilnym stanem równowagi Zachodzą następujące nierówności co wskazuje, że istnieje ograniczenie na normę trajektorii wskazujące na sposób doboru stałej z Definicji stabilności SII.2

16 Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 16 Wyniki symulacji: Warunek początkowy Zmienne stanu Parametry Wartości własne - zerowa część rzeczywista - różne (zespolone sprzężone) = krotność algebraiczna równa krotności geometrycznej

17 Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 17 Energia całkowita systemu

18 Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 18 Przypadek 2: Punkt równowagi Jednorodne równanie stanu - przemieszczenie - prędkość Wniosek: Zdążanie energii całkowitej systemu do zera, dla dowolnej trajektorii stanu, przy czasie zdążającym do nieskończoności powinno odpowiadać asymptotycznej zbieżności tej trajektorii do stanu równowagi

19 Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 19 co potwierdza, że Zdążanie energii całkowitej systemu do zera oznacza, że dla dowolnego istnieje, że dla Wykorzystując uprzednio ustalone granice dla asymptotycznie stabilnym stanem równowagi

20 Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 20 Wyniki symulacji: Warunek początkowy Zmienne stanu Parametry Wartości własne - ujemna część rzeczywista - różne (zespolone sprzężone) = krotność algebraiczna równa krotności geometrycznej

21 Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 21 Energia całkowita systemu

22 Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 22 Przypadek 3: Punkt równowagi Jednorodne równanie stanu - przemieszczenie - prędkość Wniosek: Zwiększanie się energii całkowitej systemu dla dowolnej trajektorii stanu dla dowolnego stanu początkowego różnego od stanu równowagi powoduje, że trajektoria ta oddala się nieskończenie od stanu równowagi Zwiększanie się energii całkowitej systemu wzdłuż jakiejkolwiek trajektorii dla której prędkość masy nie jest tożsamościowo równa zeru Zwiększanie się energii całkowitej systemu wzdłuż jakiejkolwiek trajektorii różnej od przy czasie zdążającym do nieskończoności

23 Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 23 Wyniki symulacji: Warunek początkowy Zmienne stanu Parametry Wartości własne - dodatnia część rzeczywista - różne (zespolone sprzężone) = krotność algebraiczna równa krotności geometrycznej

24 Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 24 Energia całkowita systemu

25 Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 25 Wniosek z przykładu: stabilność punktu równowagi może być określona bezpośrednio z w oparciu o pochodną po czasie funkcji energii całkowitej systemu liczoną wzdłuż trajektorii stanu systemu Obliczanie tej pochodnej po czasie może być interpretowane jako liczenie następującej funkcji zmiennych stanu której wartość liczona wzdłuż trajektorii stanu systemu równa się

26 Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 26 Analiza stabilności Lapunova Źródła: spostrzeżenie, że wnioski na temat stabilności stanu równowagi mogą być wyciągnięte z analizy tzw. funkcji energetycznej systemu Dla systemu rozważana jest funkcja rzeczywista posiadająca ciągłe pochodne cząstkowe względem każdej ze zmiennych stanu i która jest dodatnio określona, tzn.:

27 Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 27 Dla analizy pochodnej czasowej funkcji wzdłuż trajektorii stanu systemu definiuje się

28 Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 28 Twierdzenie bezpośredniej metody Lapunova Twierdzenie SII.2. Stan równowagi systemu jest Stabilny, jeżeli Asymptotycznie stabilny, jeżeli dla wszystkich trajektorii trajektorii ujemnie półokreślona; to znaczydla wszystkich w otoczeniu ujemnie określona; to znaczy w otoczeniu

29 Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 29 Nas interesuje szczególnie asymptotyczna stabilność Dla niej, podsumowując możemy podać twierdzenie Twierdzenie SII.3. Stan równowagi systemu jest Asymptotycznie stabilny, jeżeli istnieje funkcja Lapunova taka, że pozostaje słuszne w otoczeniu

30 Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 30 Przykład 3: system nieliniowy Rozważamy system Propozycja funkcji Lapunova Zachodzi oczywiście Policzymy

31 Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 31 Zatem jest słuszne dla dowolnego otoczenia Stan jest globalnie asymptotycznie stabilny Przykład 4: system nieliniowy Rozważamy system Propozycja funkcji Lapunova

32 Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 32 Zachodzi oczywiście Policzymy Zachodzi oczywiście Ponadto dla otoczenia punktu równowagi Zachodzi Stan jest lokalnie asymptotycznie stabilny

33 Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 33 Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę


Pobierz ppt "Teoria sterowania 2010/2011Stabilno ść II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 1 Stabilność II Metody badania."

Podobne prezentacje


Reklamy Google