Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Metody Symulacyjne w Telekomunikacji (MEST) Wykład 4: Generowanie zdarzeń Dr inż. Halina Tarasiuk p. 337, tnt.tele.pw.edu.pl.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Metody Symulacyjne w Telekomunikacji (MEST) Wykład 4: Generowanie zdarzeń Dr inż. Halina Tarasiuk p. 337, tnt.tele.pw.edu.pl."— Zapis prezentacji:

1 Metody Symulacyjne w Telekomunikacji (MEST) Wykład 4: Generowanie zdarzeń Dr inż. Halina Tarasiuk p. 337, tnt.tele.pw.edu.pl

2 Zagadnienia Wstęp Planowanie zdarzeń Generowanie zdarzeń a zmienne losowe Generatory liczb losowych Generowanie wartości zmiennych losowych dla wybranych rozkładów

3 Zagadnienia Wstęp Planowanie zdarzeń Generowanie zdarzeń a zmienne losowe Generatory liczb losowych Generowanie wartości zmiennych losowych dla wybranych rozkładów

4 Wstęp (1) Symulacja, która ma jakiekolwiek losowe elementy musi angażować pewne próbki lub generować liczby losowe z rozkładów prawdopodobieństwa Rozkłady są często wynikiem dopasowania pewnych rozkładów, np. rozkładu wykładniczego, gamma, Poissona, do danych pochodzących z obserwacji rzeczywistego systemu

5 Wstęp (2) Źródła losowości dla przykładowych systemów –Przemysł Czas życia maszyn, czas naprawy maszyn –Komunikacja Odstęp między wiadomościami, typ wiadomości, długość wiadomości –Transport Czas załadunku statku, odstęp między klientami przybywającymi do odprawy

6 Zagadnienia Wstęp Planowanie zdarzeń Generowanie zdarzeń a zmienne losowe Generatory liczb losowych Generowanie wartości zmiennych losowych dla wybranych rozkładów

7 Planowanie zdarzeń – przykład (1) Symulacja prostego systemu kolejkowego z jednym serwerem obsługi i jedną kolejką Serwer obsługi Kolejka Napływ klientów Wypływ klientów Rys. 1: Prosta reprezentacja modelu systemu

8 Planowanie zdarzeń - przykład(2) Przybycie do systemu Opuszczenie systemu Graf zdarzeń, model kolejkowy inicjalizacja Możliwe przejście

9 Zagadnienia Wstęp Planowanie zdarzeń Generowanie zdarzeń a zmienne losowe Generatory liczb losowych Generowanie wartości zmiennych losowych dla wybranych rozkładów

10 Generowanie zdarzeń a zmienne losowe Symulacja systemów o parametrach wejściowych opisanych pewnymi zmiennymi losowymi wymaga określenia rozkładów prawdopodobieństwa tych zmiennych Przykłady –Zmienne losowe opisujące: Odstępy między klientami napływającymi do systemu kolejkowego Czas obsługi klientów w systemie kolejkowym

11 Zmienne losowe a generowanie zdarzeń Założenie –parametry wejściowe modelu symulacyjnego zmienne losowe opisane danym rozkładem Przebieg symulacji –wartości zmiennych losowych generowane zgodnie z przyjętym rozkładem

12 Zmienne losowe i ich własności Oznaczenia zmiennych losowych –X, Y, Z Założenia –Eksperyment – pewien proces, którego wynik nie jest znany –Zbiór wszystkich możliwych wyników jest określany zbiorem próbek, S –Zmienna losowa jest pewną funkcją, która przypisuje wartość ze zbioru liczb rzeczywistych każdemu z wyników eksperymentu ze zbioru S Wartości, które może przyjmować zmienna losowa –x, y, z

13 Zmienne losowe i ich własności Dystrybuanta zmiennej losowej X jest zdefiniowana dla każdego x, jako –Gdzie P(Xx) oznacza prawdopodobieństwo skojarzone ze zdarzeniem, że {Xx} Własności dystrybuanty –0 F(x) 1 dla wszystkich x –F(x) nie jest malejąca

14 Zmienna losowa dyskretna

15 Zmienna losowa ciągła (1) Zmienna losowa X jest zmienną losową ciągłą, jeżeli istnieje nieujemna funkcja f(x) taka, że dla dowolnego zbioru liczb rzeczywistych

16 Zmienna losowa ciągła (2) f(x) – funkcja gęstości f(x)=F(x) Ponadto –jeżeli I=[a,b] dla każdej liczby rzeczywistej a i b, takiej że a < b,

17 Rozkład równomierny Funkcja gęstości dla rozkładu równomiernego na odcinku [0,1] 01 1 x f(x)

18 Rozkład wykładniczy Funkcja gęstości Dystrybuanta

19 Zagadnienia Wstęp Planowanie zdarzeń Generowanie zdarzeń a zmienne losowe Generatory liczb losowych Generowanie wartości zmiennych losowych dla wybranych rozkładów

20 Generatory liczb losowych Generowanie liczb losowych –Umożliwia otrzymywanie wartości zmiennych losowych z przyjętego rozkładu Załóżmy, że rozkład jest znany –Chcemy wygenerować liczby losowe zgodnie z danym rozkładem, aby przeprowadzić symulację dla przyjętego modelu symulacyjnego

21 Ciągi losowe Wyróżniamy trzy typy ciągów losowych –Prawdziwie losowe Generowane przez losowy proces fizyczny –Pseudolosowe Liczby generowane wg ścisłej procedury matematycznej, czyli reprodukowalne –Quasilosowe Ciągi, które nie muszą spełniać kryteriów losowości, ale jedynie dawać poprawne rozwiązania problemów Ciągi quasilosowe tworzy się na użytek już postawionych zadań

22 Metody generowania liczb losowych Dla celów badań symulacyjnych, w których opisujemy zmienne losowe za pomocą rozkładów prawdopodobieństwa stosujemy metody generowania liczb pseudolosowych Jednak w dalszej części liczby pseudolosowe będziemy określać jako liczby losowe W praktyce nie przeprowadzamy badań symulacyjnych z ciągiem liczb prawdziwie losowych Interesują nas wyniki w pewien sposób powtarzalne –Np. aby porównać dwa systemy

23 Metodologia generowania liczb losowych Pierwszy generator arytmetyczny –Generator von Neumanna i Metropolisa (lata 40-te XX wieku) –Bazujący na metodzie średniokwadratowej

24 Wymagania na arytmetyczny generator liczb losowych Przede wszystkim, generowane liczby powinny –Pokrywać się z rozkładem równomiernym na odcinku [0,1] –Nie powinny wykazywać korelacji, w przeciwnym przypadku wyniki symulacji nie będą prawidłowe Powinniśmy móc otrzymać taki sam ciąg liczb powtórnie –Np. w celu powtórzenia eksperymentu symulacyjnego –Lub w celu porównania działania dwóch systemów Generator powinien umożliwić –łatwe generowanie kilku oddzielnych ciągów liczb losowych (jeden ciąg dedykowany dla jednego źródła losowego)

25 Przykład – metoda średniokwadratowa Rozpocznijmy od czterocyfrowej dodatniej liczby całkowitej Z 0 Podnieśmy ją do kwadratu, aby uzyskać liczbę całkowitą ośmiocyfrową (jeżeli konieczne uzupełnijmy zerami z lewej strony) Należy wybrać cztery środkowe cyfry, które będą stanowić kolejną czterocyfrową liczbę całkowitą Z 1 Aby uzyskać pierwszą liczbę losową z rozkładu równomiernego U 1 (0,1) tworzymy w oparciu o Z 1 liczbę dziesiętną

26 Przykład – metoda średniokwadratowa

27 Ocena metody –Metoda ma tendencję dążenia do zera i pozostawania w tym stanie –Można to zaobserwować np. w rozważanym przykładzie dla większej liczby kroków lub np. dla Z 0 =1009

28 Metody generowania liczb losowych Metoda generowania zmiennych losowych z rozkładu równomiernego na odcinku [0,1] 01 1 x f(x)

29 Generatory kongruencyjne liniowe Wiele generatorów liczb losowych stosowanych obecnie to generatory kongruencyjne liniowe, LCG (Linear Congruential Generator) –Sekwencja liczb całkowitych Z 1, Z 2,... jest wyznaczana następująco: –Gdzie m, a, c, Z 0 - wartość początkowa, są to liczby całkowite nieujemne

30 Generatory kongruencyjne liniowe Aby otrzymać żądaną liczbę losową stosujemy wzór: –gdzie 0

31 Przykład Rozważmy generator LCG o parametrach –m=16, –a=5, –c=3, –Z 0 =7

32 Przykład Podsumowanie –W rozważanym przypadku obserwujemy cykliczne powtarzanie się otrzymywanych wyników –Długość cyklu jest określana jako okres –W rozważanym przykładzie okres wynosi 16

33 Generator LCG Generator LCG jest generatorem pełno- okresowym Jeżeli generator jest pełno-okresowy dowolny wybór wartości Z 0 z przedziału {0, 1,..., m-1} będzie generował pełny ciąg

34 Generator LCG Twierdzenie –Generator LCG opisany wzorem –ma pełny okres wtedy i tylko wtedy, jeżeli spełnione są następujące warunki Jedyną dodatnią liczbą całkowitą, która dzieli bez reszty m i c jest 1 Niech q będzie liczbą pierwszą, jeżeli m jest podzielne przez q, wówczas a-1 jest również podzielne przez q Jeśli m jest podzielne przez 4 wówczas a-1 jest również podzielne przez 4

35 Przykład – generator rand()

36

37 Zagadnienia Wstęp Planowanie zdarzeń Generowanie zdarzeń a zmienne losowe Generatory liczb losowych Generowanie wartości zmiennych losowych dla wybranych rozkładów

38 Generowanie wartości zmiennych losowych Załóżmy, iż –chcemy wygenerować zmienną losową X, która jest zmienną losową ciągłą –Zmienna ta ma dystrybuantę F, która jest ciągła i rosnąca, gdy 0

39 Generowanie wartości zmiennych losowych Metodologia –Wówczas algorytm generowania zmiennej losowej X mającej dystrybuantę F jest następujący Generujemy Zwracamy

40 Rozkład wykładniczy Funkcja gęstości Dystrybuanta

41 Przykład Niech X będzie zmienną losową mającą rozkład wykładniczy z wartością średnią Dystrybuanta rozkładu dana jest funkcją Aby znaleźć F -1, przyjmujemy u=F(x) i w ten sposób znajdujemy x

42 Przykład Funkcja odwrotna przyjmuje wartość

43 Przykład – kod C++


Pobierz ppt "Metody Symulacyjne w Telekomunikacji (MEST) Wykład 4: Generowanie zdarzeń Dr inż. Halina Tarasiuk p. 337, tnt.tele.pw.edu.pl."

Podobne prezentacje


Reklamy Google