Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej

Prezentacja na temat: "Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej"— Zapis prezentacji:

1 Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej
Rozwiązywanie równań różniczkowych

2 Rozwiązywanie równań różniczkowych
Metody klasy Rungego-Kutty

3 Zalety metod klasy Rungego-Kutty
Brak konieczności stosowania dodatkowych algorytmów do obliczenia punktów początkowych Możliwość zmiany kroku w trakcie obliczeń

4 Zasada metod klasy Rungego-Kutty
Bezpośrednie zastosowanie rozwinięcia wymaga użycia trudnych do obliczenia pochodnych wyższych rzędów Metody klasy R-K polegają na podzieleniu odcinka h na N części i wykorzystaniu tylko pochodnych 1-go rzędu z zachowaniem założonej dokładności.

5 Zasada metod klasy Rungego-Kutty
Przyrost k aproksymuje się wyrażeniem liniowym o budowie zależnej od rzędu metody R-K Dla metody drugiego rzędu wyrażenie to ma postać: w którym: Parametry: a, b, m, n to stałe tak dobrane by błąd aproksymacji k przez K miał rząd 3 Składniki równania na K należy rozwinąć w szereg Taylora z 1 pochodną wokół punktu F(x0,y0)

6 Zasada metod klasy Rungego-Kutty
F(x0,y0) to środek rozwinięcia, możliwe jest tylko rozwiniecie k2: Po podstawieniu do wzoru na k2: I ostatecznie do wzoru na K

7 Zasada metod klasy Rungego-Kutty
Ponieważ: Aby wyznaczyć parametry a, b, n, m trzeba porównać z rozwinięciem k

8 Zasada metod klasy Rungego-Kutty
Można „dowolnie” przyjąć 1 wartość Przyjmijmy m=1 otrzymamy: b = ½ a= ½ n = 1

9 Zasada metod klasy Rungego-Kutty
Ogólnie:

10 Metoda Rungego-Kutty rzędu 4-tego (Rungego-Simpsona)

11 Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. wyższego rzędu.

12 Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. wyższego rzędu.
Wektor wartości w kroku i -tym

13 Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. wyższego rzędu.
Funkcja wektorowa (prawe strony równań)

14 Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. wyższego rzędu.
Wektory współczynników

15 Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. drugiego rzędu.
Podstawmy

16 Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. drugiego rzędu.
Funkcja wektorowa: i-ty wektor wartości

17 Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. drugiego rzędu.
Wektory współczynników:

18 Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. drugiego rzędu.
Wektory współczynników:

19 Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. drugiego rzędu.

20 Metoda Rungego-Kutty algorytm
Czytaj punkt startowy x0, y0, xk i ilość podziałów n h=(xk - x0)/n. Przyjmij i=0 Oblicz k1=hF(xi,yi), k2=hF(xi+1/2h,yi+1/2k1), k3=hF(xi+1/2h,yi+1/2k2), k4=hF(xi+h,yi+k3) Oblicz K=1/6(k1+2(k2+k3)+k4) Oblicz yi+1=yi+K xi+1 = xi+h Zwiększ i o 1 Jeżeli i<n idź do punktu 4 Drukuj xj, yj Jeżeli i<=n idź do punktu11 Koniec