Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Wyrównanie metodą zawarunkowaną z niewiadomymi Wstęp Kraków 2009.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Wyrównanie metodą zawarunkowaną z niewiadomymi Wstęp Kraków 2009."— Zapis prezentacji:

1 Wyrównanie metodą zawarunkowaną z niewiadomymi Wstęp Kraków 2009

2 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Mit Beiträgen von Martin Staudinger Institute for Geoinformation Technical University Vienna Guβhausstraβe Vienna, Austria

3 Metoda najmniejszych kwadratów została omówiona w ramach rachunku wyrównawczego. W niniejszym wykładzie przypomnimy najważniejsze zagadnienia z nią związane. W praktyce najczęściej mamy do czynienia z sytuacją w której wyznaczamy drogą pomiaru wielkości (Spostrzeżenia), za pomocą których obliczamy szukane parametry (Niewiadome). Dysponujemy nadliczbowymi spostrzeżeniami w stosunku do liczby niezbędnych do wyznaczenia niewiadomych.

4 Umożliwia nam to : -kontrolę spostrzeżeń; -uzyskanie prawdopodobnych wartości niewiadomych; -ocenę dokładności wyników pomiarów oraz niezawodności sieci.

5 Wszystkie metody pomiarów (taśmą stalową czy GPS) prowadzą do stosunkowo prostego modelu matematycznego, związku między spostrzeżeniami i niewiadomymi, który może zostać opracowany za pomocą metody najmniejszych kwadratów. Ideę tej metody można zapisać wzorem: (1) gdzie: - poprawki spostrzeżeń; - wagi spostrzeżen; W zapisie macierzowym: (2)

6

7 Wartość prawdziwa nie jest możliwa do ustalenia, ale z pomocą metody najmniejszych kwadratów można uzyskać jej oszacowanie jako wektora spostrzeżeń wyrównanych :

8 Wektor parametrów X zawiera wartości niewiadomych X 1, X 2,...,X u. Również wektor X jest wektorem losowym i ma wartość prawdziwą. Metodą najmniejszych kwadratów oblicza się jej oszacowanie, jako wektor wyrównany parametrów. Obliczamy go jako sumę wektora wartości przybliżonych X 0 oraz wektora poprawek niewiadomych x

9 Prawdziwe wartości spostrzeżeń i parametrów spełniają związek funkcyjny: Wyrównane, prawdopodobne wartości parametrów i spostrzeżeń spełniają podobne równanie zwane modelem funkcyjnym zadania wyrównawczego: Wartości obserwowane spostrzeżeń i przybliżone wartości parametrów nie będą zwykle spełniały tego równania.

10 Jeżeli do równania modelu funkcyjnego wstawimy wyniki spostrzeżeń i przybliżone wartości niewiadomych - zamiast wektora zerowego - po prawej stronie otrzymamy wektor odchyłek:

11 Funkcję należy doprowadzić do postaci liniowej, rozwijając ją w szereg Taylora z pominięciem wyrazów stopnia wyższego niż pierwszy:

12 Pochodne cząstkowe zapisujemy w macierzach Jacobiego: A – pochodne względem niewiadomych;

13 B – pochodne względem spostrzeżeń;

14 Możemy stosując powyższe oznaczenia zapisać ogólne zadanie rachunku wyrównawczego w następującej postaci:

15 Rozwiązanie ogólne: Jest to zadanie polegające z punktu widzenia matematyki na znalezieniu wartości ekstremalnej (minimum) z dodatkowymi warunkami. Takie zadanie rozwiązuje się stosując mnożniki Lagrangea (zwane też przez geodetów korelatami). Wprowadzamy więc dodatkową macierz k.

16 Minimalizuje się funkcję Lagrangea: Po obliczeniu pochodnych względem v oraz x i przyrównaniu ich do zera otrzymujemy wzory: oraz

17 W praktyce możemy mieć do czynienia z następującymi przypadkami: 1. W układzie równań r=n i w każdym równaniu występuje tylko jedno spostrzeżenie L i – jest to wyrównanie spostrzeżeń pośredniczących. 2. W zadaniu nie występują żadne niewiadome X. W r równaniach mamy tylko funkcje wiążące spostrzeżenia – jest to wyrównanie spostrzeżeń zawarunkowanych. 3. W n równaniach występuje po jednym spostrzeżeniu (jak przy wyrównaniu spostrzeżeń pośredniczących) a w pozostałych (r-n) równaniach mamy tylko niewiadome. Jest to wyrównanie spostrzeżeń pośredniczących z warunkami na niewiadome.

18

19 1x 0 + x + 0y y - L 1 - v 1 = 0 0x x + 1y 0 + y - L 2 - v 2 = 0 1x x + 1y y - L 3 - v 3 = 0 1 x + 0 y – v = 0 0 x + 1 y – v = 0 1 x + 1 y – v = 0

20

21

22

23 -10k1k1 v1=v1=10 -10k2k2 v2=v2=10 k3k3 v3=v3= x y

24 Wyrównane spostrzeżenia i wyrównane niewiadome Kontrola generalna

25 Ocena dokładności: Kontrola ogólna


Pobierz ppt "Wyrównanie metodą zawarunkowaną z niewiadomymi Wstęp Kraków 2009."

Podobne prezentacje


Reklamy Google