Problemy nieliniowe Rozwiązywanie równań nieliniowych o postaci:

Prezentacja na temat: "Problemy nieliniowe Rozwiązywanie równań nieliniowych o postaci:"— Zapis prezentacji:

1 Problemy nieliniowe Rozwiązywanie równań nieliniowych o postaci:
gdzie f(x) jest funkcją nieliniową Obejmuje to oczywiście przypadek każdego równania:

2 Problemy nieliniowe Szczególnym przypadkiem są wszelkiego rodzaju problemy optymalizacyjne – poszukiwanie ekstremum (maksimum albo minimum) funkcji kosztu lub zysku: gdzie f’(x) to pierwsza pochodna funkcji f(x)

3 Poszukiwanie inkrementacyjne

4 Bisekcja

5 Bisekcja

6 Metoda Brenta

7 Metoda Brenta

8

9 Rozwinięcie w szereg Taylora
Jeżeli znamy wartość funkcji i wszystkich jej pochodnych w pewnym punkcie, można wyznaczyć na tej podstawie wartość w innym punkcie:

10 Rozwinięcie w szereg Taylora
Przy obcięciu do wyrazu rzędu k reszta rozwinięcia może być oszacowana jako składnik rzędu (O - funkcja Landaua):

11 Rozwinięcie w szereg Taylora
Często jest stosowane nawet rozwinięcie obcięte pierwszego rzędu: Jest to tym lepsze przybliżenie prawdziwej wartości, im mniejsza jest wartość Δx Do takiego przybliżenia nawiązuje algorytm Newtona-Raphsona

12 Algorytm Newtona-Raphsona
Raphson współpracował z Newtonem, w charakterze jego sekretarza(?), redaktora jego dzieł? Metodę rozwiązywania równań nieliniowych ogłosił książkowo w 1891, podczas gdy analogiczna metoda Newtona została opublikowana w książce z 1736, choć napisanej w 1871 roku. Newton znał książkę Raphsona i wyrażał się o niej pochlebnie. Trudno więc ustalić, kto był autorem pomysłu. Metoda zwana jest więc pod nazwą Newtona-Raphsona. Isaac Newton ( ) Joseph Raphson ( )

13 Algorytm Newtona-Raphsona

14 Algorytm Newtona-Raphsona
Algorytm zaczyna z pewnego punkty x0, będącego pierwszym oszacowaniem prawdziwego rozwiązania x* W punkcie x0 na podstawie znajomości pochodnej funkcji f(x0) rozwiązywane jest równanie liniowe:

15 Algorytm Newtona-Raphsona
Rozwiązanie tego równania: wyznacza kolejne oszacowanie rozwiązania x*:

16 Algorytm Newtona-Raphsona
Ten sam sposób postępowania jest stosowany w kolejnych iteracjach: Kolejne wartości xi są coraz lepszymi oszacowaniami x*

17 Przykład

18 Algorytm Newtona-Raphsona
Zamiast wyprowadzenia bazującego na rozwinięciu Taylora można zastosować intuicję geometryczną: Wartość pochodnej funkcji w punkcie to nachylenie stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie

19 Algorytm Newtona-Raphsona
Problem nieliniowy jest zastąpiony serią problemów liniowych Każdy problem liniowy jest lokalnym przybliżeniem Taylora pierwszego rzędu dla problemu nieliniowego

20 Algorytm Newtona-Raphsona
W każdej iteracji jest wyznaczane kolejne przybliżenie rozwiązania Proces iteracyjny jest kończony kiedy względny błąd procentowy: spadnie poniżej ustalonej wartości (dokładności algorytmu) Może być również zastosowane ograniczenie na maksymalną ilość iteracji algorytmu

21 Algorytm Newtona-Raphsona
System rozwiązujący równanie: zgodnie z algorytmem Newtona-Raphsona nie zna „globalnie” funkcji f(x), natomiast musi mieć możliwość zapytać o wartość f(x), f’(x) w arbitralnym punkcie x Kolejne pytania o wartość funkcji zwiększają wiedzę systemu rozwiązującego o funkcji. Początkowa hipoteza dotycząca rozwiązania x0 z każdą iteracją ulega zmianie, dzięki uwzględnieniu nowych informacji o funkcji f(x)

22

23 Przykład zastosowania
Wyznaczanie odwrotności liczby Normalnie, żeby wyznaczyć odwrotność liczby a należy podzielić 1 przez liczbę a Możliwe jest też rozwiązania nieliniowego; jeśli x jest odwrotnością a, to spełnione jest:

24 Przykład zastosowania

25 Przykład zastosowania

26 Przykład – iteracja 1

27 Przykład – iteracja 2

28 Przykład – iteracja 3

29 Pułapki – wybór punktu startowego

30 Pułapki – wybór punktu startowego

31 Pułapki – oscylacje dookoła ekstremum

32 Ekstrema – dzielenie przez zero

33 Pułapki – jedno z wielu rozwiązań

34 Przykład aplikacji Superkomputery, takie jak Cray pozbawione są jednostki dzielenia liczb Zamiast dzielenia przez liczbę, realizowane jest mnożenie przez jej odwrotność: Odwrotność liczby jest znajdowana przez algorytm Newtona-Raphsona (jak we wcześniejszym przykładzie)

35 Przykład aplikacji Każda iteracja wymaga dwóch mnożeń i jednego odejmowania Wyznaczenie odwrotności przy podwójnej precyzji wymaga ok. sześciu iteracji Jeżeli punkt startowy jest wybrany odpowiednio (z tabeli) – ilość iteracji zmniejsza się o połowę Często stosowany jest sprzętowy akumulator mnożąco-odejmujący