Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Problemy nieliniowe Rozwiązywanie równań nieliniowych o postaci: gdzie f(x) jest funkcją nieliniową Obejmuje to oczywiście przypadek każdego równania:

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Problemy nieliniowe Rozwiązywanie równań nieliniowych o postaci: gdzie f(x) jest funkcją nieliniową Obejmuje to oczywiście przypadek każdego równania:"— Zapis prezentacji:

1 Problemy nieliniowe Rozwiązywanie równań nieliniowych o postaci: gdzie f(x) jest funkcją nieliniową Obejmuje to oczywiście przypadek każdego równania:

2 Problemy nieliniowe Szczególnym przypadkiem są wszelkiego rodzaju problemy optymalizacyjne – poszukiwanie ekstremum (maksimum albo minimum) funkcji kosztu lub zysku: gdzie f(x) to pierwsza pochodna funkcji f(x)

3 Poszukiwanie inkrementacyjne

4 Bisekcja

5

6 Metoda Brenta

7

8

9 Rozwinięcie w szereg Taylora Jeżeli znamy wartość funkcji i wszystkich jej pochodnych w pewnym punkcie, można wyznaczyć na tej podstawie wartość w innym punkcie:

10 Rozwinięcie w szereg Taylora Przy obcięciu do wyrazu rzędu k reszta rozwinięcia może być oszacowana jako składnik rzędu (O - funkcja Landaua):

11 Rozwinięcie w szereg Taylora Często jest stosowane nawet rozwinięcie obcięte pierwszego rzędu: Jest to tym lepsze przybliżenie prawdziwej wartości, im mniejsza jest wartość Δx Do takiego przybliżenia nawiązuje algorytm Newtona-Raphsona

12 Algorytm Newtona- Raphsona Isaac Newton ( )Joseph Raphson ( )

13 Algorytm Newtona- Raphsona

14 Algorytm zaczyna z pewnego punkty x 0, będącego pierwszym oszacowaniem prawdziwego rozwiązania x * W punkcie x 0 na podstawie znajomości pochodnej funkcji f(x 0 ) rozwiązywane jest równanie liniowe:

15 Algorytm Newtona- Raphsona Rozwiązanie tego równania: wyznacza kolejne oszacowanie rozwiązania x * :

16 Algorytm Newtona- Raphsona Ten sam sposób postępowania jest stosowany w kolejnych iteracjach: Kolejne wartości x i są coraz lepszymi oszacowaniami x *

17 Przykład

18 Algorytm Newtona- Raphsona Zamiast wyprowadzenia bazującego na rozwinięciu Taylora można zastosować intuicję geometryczną:

19 Algorytm Newtona- Raphsona Problem nieliniowy jest zastąpiony serią problemów liniowych Każdy problem liniowy jest lokalnym przybliżeniem Taylora pierwszego rzędu dla problemu nieliniowego

20 Algorytm Newtona- Raphsona W każdej iteracji jest wyznaczane kolejne przybliżenie rozwiązania Proces iteracyjny jest kończony kiedy względny błąd procentowy: spadnie poniżej ustalonej wartości (dokładności algorytmu)

21 Algorytm Newtona- Raphsona System rozwiązujący równanie: zgodnie z algorytmem Newtona-Raphsona nie zna globalnie funkcji f(x), natomiast musi mieć możliwość zapytać o wartość f(x), f(x) w arbitralnym punkcie x Kolejne pytania o wartość funkcji zwiększają wiedzę systemu rozwiązującego o funkcji. Początkowa hipoteza dotycząca rozwiązania x 0 z każdą iteracją ulega zmianie, dzięki uwzględnieniu nowych informacji o funkcji f(x)

22

23 Przykład zastosowania Wyznaczanie odwrotności liczby Normalnie, żeby wyznaczyć odwrotność liczby a należy podzielić 1 przez liczbę a Możliwe jest też rozwiązania nieliniowego; jeśli x jest odwrotnością a, to spełnione jest:

24 Przykład zastosowania

25

26 Przykład – iteracja 1

27 Przykład – iteracja 2

28 Przykład – iteracja 3

29 Pułapki – wybór punktu startowego

30

31 Pułapki – oscylacje dookoła ekstremum

32 Ekstrema – dzielenie przez zero

33 Pułapki – jedno z wielu rozwiązań

34 Przykład aplikacji Superkomputery, takie jak Cray pozbawione są jednostki dzielenia liczb Zamiast dzielenia przez liczbę, realizowane jest mnożenie przez jej odwrotność: Odwrotność liczby jest znajdowana przez algorytm Newtona-Raphsona (jak we wcześniejszym przykładzie)

35 Przykład aplikacji Każda iteracja wymaga dwóch mnożeń i jednego odejmowania Wyznaczenie odwrotności przy podwójnej precyzji wymaga ok. sześciu iteracji Jeżeli punkt startowy jest wybrany odpowiednio (z tabeli) – ilość iteracji zmniejsza się o połowę Często stosowany jest sprzętowy akumulator mnożąco-odejmujący


Pobierz ppt "Problemy nieliniowe Rozwiązywanie równań nieliniowych o postaci: gdzie f(x) jest funkcją nieliniową Obejmuje to oczywiście przypadek każdego równania:"

Podobne prezentacje


Reklamy Google