Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Równania różniczkowe cząstkowe liczba zmiennych > 2 rząd równania: rząd najwyższej pochodnej charakterystyka: liniowe, quasi-liniowe, nieliniowe.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Równania różniczkowe cząstkowe liczba zmiennych > 2 rząd równania: rząd najwyższej pochodnej charakterystyka: liniowe, quasi-liniowe, nieliniowe."— Zapis prezentacji:

1 Równania różniczkowe cząstkowe liczba zmiennych > 2 rząd równania: rząd najwyższej pochodnej charakterystyka: liniowe, quasi-liniowe, nieliniowe

2

3 klasyfikacja równań liniowych rzędu drugiego

4 Motywacja dla takiej klasyfikacji Najprostsze rozwiązania: Również dla bardziej skomplikowanych równań lokalne własności rozwiązanie zależą od znaku wyrażenia B 2 -4AC.

5 XkXk W metodach różnicowych poszukuje się tablicy wartości przybliżonych u h rozwiązania dokładnego u na zbiorze izolowanych punktów X k (k=1,2,...,N h ) zwanym siatką. Punkty X k są nazywane węzłami siatki. węzeł pomocniczy węzeł podstawowy x y hxhx hyhy h=(h x,h y ) Parametr h charakteryzuje siatkę h

6 Zastępowanie pochodnych ilorazami różnicowymi na siatce prostokątnej i-1 i i+1 k-1 k k+1 hihi hkhk

7 i-1 i i+1 k-1 k k+1 hihi hkhk

8 i-1 i i+1 k-1 k k+1 hihi hkhk

9 Interpolacja liniowa dla warunku brzegowego Dirichleta i,k i-1,k i+1,k h Zakładając liniowy rozkład rozwiązania między sąsiednimi węzłami mamy:

10 Interpolacja liniowa dla warunku brzegowego Neumanna. n i,k i-1,k i,k-1 hkhk hihi

11 Równania eliptyczne w przypadku dwuwymiarowym x=(x,y) Warunki brzegowe:

12 Przykład: równanie Poissona dla cząsteczki makromolekuły w rozpuszczalniku Równanie Poissona przechodzi w równanie Poissona-Boltzmanna (nieliniowe) jeżeli w środowisku znajdują się jony

13 =80 =4 Na podstawie obliczonego potencjału elektrostatycznego można obliczyć wkład elektrostatyczny do energii swobodnej solwatacji makromolekuły

14 Przykład: mapy potencjału elektrostatycznego kinazy zależnej od cAMP (1YDR); po lewej powierzchnie izopotencjalne, po prawej mapa potencjału na powierzchni molekularnej.

15 x(i) y(k) hyhy hxhx (0,0) jj+1 j-1 l p

16 Dla węzłów wewnętrznych: jj+1 j-1 l p

17 styczna normalna p (xk p,yk p ) p-1 m

18 Metoda Jacobiego w 2D Równanie Poissona -4* u(i,j) + u(i-1,j) + u(i+1,j) + u(i,j-1) + u(i,j+1) = h 2 b(i,j) Dla wyprowadzenie metody Jacobiego przegrupujemy: u(i,j) = (u(i-1,j) + u(i+1,j) + u(i,j-1) + u(i,j+1) - h 2 b(i,j))/4 Niech u(i,j,m) aproksymuje u(i,j) w m krokach u(i,j,m+1) = (u(i-1,j,m) + u(i+1,j,m) + u(i,j-1,m) + u(i,j+1,m) + b(i,j)) / 4 –u(i,j,m+1) jest średnią ważoną sąsiadów –u(i,j,m+1) spełnia równanie w punkcie (i,j) Zbieżność zależy od N i jest bardzo wolna 4

19 b równe 0, z wyjątkiem środka gdzie wynosi b= -1/ h 2

20 parameter(n=9) double precision a(n,n),b(n,n),f(n,n),h do i=1,n do j=1,n f(i, j)=0 a(i, j)=0 b(i, j)=a(i, j) enddo h=1.0/n f(5,5)=-1.0/h**2 diff=1 k=0 DO WHILE(diff.gt ) call pisz(a,n,k) DO j=2, n-1 DO i=2, n-1 B(i, j)=0.25*(A(i-1, j)+A(i+1, j)+A(i, j-1)+A(i, j+1)-H*H*F(I,J)) END DO diff=0 DO j=1, n DO i=1, n diff=diff+(B(i, j)-A(i, j))**2 A(i, j) = B(i, j) END DO k=k+1 write(*,*) k,diff END DO end

21 Jak przyspieszyć zbieżność ? Jacobi : nowe wartości wykorzystane dopiero w następnej iteracji * ij = ( i+1,j + i-1,j + i,j+1 + i,j-1 )/4 Gauss-Seidel : nowe wartości wpisywane bezpośrednio do macierzy A Red Block : podział siatki jak na szachownicy Successive Over Relaxation (SOR) * ij = (1- ) ij + ( i+1,j + i-1,j + i,j+1 + i,j-1 )/4 dla =1.2 do 1.4 Multigrid – siatka hierarchiczna


Pobierz ppt "Równania różniczkowe cząstkowe liczba zmiennych > 2 rząd równania: rząd najwyższej pochodnej charakterystyka: liniowe, quasi-liniowe, nieliniowe."

Podobne prezentacje


Reklamy Google