Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Przegląd teorii elektromagnetyzmu ciąg dalszy Ludwik Antal - Numeryczna analiza pól elektromagnetycznych –W2.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Przegląd teorii elektromagnetyzmu ciąg dalszy Ludwik Antal - Numeryczna analiza pól elektromagnetycznych –W2."— Zapis prezentacji:

1 Przegląd teorii elektromagnetyzmu ciąg dalszy Ludwik Antal - Numeryczna analiza pól elektromagnetycznych –W2

2 2 Pole prądów zmiennych W tym przypadku pola elektryczne i magnetyczne występują jednocześnie Gęstość prądu przewodzenia przesunięcia J m = * M – gęstość prądu magnetycznego (V/m 2 Wb/m 2 /s Vs/m 2 /s) * - rezystywność magnetyczna ( / m ), M - wektor magnetyzacji (A/m). Prawo Faradaya

3 3 Ekwiwalentna postać całkowa

4 4 Relacje konstytutywne, określające zależność pól od środowiska W regionach opisanych równaniami Maxwella zakłada się, że pola są: jednoznaczne ograniczone ciągłe względem przestrzeni i czasu wraz ze swymi pochodnymi Środowisko jest liniowe jeżeli σ, i μ są niezależne od E i H. Jest jednorodne jeśli σ, i μ nie są funkcjami zmiennych przestrzennych. Jest izotropowe jeśli σ, i μ są niezależne od kierunku. Relacje konstytutywne

5 5 Równania Maxwella uzupełniają dwa inne, podstawowe równania: równanie siły Lorentza gdzie F jest siłą działającą na cząsteczkę z ładunkiem Q poruszającą się z prędkością u w polu elektromagnetycznym, i równanie ciągłości które wyraża zachowawczość (niezniszczalność) ładunku elektrycznego. Równanie ciągłości daje się wywnioskować z równań Maxwella, ale nie jest osobliwością EM. W mechanice płynów gdzie J odpowiada prędkości a masie, równanie ciągłości wyraża zachowanie masy. Siła Lorentza

6 6 Warunki graniczne Warunki graniczne między środowiskami 1 i 2 o parametrach (σ 1, 1, μ 1 ) and (σ 2, 2,μ 2 ) mogą być łatwo wyprowadzone z całkowych form równań Maxwella. Oznaczmy: a n12 – jednostkowy wektor normalny skierowany ze środowiska 1 do 2, indeksy 1 i 2 oznaczają pola w regionach 1 i 2, a indeksy t i n określają składowe styczne i normalne pól.

7 7 Z równań wynika, że składowe styczne E i składowe normalne B są ciągłe w poprzek granicy. Składowa styczna H jest nieciągła i równa powierzchniowej gęstości prądu K na granicy. Składowa normalna D jest nieciągła i równa powierzchniowej gęstości ładunku S na powierzchni granicznej. Oto te równania: Na granicy

8 8 Równania Maxwella to sprzężone równania różniczkowe rzędu 1-go. Zagadnienia brzegowe opisane tymi równaniami są trudno rozwiązywalne. Ta trudność jest pokonywana przez rozprzęgnięcie tych równań w równaniu falowym (rzędu drugiego), użytecznego dla rozwiązania problemu. Środowisko liniowe, izotropowe, nieruchome, wolne od źródeł (J = 0, v = 0). Równanie falowe E ponieważ J = 0, ponieważ ρ v = 0, E = 0

9 9 Równanie falowe H Są to równania ruchu fal EM w środowisku nieprzewodzącym. Prędkość propagacji fal: W próżni u m/s Każdy z wektorów pola ma trzy skalarne składowe: E x,E y,E z,H x,H y,H z. Każda składowa spełnia skalarne równanie falowe

10 10 Jeżeli = 0, to równanie falowe w dielektryku: Ogólne równanie falowe Jeżeli pominiemy prądy przesunięcia (małe w stosunku do prądu przewodzenia) otrzymamy równanie falowe w przewodniku: Ogólne równanie falowe

11 11 Potencjały skalarne Pola bezwirowe i potencjalne Równanie powierzchni ekwipotencjalnej Spełnia równanie Laplacea Równania linii sił ( do pow. ekwipot.)

12 12 Potencjały elektrodynamiczne Potencjały elektrodynamiczne A i V są funkcjami współrzędnych i czasu.

13 13 By uniknąć wieloznaczności A należy dobrać div A Dla pól elektromagnetycznych – warunek Lorentza: warunek Lorentza

14 14 Równanie dAlamberta

15 15 Dla przewodników (pominięte ładunki i prąd przesunięcia): Równanie skalarne dAlamberta warunek Lorentza Równanie skalarne dAlamberta

16 16 W polach magnetostatycznych i wolnozmiennych warunek: W dielektrykach

17 17 Gdzie R jest odległością punktu źródłowego od punktu pola, nawiasy kwadratowe oznaczają że v i J są określone w czasie R( ) 1/2 wcześniejszym niż dla którego A i V są zdeterminowane. Rozwiązanie całkowe Potencjały opóźnione sqr( )= 3,333·10 -9 s Potencjały opóźnione

18 18 Ogólne rozwiązanie równania Poissona ma postać : Energię można obliczyć korzystając z potencjału wektorowego. Rozwiązanie równania Poissona

19 19 Jeżeli powierzchnia S rozciągnięta do, to całkowanie po S daje w wyniku 0, bo A w jest równe 0. Ostatecznie Energia i potencjał

20 20 Strumień magnetyczny można obliczyć z zależności: dldl dsds L S B A B = rotA Strumień magnetyczny

21 21 Elektryczny potencjał wektorowy Z I-szego prawa Kirchoffa i tożsamości różniczkowej wynika Jednocześnie

22 22 Przy = const div H = 0 bo div B = 0, więc Metoda wprowadzona w roku 1977 przez Carpentera znana jest pod nazwą T – ( V ). Odznacza się dobrą dokładnością w obliczeniach 3D.

23 23 Wektor Hertza P Służy do opisu przebiegów falowych wielkiej częstotliwości. Wyznacza się go z równania falowego:

24 24 Tensor naprężeń Maxwella Sprowadza objętościowe siły Lorentza do sił powierzchniowych T n – wektor siły powierzchniowej, rzut tensora Maxwella na normalną do powierzchni ciała. Ogólnie Siła Lorentza Gęstość obj. siły

25 25 Elementy tensora Maxwella Składowa dF i siły dF przekazywanej przez element powierzchni dS i wektora dS

26 26 Całkowita magnetyczna siła działająca na ciało o objętości V i powierzchni S Całkowity moment sił magnetycznych działający na ciało o objętości V i powierzchni S Z ogólnego wzoru wynika, że moduł gęstości siły powierzchniowej pola magnetycznego ( = const) n – wektor normalny do S skierowany na zewnątrz.

27 27 Wyrażenie jest słuszne dla pól magnetostatycznych, nieustalonych i harmonicznych, z tym że dla pól harmonicznych (prądów sinusoidalnych) znaczenie siły i momentu jest inne. W tym ostatnim przypadku siła składa się z części średniej w czasie i części oscylacyjnej, natomiast moment z części średniej w czasie i wartości szczytowej. Podobnie wyrażone są siły i momenty pola elektrostatycznego:

28 28 Pola harmoniczne Gdzie: F m (r) = F m (x, y, z) jest fazorową (zespoloną, wykładniczą) postacią F(r, t) – amplitudą zespoloną. ω jest prędkością kątową (rad/s) sinusoidalnego wzbudzenia Dotychczas rozpatrywaliśmy przypadek ogólny dowolnej zmienności pola EM w czasie. W wielu praktycznych sytuacjach, szczególnie dla niskich częstotliwości, potrzebne jest rozwiązanie stanu ustalonego pola EM wytwarzanego przez prądy sinusoidalne. Takie pole zwane sinusoidalnym lub harmonicznym zmienia się z pulsacją ω. Dowolnie zależne od czasu pola F(x, y, z, t) lub F(r, t) mogą być wyrażone jako:

29 29 Użycie fazorowej postaci pozwala zastąpić różniczkowanie mnożeniem przez j Równania Maxwella dla sinusoidalnego stanu ustalonego: Wielkości pola EM w postaci fazorowej mogą być wyrażone jako: bo e j t upraszcza się

30 30 Zastępując różniczkowanie po czasie, mnożeniem j uzyskuje się wektorowe równanie falowe dla amplitud zespolonych lub skalarne równanie falowe dla składowych pola. gdzie k (stała propagacji) Założenie sinusoidalności skutkuje eliminacją z równań Maxwella zależności od czasu. To uproszczenie nie wyklucza bardziej ogólnych pól harmonicznych, gdy rozpatrujemy jako jeden z elementów pełnego spektrum z wszystkimi składnikami szeregu Fouriera. Innymi słowy pola niesinusoidalne mogą być wyrażone jako: Np. dla dielektryka ( v = 0 = J)

31 31 i przechodzi w równanie Poissona kiedy k = 0 (tzn. = 0 – pole statyczne), lub w równanie Laplacea gdy k = 0 = g. Jeżeli ρ V 0 J, równanie falowe przyjmuje ogólniejszą formę

32 32 Dla harmonicznego pola magnetycznego Ogólne równanie falowe harmoniczne pole magnetyczne

33 33 Dla harmonicznego pola magnetycznego w dielektryku harmoniczne pole w dielektryku

34 34 Dla harmonicznego pola magnetycznego w przewodniku harmoniczne pole w przewodniku

35 35 Głębokość wnikania - odległość liczona w głąb przewodnika na jakiej amplituda pola zmniejszy się e razy w stosunku do wartości na powierzchni. Długość fali Głębokość wnikania

36 36 Dla miedzi: więc Identyczne równania można wyprowadzić dla E m i J m

37 37 Twierdzenie Poyntinga Moc elektromagnetyczna P wpływająca do zamkniętej przestrzeni o powierzchni A równa jest całce składowej normalnej wektora Poyntinga S n po całej powierzchni A. Twierdzenie Poyntinga jest stosowane do obliczania mocy czynnej, biernej i pozornej dopływającej do badanego obszaru. Wektor Poyntinga S określa moc i kierunek strumienia mocy EM przechodzącej przez jednostkę powierzchni prostopadłej do kierunku przepływu energii. Twierdzenie Poyntinga

38 38 Moc może być czynna bierna i pozorna, więc również wektor T może być czynny, bierny i pozorny. Przy sinusoidalnej zmienności składowych pola E i H zespolony wektor S Dla f 50 Hz W e 0

39 39 Z równań Maxwella Z twierdzenia Greena

40 40 Moc dostarczona na zwiększenie energii magnetycznej i elektrycznej Straty mocy od prądów wirowych Moc związana z pracą mechaniczną dostarczoną ładunkom swobodnym.


Pobierz ppt "Przegląd teorii elektromagnetyzmu ciąg dalszy Ludwik Antal - Numeryczna analiza pól elektromagnetycznych –W2."

Podobne prezentacje


Reklamy Google