Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 1 Sterowanie.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 1 Sterowanie."— Zapis prezentacji:

1 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 1 Sterowanie – metody alokacji biegunów II Rozważamy systemy (MIMO) Przy czym: wymiar oraz rząd ;rząd System ciągły System dyskretny

2 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 2 Obiekt Sterownik (prawo sterowania) Macierz kompensacji wzmocnień statycznych (macierz sprzężenia w przód) Przypadek ciągły: Rozwiązanie

3 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 3 Równania opisujące system zamknięty: Stąd: Równanie stanu systemu zamkniętego i macierz systemu zamkniętego oraz macierz wejścia Na system działają dwie wielkości zewnętrzne - stan początkowy - sygnał wartości zadanej CL – close loop

4 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 4 Przypadek ciągły – działanie regulacyjne Działanie regulacyjne ma na celu przeprowadzenie wektora stanu systemu ze stanu początkowego do stanu operacyjnego (końcowego) przy zadanych warunkach Będzie to wynikać z odpowiedniego doboru macierzy Rozważamy systemy liniowe – zasada superpozycji upoważnia do rozdzielnego rozważania Dla obliczenia macierzy przyjmujemy (zgodnie z zasadą superpozycji) Równanie Redukuje się do postaci tego przejścia i/lub osłabieniu wpływu zakłóceń tak, aby osiągnąć stan ustalony Wymaganie minimalne – stabilność: wszystkie wartości własne macierzy w lewej półpłaszczyźnie - zapewnienie odwracalności i osiągnięcie stanu równowagi

5 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 5 Przypadek ciągły – działanie śledzące Działanie śledzące ma na celu uzyskanie w stanie ustalonym ( ) spełnienie warunku stąd Równanie wyjścia systemu zamkniętego przyjmuje postać Równanie stanu systemu zamkniętego sprowadza się do stąd

6 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 6 Przypadek p = q (wymiar p wektora sterowań u = wymiar q wektora wyjścia y) Macierz kwadratowa i jeżeli odwracalna Uwaga 1: macierz wzmocnień jest równa odwrotności wzmocnienia statycznego systemu zamkniętego (liczonego od u M do y) Równania opisujące ten system zamknięty: Stąd: Równanie stanu tego systemu zamkniętego i macierz tego systemu zamkniętego oraz macierz wejścia

7 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 7 Macierz transmitancji systemu opisywanego równaniem stanu U nas,, stąd określona jest Wzmocnienie statyczne

8 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 8 Uwaga 2: Macierz kompensacji wzmocnienia statycznego jest idealna tylko, jeżeli parametry systemu, których zależy, są dokładnie znane i nie zmieniają się w czasie. Kompensacja niespełnienia tych dwóch wymagań – dodanie członu całkującego w pętli sterowania (później !!!) Przypadek p q (wymiar p wektora sterowań u wymiar q wektora wyjścia y) Najczęściej: p < q Macierz nie może być określona poprzez obliczenie macierzy odwrotnej Wymaganie jednostkowości wzmocnienia określonego zależnością można zastosować jedynie do dostępnych sterowań i odpowiadających wyjść i wartości zadanych Gdy: p > q Można przeciwnie odrzucić stosowanie wymagania jednostkowości dla p – q dostępnych sterowań

9 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 9 Przypadek dyskretny: Rozwiązanie Obiekt Sterownik (prawo sterowania) Macierz kompensacji wzmocnień statycznych (macierz sprzężenia w przód) Opóźnienie

10 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 10 Równania opisujące system zamknięty: Stąd: Równanie stanu systemu zamkniętego i macierz systemu zamkniętego oraz macierz wejścia CL – close loop

11 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 11 stanu początkowego w stan końcowy otrzymywanych dla z zależności, która przeprowadzi system ze Przypadek dyskretny – działanie regulacyjne Podobnie jak w przypadku ciągłym, przyjmujemy Problem sterowania sprowadza się do określenia sekwencji wartości

12 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 12 Przypadek dyskretny – działanie śledzące Działanie śledzące ma na celu uzyskanie w stanie ustalonym ( ) spełnienia warunku stąd Równanie wyjścia systemu zamkniętego przyjmuje postać Równanie stanu systemu zamkniętego sprowadza się do stąd

13 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 13 jeżeli p = q: Podobnie: macierz wzmocnień jest równa odwrotności wzmocnienia statycznego systemu zamkniętego (liczonego od u M do y) Wzmocnienie statyczne

14 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 14 Metody projektowania macierzy sterowania (sprzężenia zwrotnego) L Dwie grupy metod: Metody alokowania biegunów (metody rozmieszczania biegunów) Dane jest a priori rozmieszczenie biegunów systemu zamkniętego (na płaszczyźnie s lub z) i macierz L jest wyznaczana tak, aby system zamknięty posiadał rzeczywiście takie bieguny Metody specyficzne dla systemów MIMO

15 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 15 Metoda alokacji biegunów Podstawy metody Metoda związana z działaniem regulacyjnym (związane z warunkiem początkowym, przy przyjęciu Nie bierze się pod uwagę równania wyjścia, gdyż brane jest ono pod uwagę przy projektowaniu macierz kompensacji wzmocnień lub Schemat sterowania systemu ze sterowaniem od stanu

16 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 16 Projektowanie metodą alokacji biegunów polega znalezieniu stałej macierzy sprzężenia zwrotnego (od stanu) takiej, że wartości własne systemu zamkniętego zarówno systemu ciągłego jak i dyskretnego, znajdują się w danych położeniach na płaszczyźnie s lub z Warunki istnienia macierzy Wszystkie wartości własne systemu mogą być przemieszczone do nowych dowolnych położeń wtedy i tylko wtedy, gdy system jest całkowicie sterowalny Sterowalność, warunki sterowalności, dekompozycja kanoniczna sterowalności - poprzednie wykłady System niesterowalny (niecałkowicie sterowalny) Przez przekształcenie podobieństwa znajdujemy postać dekompozycyjną kanoniczną sterowalności systemu

17 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 17 Dekompozycyjna postać kanoniczna sterowalności gdzie - sterowalne zmienne stanu nowego wektora stanu - niesterowalne zmienne stanu nowego wektora stanu Sterowanie sprzężeniem od stanu System ciągły System dyskretny System ciągły System dyskretny

18 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 18 daje system zamknięty o równaniu stanu System ciągły System dyskretny Blokowo – diagonalna macierz systemu zamkniętego ma wartości będące połączeniem wartości własnych macierzy System ciągły System dyskretny Wybór wartości własnych systemu zamkniętego nie jest w tym przypadku arbitralny, ponieważ musi on zawierać wartości własne (system ciągły) lub (system dyskretny)

19 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 19 Arbitralny wybór wartości własnych jest równoważny arbitralnemu Ogólna procedura wyznaczania macierzy L Wartości własne macierzy systemu zamkniętego, które Przy warunku równanie stanu systemu zamkniętego zostały wybrane, są zerami wielomianu charakterystycznego systemu zamkniętego gdzie, oznacza, że współczynnik wielomianu zależy od elementów nieznanej macierzy wyborowi współczynników wielomianu, ponieważ

20 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 20 Przyrównując do siebie współczynniki powyższych wielomianów, otrzymujemy układ równań t.j. układ n równań (określone ) o p x n niewiadomych (wymiar macierzy L) Konsekwencje: p = 1, system jednowymiarowy, układ określony, istnieje jednoznaczne rozwiązanie p > 1, system wielowymiarowy, układ niedookreślony, nie istnieje jednoznaczne rozwiązanie ( )

21 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 21 Systemy jednowymiarowe Dla p = 1 macierz redukuje się do wiersza Prawo sterowania, staje się skalarem Dla systemów niskiego rzędu (do 4 – tego) lub gdy macierz systemu zamkniętego jest rzadka (mało elementów niezerowych) układ równań ( ) można rozwiązywać bezpośrednio dla otrzymania System dany w postaci kanonicznej sterowalności Jeżeli system dany w postaci kanonicznej sterowalności (patrz poprzednie wykłady) – macierz systemu zamkniętego CCF – Controllability Canonical Form

22 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 22 Przypomnienie: macierz oraz wektor Stąd

23 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 23 Macierz ma nadal strukturę kanoniczną sterowalności – współczynniki wielomianu charakterystycznego otrzymujemy bez obliczeń Współczynniki wielomianu charakterystycznego = elementy ostatniego wiersza macierzy systemu zamkniętego w postaci kanonicznej sterowalności ze znakiem przeciwnym Twierdzenie 1: Załóżmy, że system sterowania ciągłego, jednowymiarowego jest dany w postaci kanonicznej sterowalności z wielomianem charakterystycznym i że dla systemu zamkniętego wielomian charakterystyczny jest postulowany. Wówczas macierz dająca taki wielomian dana jest

24 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 24 System dany w dowolnej postaci – wzór Ackermanna Jeżeli system jest sterowalny, to zawsze można go przekształcić do postaci kanonicznej sterowalności stosując przekształcenie podobieństwa gdzie jest wektorem stanu odpowiadającym postaci kanonicznej oraz macierz odwrotna przekształcenia jest dana wzorem gdzie wiersz jest ostatnim wierszem odwrotnej macierzy sterowalności Dla postaci kanonicznej sterowalności prawo sterowania ma postać co daje

25 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 25 Dalej wykorzystywane jest twierdzenie Cayleya-Hamiltona Macierz dająca postulowany wielomian charakterystyczny Twierdzenie Cayleya-Hamiltona: Każda macierz kwadratowa wymiaru spełnia swoje równanie charakterystyczne. Innymi słowy, jeżeli równanie charakterystyczne macierzy jest wówczas zachodzi też

26 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 26 macierze oraz Macierz podobne mają takie same wartości własne, w przypadku rozważanym są to Macierz te mają zatem też jednakowe wielomiany charakterystyczne Zgodnie z twierdzeniem Cayleya-Hamiltona macierz musi zatem spełniać równanie równanie macierzy Równanie charakterystyczne macierzy daje mnożąc lewostronnie przez Podstawiając ten wynik do dostajemy twierdzenie Ackermanna

27 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 27 Twierdzenie 2: Jeżeli system jest sterowalny i postulowany jest wielomian charakterystyczny systemu zamkniętego postaci to macierz sterowania należy wybrać jako gdzie jest ostatnim wierszem odwrotnej macierzy sterowalności a zatem jest określony

28 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 28 Przykład 1: System jednowymiarowy Zaprojektować sterowanie ze sprzężeniem zwrotnym od stanu, tzn. wyznaczyć, które są elementami macierzy sterowań Bieguny (wartości własne) systemu zamkniętego powinny być ulokowane w punktach

29 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 29 Opis w przestrzeni stanu Wielomian charakterystyczny systemu zamkniętego Najpierw Macierz systemu zamkniętego

30 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 30 Stąd wielomian charakterystyczny systemu zamkniętego Pożądany wielomian charakterystyczny systemu zamkniętego Stąd układ równań Rozwiązanie

31 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 31 Prawo sterowania

32 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 32 Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę

33 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 33 System jednowymiarowy ciągły Dodatek 1 Postać kanoniczna sterowalności Macierz sterowalności (dla dowolnej postaci)

34 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 34 Przekształcenia podobieństwa

35 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 35 Przekształcenie do postaci kanonicznej sterowalności Twierdzenie D1: Jeżeli system jest sterowalny, wówczas jest możliwe za pomocą przekształcenia przedstawić go w postaci kanonicznej sterowalności gdzie, i gdzie macierz odwrotna przekształcenia,

36 Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 36 Przy czym wiersz jest ostatnim wierszem odwrotnej macierzy sterowalności i może zatem być obliczony z następującego układu równań to znaczy, że zachodzi również


Pobierz ppt "Teoria sterowania 2010/2011Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 1 Sterowanie."

Podobne prezentacje


Reklamy Google