Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Stabilność

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Stabilność"— Zapis prezentacji:

1 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Stabilność Stabilność to jedna z najważniejszych właściwości systemów dynamicznych W większości przypadków, stabilność jest warunkiem koniecznym praktycznego zastosowania systemu Interesujemy się stabilnością systemu, bo chcemy: ustabilizować system niestabilny uczynić bardziej stabilnym system stabilny Istnieje kilka możliwych definicji stabilności – większość z nich odwołuje się do pojęcia punktu/stanu równowagi

2 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2 Rozważamy: System ciągły System dyskretny

3 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3 Dla systemów opisanych równaniem stanu System ciągły System dyskretny mówimy, że punkt/stan jest punktem/stanem równowagi, jeżeli jest stanem systemu dla pewnej chwili początkowej t 0 lub k 0 i pozostaje nim dla wszystkich chwil następnych przy zerowej wartości wejścia To oznacza, że spełnia równanie System ciągły System dyskretny Inaczej: system znajdujący się w stanie równowagi pozostanie w nim, jeżeli nie będzie na niego oddziaływać żadne wejście

4 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4 Uwaga: istnienie stanu równowagi dla systemu nie zapewnia jego stabilności Stabilny stan równowagi Niestabilny stan równowagi Uwaga: Stan równowagi a stan stacjonarny System ciągły – stan równowagi System dyskretny – stan równowagi System ciągły – stan stacjonarny System dyskretny – stan stacjonarny

5 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5 Dla systemu liniowego stan równowagi może być znaleziony przez rozwiązanie równania System ciągły System dyskretny Wniosek: stan jest zawsze stanem równowagi systemu liniowego, ale mogą istnieć również inne stany równowagi Stan jest jedynym stanem równowagi systemu liniowego, jeżeli System ciągły System dyskretny Macierz jest nieosobliwa dla wszystkich wartości Taki stan równowagi nazywamy odosobnionym/izolowanym (ang. isolated) stanem równowagi

6 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6 Macierz ma co najmniej jedną wartość własną równą zero dla dowolnej wartości Macierz ma co najmniej jedną wartość własną równą jeden dla dowolnej wartości System ciągły System dyskretny Jeżeli, system dynamiczny liniowy ma nieskończenie wiele stanów równowagi W takim przypadku możemy napisać, że stan równowagi spełnia równanie System ciągły System dyskretny co pokazuje, że nieskończenie wiele wektorów własnych postaci jest stanami równowagi

7 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7 Dla systemów nieliniowych sprawa jest bardziej złożona Przykładowe wykresy fazowe dla systemu nieliniowego drugiego rzędu Obszar stabilny Obszar niestabilny Trajektorie stanu Odosobniony niestabilny stan równowagi Odosobniony stabilny stan równowagi Cykl graniczny

8 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8 Wyróżniamy: stabilność lokalną stabilność globalną - kiedy system jest stabilny dla pewnych wartości stanów początkowych i danego stanu równowagi - kiedy system jest stabilny dla wszystkich wartości stanów początkowych i danego stanu równowagi oraz stabilność wewnętrzną - względem warunków początkowych systemu, odpowiedzi swobodnej systemu stabilność zewnętrzną - względem wymuszeń systemu, odpowiedzi wymuszonej systemu

9 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9 Formalne definicje stabilności podamy dla systemów ciągłych, lecz są one poprawne również dla systemów dyskretnych (zamiana czasu ciągłego t na dyskretny k wówczas dla wszystkich Stabilność Stan jest stanem stabilnym równowagi dla chwili, jeżeli dla dowolnej istnieje wartość taka, że jeżeli Stan, który jest stabilny w powyższym sensie jest nazywany stabilnym w sensie Lapunowaa Jeżeli dla stabilności w powyższym sensie wartość jest niezależna od wyboru chwili to stan to stan nazywamy jednorodnie stabilnym Niestabilność Stan jest stanem niestabilnym równowagi dla chwili, jeżeli nie jest on stabilny

10 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10 Ilustracja stabilności dla systemu rzędu drugiego

11 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11 taka, że jeżeli wówczas Stabilność asymptotyczna lokalna Stan jest stanem lokalnie asymptotycznie stabilnym równowagi dla chwili, jeżeli jest stabilny (w sensie Lapunowa) i jeżeli istnieje wartość Jeżeli dla stabilności w powyższym sensie wartość jest niezależna od wyboru chwili to stan to stan nazywamy jednorodnie asymptotycznie stabilnym Ilustracja asymptotycznej stabilności dla systemu rzędu drugiego

12 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12 dla dowolnego stanu początkowego Stabilność asymptotyczna globalna Stan jest stanem globalnie asymptotycznie stabilnym równowagi dla chwili, jeżeli jest stabilny (w sensie Lapunowa) i jeżeli Podane definicje stabilności są kryteriami stabilności wewnętrznej – sformułowane dla zerowych wartości wejścia spełniające warunek dla wszystkich, wówczas system Stabilność BIBO Jeżeli jakiekolwiek wejście systemu spełniające warunek (tzn. wejście jest ograniczone) dla wszystkich wywołuje wyjście systemu jest stabilny w sensie ograniczone-wejście-ograniczone-wyjście (ang. bounded-input-bounded-output, BIBO)

13 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13 Przełożenie (bez dowodów) podanych warunków stabilności dla systemu liniowego stacjonarnego ciągłego; ograniczymy się do stanu równowagi Stabilność wewnętrzna Stan systemu liniowego stacjonarnego jest stabilny w sensie Lapunowa Stabilność (w sensie Lapunowa) wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy systemu mają niedodatnie części rzeczywiste i jeżeli wartości własne leżące na osi urojonej (mające zerowe części rzeczywiste) są jednokrotne (nie powtarzają się) Stan systemu liniowego stacjonarnego jest globalnie asymptotycznie Stabilność asymptotyczna stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy systemu mają ujemne części rzeczywiste

14 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14 Przykład 1. Dany jest system dynamiczny z wartościami współczynników Zbadać stabilność wewnętrzną systemu

15 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15 Wielomian charakterystyczny macierzy Dla przykładu Wartości własne macierzy Wnioski: System a ma wszystkie wartości własne w lewej półpłaszczyźnie zespolonej i jest zatem globalnie asymptotycznie stabilny System b ma jedną wartość własna na osi urojonej i jest zatem stabilny w sensie Lapunowa System c ma podwójną wartość własną na osi urojonej i jest zatem niestabilny

16 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16 Wyniki symulacji System a. Macierz nieosobliwa, zatem stan równowagi Weźmy: warunek początkowy wejście

17 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17 System b. Macierz osobliwa, stanów równowagi nieskończenie wiele Weźmy: warunek początkowy wejście Wektor własny związany z wartością własną ma postać gdzie, q dowolna liczba Dowolny wektor początkowy równy temu wektorowi własnemu będzie stanem równowagi Jeżeli wybierzemy inny warunek początkowy system osiągnie pewien stan równowagi zgodny z podanym warunkiem dla stanu równowagi Wyniki symulacji

18 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18 Wynik symulacji

19 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19 System c. Macierz osobliwa, stanów równowagi nieskończenie wiele, brak stabilnych Weźmy: warunek początkowy wejście Wyniki symulacji

20 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20 Przełożenie (bez dowodów) podanych warunków stabilności dla systemu liniowego stacjonarnego dyskretnego; ograniczymy się do stanu równowagi Stabilność wewnętrzna Stan systemu liniowego stacjonarnego jest stabilny w sensie Lapunowa Stabilność (w sensie Lapunowa) wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy systemu nie leżą na zewnątrz okręgu jednostkowego i jeżeli wartości własne leżące na okręgu jednostkowym są jednokrotne Stan systemu liniowego stacjonarnego jest globalnie asymptotycznie Stabilność asymptotyczna stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy systemu leżą ściśle wewnątrz okręgu jednostkowego

21 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21 Stabilność zewnętrzna Przełożenie (bez dowodów) podanych warunków stabilności BIBO dla systemu liniowego stacjonarnego ciągłego i dyskretnego System ciągły liniowy stacjonarny jest opisany równaniem stanu i równaniem Stabilność BIBO – system ciągły wyjścia jest BIBO stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy bieguny macierzy transmitancji leżą ściśle w lewej półpłaszczyźnie zespolonej System dyskretny liniowy stacjonarny jest opisany równaniem stanu i Stabilność BIBO – system dyskretny równaniem wyjścia jest BIBO stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy bieguny macierzy transmitancji leżą ściśle wewnątrz okręgu jednostkowego

22 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22 Stabilność wewnętrzna a zewnętrzna Przykład 2. Dany jest system dynamiczny Zbadać stabilność wewnętrzną i zewnętrzną systemu Wyliczenie wartości własnych wielomianu charakterystycznego macierzy

23 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23 Wartości własne Wniosek: system jest niestabilny wewnętrznie Model zewnętrzny

24 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24 Wskutek skrócenia pary biegun-zero bieguny systemu system jest zewnętrznie stabilny (BIBO – stabilny) Wyniki symulacji dla wejścia – skok jednostkowy i zerowych warunków początkowych Niestabilność stanów

25 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25 Stabilność wyjścia

26 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26 Podsumowanie: Każdy system stabilny asymptotyczne w sensie Lapunowa jest stabilny w sensie BIBO System stabilny w sensie Lapunowa może być - niestabilny w sensie BIBO - stabilny w sensie BIBO System stabilny w sensie BIBO nie musi być stabilny w sensie Lapunowa

27 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27 Sterowalność Sterowalność i obserwowalność - podstawowe pojęcia sterowania Sterowalność określa możliwości wpływania na stan (lub wyjście) systemu odpowiednim ukształtowaniem wejścia Ogólnie wyróżnia się dwa określenia sterowalności: 1. Sterowalność do początku (controllability-to-the-origin), nazywana krócej sterowalnością (controllability) 2. Sterowalność od początku (controllability-from-the-origin), nazywana krócej osiągalnością (reachability) Ograniczymy się do zapoznania się z podstawowymi wynikami znanymi dla systemów liniowych, a w szczególności stacjonarnych

28 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 28 Dla systemów liniowych stacjonarnych mówimy: Stan x 0 nazywamy sterowalnym, jeżeli istnieje wejście, które przeprowadza stan systemu x(t) z stanu x 0 do stanu zerowego w pewnym skończonym czasie T Stan zerowy osiągany ze stanu x 0 przy zastosowaniu różnych wejść u 1 (t) i u 2 (t), w różnych skończonych czasach T 1 i T 2 oraz po różnych trajektoriach

29 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 29 Dla systemów liniowych stacjonarnych mówimy: Stan x 1 nazywamy osiągalnym, jeżeli istnieje wejście, które przeprowadza stan systemu x(t) z stanu zerowego do stanu x 1 w pewnym skończonym czasie T Stan x 1 osiągany ze stanu zerowego przy zastosowaniu różnych wejść u 1 (t) i u 2 (t), w różnych skończonych czasach T 1 i T 2 oraz po różnych trajektoriach

30 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30 Stan sterowalny Stan systemu liniowego jest sterowalny, jeżeli można system przeprowadzić z tego stanu do stanu Sterowalność stanu za pomocą odpowiedniego sterowania w skończonym czasie Jeżeli każdy stan jest sterowalny, mówimy, że system jest całkowicie sterowalny lub krócej sterowalny Systemy ciągłe

31 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 31 Sterowalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego System liniowy stacjonarny jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz sterowalności, nazywana macierzą sterowalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Wymiar macierzy sterowalności: nxnm; n – wymiar stanu, m – wymiar wejścia Dla m=1 macierz sterowalności jest macierzą kwadratową i dla sprawdzenia sterowalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy sterowalności

32 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 32 Przykład 3. Dany jest system dynamiczny Zbadać sterowalność systemu Konstruujemy macierz sterowalności

33 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33 Stąd Dla sprawdzenia sterowalności policzymy wyznacznik zatem System jest niesterowalny (względem stanów)

34 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 34 Lewa górna podmacierz macierzy sterowalności ma wyznacznik różny od zera, zatem Przykład 4. Dany jest system dynamiczny Zbadać sterowalność systemu

35 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35 Transmitancja systemu Konstruujemy macierz sterowalności stąd

36 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36 Macierz sterowalności jest niezależna od współczynników licznika transmitancji systemu Wyznacznik macierzy sterowalności Wyznacznik macierzy sterowalności nie zależy współczynników wielomianu charakterystycznego a 0, a 1 oraz a 2, zatem system o takiej strukturze jest zawsze sterowalny względem stanu

37 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 37 Dla systemów ciągłych sterowalność i osiągalność są równoważne Możemy tą równoważność wypowiedzieć w następujący sposób: Jeżeli system ciągły posiada cechę sterowalności stwierdzoną w oparciu o podane twierdzenie, to oznacza to, że będziemy mogli znaleźć trajektorię wejścia, która będzie przemieszczać system z dowolnego stanu początkowego do dowolnego stanu końcowego

38 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 38 Systemy dyskretne Przykład 4. Rozważmy system dyskretny Równania dla poszczególnych stanów maja postać: W świetle podanej definicji system jest sterowalny, bo: Weźmy dowolny stan Wybierając sterowanie

39 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 39 Przeprowadzimy system do stanu dla Zatem system jest sterowalny, w świetle podanej definicji Drugi stan jest równy zero dla wszystkichniezależnie od przyłożonego wejścia i nie można go przeprowadzić gdziekolwiek indziej System nie posiada zatem cechy osiągalności Wniosek z przykładu: Można wskazać systemy dyskretne posiadające cechę sterowalności, ale nie posiadające cechy osiągalności Uzasadnione jest zatem w odniesieniu do systemów dyskretnych stwierdzać posiadanie cechy osiągalności

40 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 40 Stan osiągalny Stan systemu liniowego jest osiągalny, jeżeli można system przeprowadzić do tego stanu ze stanu Osiągalność stanu za pomocą odpowiedniego sterowania w skończonym czasie Jeżeli każdy stan jest osiągalny, mówimy, że system jest całkowicie osiągalny lub krócej osiągalny

41 Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 41 Osiągalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego System liniowy stacjonarny jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz osiągalności, nazywana macierzą osiągalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Wymiar macierzy osiągalności: nxnm; n – wymiar stanu, m – wymiar wejścia Dla m=1 macierz osiągalności jest macierzą kwadratową i dla sprawdzenia osiągalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy osiągalności


Pobierz ppt "Systemy dynamiczne 2010/2011Stabilność, sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Stabilność"

Podobne prezentacje


Reklamy Google