Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Sterowalność i obserwowalność

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Sterowalność i obserwowalność"— Zapis prezentacji:

1 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Sterowalność i obserwowalność Obok stabilności – dwa podstawowe pojęcia teorii i inżynierii sterowania Przykład 1 Mamy system Liniowy, stacjonarny, 1 – wejście, 1 - wyjście

2 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2 Transmitancja Zera i bieguny transmitancji Transmitancja po redukcji

3 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3 Schemat blokowy modelu przestrzeni stanu

4 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4 Transformacja do postaci diagonalnej Schemat blokowy modelu w nowej przestrzeni stanu

5 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5 Cztery różne statusy zmiennych stanu: - v 1 można na niego wpływać sterowaniem u i można go obserwować z wyjścia y - v 2 nie można na niego wpływać sterowaniem u, ale można go obserwować z wyjścia y - v 3 można na niego wpływać sterowaniem u, ale nie można go obserwować z wyjścia y - v 4 nie można na niego wpływać sterowaniem u, ani nie można go obserwować z wyjścia y

6 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6 Można wyróżnić cztery podsystemy: - związany ze zmienną stanu v 1 sterowalny i obserwowalny - związany ze zmienną stanu v 2 niesterowalny, ale obserwowalny - związany ze zmienną stanu v 3 sterowalny, ale nieobserwowalny - związany ze zmienną stanu v 4 niesterowalny i nieobserwowalny Stany niesterowalne i nieobserwowalne mogą być alb stabilne, albo niestabilne System, którego wszystkie stany niesterowalne są stabilne jest nazywany stabilizowalnym System, którego wszystkie stany nieobserwowalne są stabilne jest nazywany wykrywalnym

7 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7 Sterowalność Sterowalność określa możliwości wpływania na stan (lub wyjście) systemu odpowiednim ukształtowaniem wejścia Ogólnie wyróżnia się dwa określenia sterowalności: 1. Sterowalność do początku (controllability-to-the-origin), nazywana krócej sterowalnością (controllability) 2. Sterowalność od początku (controllability-from-the-origin), nazywana krócej osiągalnością (reachability) Ograniczymy się do zapoznania się z podstawowymi wynikami znanymi dla systemów liniowych, a w szczególności stacjonarnych

8 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8 Dla systemów liniowych stacjonarnych mówimy: Stan x 0 nazywamy sterowalnym, jeżeli istnieje wejście, które przeprowadza stan systemu x(t) z stanu x 0 do stanu zerowego w pewnym skończonym czasie T Stan zerowy osiągany ze stanu x 0 przy zastosowaniu różnych wejść u 1 (t) i u 2 (t), w różnych skończonych czasach T 1 i T 2 oraz po różnych trajektoriach

9 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9 Dla systemów liniowych stacjonarnych mówimy: Stan x 1 nazywamy osiągalnym, jeżeli istnieje wejście, które przeprowadza stan systemu x(t) z stanu zerowego do stanu x 1 w pewnym skończonym czasie T Stan x 1 osiągany ze stanu zerowego przy zastosowaniu różnych wejść u 1 (t) i u 2 (t), w różnych skończonych czasach T 1 i T 2 oraz po różnych trajektoriach

10 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10 Stan sterowalny Stan systemu liniowego jest sterowalny, jeżeli można system przeprowadzić z tego stanu do stanu Sterowalność stanu za pomocą odpowiedniego sterowania w skończonym czasie Jeżeli każdy stan jest sterowalny, mówimy, że system jest całkowicie sterowalny lub krócej sterowalny Systemy ciągłe

11 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11 do stanu zerowego jest sterowalny w skończonym przedziale czasu, jeżeli istnieje wejście, które przeprowadzi system z dowolnego stanu System sterowalny System liniowy Sterowalność systemu Jeżeli istnieje chociaż jeden stan systemu na który nie można oddziaływać przez jakiekolwiek wejście systemu, wówczas system jest niesterowalny

12 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12 Sterowalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego System liniowy stacjonarny (twierdzenie SSC LS1) jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz sterowalności, nazywana macierzą sterowalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Wymiar macierzy sterowalności: nxnp; n – wymiar stanu, p – wymiar wejścia Dla p=1 macierz sterowalności jest macierzą kwadratową i dla sprawdzenia sterowalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy sterowalności

13 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13 Przykład 2. Dany jest system dynamiczny Zbadać sterowalność systemu Konstruujemy macierz sterowalności

14 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14 Stąd Dla sprawdzenia sterowalności policzymy wyznacznik zatem System jest niesterowalny (względem stanów)

15 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15 Lewa górna podmacierz macierzy sterowalności ma wyznacznik różny od zera, zatem Przykład 3. Dany jest system dynamiczny Zbadać sterowalność systemu

16 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16 Transmitancja systemu Konstruujemy macierz sterowalności stąd

17 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17 Macierz sterowalności jest niezależna od współczynników licznika transmitancji systemu Wyznacznik macierzy sterowalności Wyznacznik macierzy sterowalności nie zależy współczynników wielomianu charakterystycznego a 0, a 1 oraz a 2, zatem system o takiej strukturze jest zawsze sterowalny względem stanu

18 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18 Przykład 4 - powrót Konstruujemy macierz sterowalności Dwa stany sterowalne, dwa niesterowalne

19 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19 Przykład 5 Dany jest system dynamiczny Zbadać sterowalność systemu Macierz sterowalności System sterowalny

20 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20 Przykład 6 Dany jest system dynamiczny Zbadać sterowalność systemu Macierz sterowalności System sterowalny

21 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21 Zwykle i-ty wektor własny odpowiadający i-tej wartości własnej macierzy A jest definiowany Ze względu na porządek mnożenia, tak określony wektor własny v i jest nazywany prawostronnym wektorem własnym Podobnie można zdefiniować lewostronny wektor własny w i Dokonując transpozycji Widać: lewostronne wektory własne A są prawostronnymi wektorami własnymi A T

22 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22 System liniowy stacjonarny jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadem lewostronny wektor własny macierz A, taki że co oznacza, że żaden wektor własny macierz A nie jest ortogonalny do wszystkich kolumn macierz B Twierdzenie SSC LS2

23 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23 System liniowy stacjonarny jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz o wymiarze nx(n+p) ma rząd n dla dowolnego zespolonego skalara s Twierdzenie SSC LS3 Test sterowalności w oparciu o twierdzenia 2 i 3 nosi nazwę testu Popova – Belevitcha-Hautusa

24 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24 Przykład 7 - powrót Test sterowalności Popova – Belevitcha-Hautusa Lewostronne wektory własne dla

25 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25 Patrząc na nietrudno spostrzec, że System jest niesterowalny

26 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26 Diagonalny system liniowy stacjonarny z jednokrotnymi wartościami własnymi jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz B nie ma wierszy zerowych Twierdzenie SSC LS4

27 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27 Przykład 6. Układ elektryczny; wejście – napięcie u, wyjście - prąd y Budowa modelu Równania bilansowe Zależność wiążąca Różniczkując zależność wiążącą i podstawiając do drugiego równania bilansowego

28 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 28 Wybierając zmienne stanu Równania stanu Równanie wyjścia System z natury ma diagonalną strukturę – możemy zastosować Twierdzenie 4 jeżeli wartości własne są jednokrotne

29 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 29 Wartości własne Ponieważ obydwa wiersze macierzy B są zawsze niezerowe – system jest sterowalny, jeżeli tylko wartości własne są jednokrotne Macierz testu Kalmana

30 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30 Wyznacznik macierzy Kalmana Jeżeli wartości parametrów elementów układu Równania stanu Równanie wyjścia Wartość własna dwukrotna

31 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 31 Wyznacznik macierzy Kalmana Schemat blokowy układu Równania stanu są niezależne Odpowiedzi stanu gdzie,, x 10 i x 20 – warunki początkowe

32 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 32 Do stanu końcowego Można doprowadzić system tylko ze stanów początkowych a nie ze wszystkich

33 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33 Sterowalność a przekształcenia podobieństwa Sterowalność zostaje zachowana podczas transformacji podobieństwa

34 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 34 Dla systemów ciągłych sterowalność i osiągalność są równoważne Możemy tą równoważność wypowiedzieć w następujący sposób: Jeżeli system ciągły posiada cechę sterowalności stwierdzoną w oparciu o podane wyżej twierdzenie, to oznacza to, że będziemy mogli znaleźć trajektorię wejścia, która będzie przemieszczać system z dowolnego stanu początkowego do dowolnego stanu końcowego System ciągły sterowalny system ciągły osiągalny

35 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35 Systemy dyskretne Przykład 4. Rozważmy system dyskretny Równania dla poszczególnych stanów maja postać: W świetle podanej definicji system jest sterowalny, bo: Weźmy dowolny stan Wybierając sterowanie

36 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36 Przeprowadzimy system do stanu dla Zatem system jest sterowalny, w świetle podanej definicji Drugi stan jest równy zero dla wszystkichniezależnie od przyłożonego wejścia i nie można go przeprowadzić gdziekolwiek indziej System nie posiada zatem cechy osiągalności Wniosek z przykładu: Można wskazać systemy dyskretne posiadające cechę sterowalności, ale nie posiadające cechy osiągalności Uzasadnione jest zatem w odniesieniu do systemów dyskretnych stwierdzać posiadanie cechy osiągalności

37 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 37 System dyskretny sterowalny system dyskretny osiągalny W ogólności zatem Implikacja ta zachodzi jednak tylko dla przypadków, gdy A D jest osobliwa, w przeciwnym przypadku podobnie jak dla systemów ciągłych System dyskretny sterowalny system dyskretny osiągalny

38 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 38 Stan osiągalny Stan systemu liniowego jest osiągalny, jeżeli można system przeprowadzić do tego stanu ze stanu Osiągalność stanu za pomocą odpowiedniego sterowania w skończonym czasie Jeżeli każdy stan jest osiągalny, mówimy, że system jest całkowicie osiągalny lub krócej osiągalny

39 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 39 Osiągalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego System liniowy stacjonarny jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz osiągalności, nazywana macierzą osiągalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Wymiar macierzy osiągalności: nxnp; n – wymiar stanu, p – wymiar wejścia Dla p=1 macierz osiągalności jest macierzą kwadratową i dla sprawdzenia osiągalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy osiągalności Twierdzenie OSD LS1

40 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 40 System liniowy stacjonarny jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadem lewostronny wektor własny macierz A D, taki że co oznacza, że żaden wektor własny macierz A D nie jest ortogonalny do wszystkich kolumn macierz B D Twierdzenie OSD LS2

41 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 41 System liniowy stacjonarny jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz o wymiarze nx(n+m) ma rząd n dla dowolnego zespolonego skalara z Twierdzenie OSD LS3 Test sterowalności w oparciu o twierdzenia 2 i 3 nosi nazwę testu Popova – Belevitcha-Hautusa

42 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 42 Diagonalny system liniowy stacjonarny z jednokrotnymi wartościami własnymi jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz B D nie ma wierszy zerowych Twierdzenie OSD LS4

43 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 43 Sterowalność wyjścia Twierdzenie SW LS1 Wyjście liniowego systemu stacjonarnego jest sterowalne wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierz o wymiarze rxnm jest równy r (r – wymiar przestrzeni wyjścia)

44 Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 44 Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę


Pobierz ppt "Systemy dynamiczne 2013/2014Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Sterowalność i obserwowalność"

Podobne prezentacje


Reklamy Google