Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Układy dynamiczne Zamiast "układ równań różniczkowych" Smale wprowadził termin "układ dynamiczny". W klasycznym determinizmie równania jednoznacznie wyrażają.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Układy dynamiczne Zamiast "układ równań różniczkowych" Smale wprowadził termin "układ dynamiczny". W klasycznym determinizmie równania jednoznacznie wyrażają."— Zapis prezentacji:

1 Układy dynamiczne Zamiast "układ równań różniczkowych" Smale wprowadził termin "układ dynamiczny". W klasycznym determinizmie równania jednoznacznie wyrażają ewolucję układu – bez żadnych zewnętrznych zakłóceń +jego zachowanie jest jednoznacznie określone dla całego czasu gdy znane są położenia i prędkości początkowe układu. Cechą równań dynamiki nieliniowej jest zdolność generowania, nawet przez proste równania, ruchu tak złożonego, że wydaje się przypadkowy - jest on nazywany chaosem deterministycznym. Chaos deterministyczny to stochastyczne zachowanie występujące w układzie deterministycznym (zachowanie losowe całkowicie rządzone przez prawo).

2 Przestrzeń fazowa układu dynamicznego jest abstrakcyjną przestrzenią o ortogonalnych współrzędnych, z których każda przedstawia zmienną potrzebną do określenia stanu układu. Przestrzeń, nazywana jest przestrzenią fazową. Rozwiązanie układu ma postać: = x 0 cos t = -x 0 sin t Rozwiązanie to w przestrzeni R + xR 2 przedstawia linię śrubową, a w przestrzeni fazowej rodzinę okręgów. Zcałkowanie równania dla  = 0 daje:

3 atraktor Chaos i porządek to dwa odrębne przejawy determinizmu. Typowy układ może istnieć w różnorodnych stanach, niektóre są uporządkowane, niektóre chaotyczne. Najważniejszą własnością układu jest jego zachowanie długookresowe - układ dynamiczny w długim okresie czasu zbliża się do atraktora. Na płaszczyźnie, dla układów typowych, jedynymi atraktorami są pojedyncze punkty i stabilne cykle graniczne. Trajektorie z basenu przyciągania są przyciągane (attracted) do trajektorii asymptotycznej. Dla większej ilości wymiarów można spotkać strukturalnie stabilny atraktor, który nie jest ani punktem, ani okręgiem - mówimy o atraktorze dziwnym. Są dwa wymagania dla rozwiązań, które wykazują chaos deterministyczny: - rozwiązywane być muszą równania deterministyczne z określonymi warunkami początkowymi i/lub brzegowymi, - rozwiązania, które mają warunki początkowe nieskończenie bliskie ewoluując rozchodzą się eksponencjalnie. Dynamiczne układy nisko-wymiarowe o zachowaniu chaotycznym są znacznym uproszczeniem systemów naturalnych takich jak np. zjawiska termodynamiczne.

4 atraktor Układ dynamiczny może być chaotycznym gdy wymiary przestrzeni fazowej są  3. Rozwiązanie z upływem czasu dąży do podzbioru przestrzeni fazowej do zwanego atraktorem. Na atraktorze sąsiednie trajektorie są rozbieżne Podzbiór A w przestrzeni fazowej, który jest osiągalny asymptotycznie przez trajektorię x(t) układu chaotycznego gdy t  jest atraktorem dziwnym (fraktalem). W R 2 jeżeli trajektoria jest zawarta w ograniczonym obszarze D jedynymi możliwymi atraktorami są punkt krytyczny lub cykl graniczny. Jeżeli cykl graniczny jest osiągany przez rozwiązanie gdy t  to jest on stateczny i jest atraktorem. Wiele układów dynamicznych osiąga stan chaotyczny jako zachowanie długookresowe (np. po pewnej liczbie okresowych lub quasiokresowych oscylacji). Jeśli chaos związany jest z dużą liczbą stopni swobody – jest losowy (random). Gdy liczba stopni swobody jest mała jest to chaos deterministyczny – trajektorie przestrzeni fazowej dążą do atraktora o strukturze fraktalnej.

5 Twierdzenie Takensa Charakter atraktora można odtworzyć na podstawie czasowych zmian pojedynczych zmiennych. Badając układ dynamiczny o wielowymiarowej przestrzeni fazowej, analizuje się przestrzenie zanurzone. Ze zbioru obserwacji szeregu czasowego s(n) jakieś skalarnej wielkości tworzone są w d-wymiarowych przestrzeniach Euklidesowych wektory o składowych będących wartościami obserwacji z opóźnieniem czasowym T: Określając wymiar atraktora w przestrzeniach zanurzonych badany jest ciąg przestrzeni o wzrastających wymiarach d. Oblicza się wymiar korelacyjny D 2 od tak zrekonstruowanego atraktora przestrzeni fazowej. Dla białego szumu lub układu o dużej liczbie stopni swobody D 2 wzrasta stale gdy wzrasta wymiar przestrzeni d. Gdy wartości wymiaru D 2 stają się niezależne od d układ wykazuje chaos deterministyczny, a atraktor jest atraktorem dziwnym o wymiarze D.. Wymiary korelacyjne D 2 atraktora w zależności od wymiaru d przestrzeni euklidesowych zanurzonych w przestrzeni fazowej

6 DYNAMO GEOMAGNETYCZNE Rikitake - układ dynamiczny Teoria pola geomagnetycznego to teoria dynama hydromagnetycznego samowzbudnego. Płynne jądro zewnętrzne składające się głównie z żelaza działa jak dynamo. Schemat strumienia cieczy, prądów elektrycznych i pola magnetycznego w przybliżeniu opisuje dysk - dynamo. Model Rikitake posiada dwa dyski symetryczne w których prąd wytworzony w jednym działa na drugi. Dynamo to może podlegać losowym samoodwróceniom i zachowuje się chaotycznie. Prądy elektryczne w jądrze generują pole magnetyczne. Ruch przewodnika elektrycznego w polu magnetycznym indukuje pole elektryczne. Lepkość płynnego jądra zewnętrznego jest na tyle mała, że ruch strumienia cieczy jest turbulentny.

7 DYNAMO GEOMAGNETYCZNE Rikitake Model tworzą dwa obracające się z prędkością , wokół równoległych osi, przewodzące dyski i dwie pętle prądowe szczotkami połączone z osiami i obrzeżem przeciwległego dysku. Do obu dysków przyłożony jest,taki sam moment siły obracających G. Prąd I wytworzony w jednym z obwodów poprzez pole magnetyczne działa siłą elektrodynamiczną na drugi dysk. W stanie stabilnym moment siły jest zrównoważony z momentem G.

8 Równania opisujące procesy zachodzące w układzie w stanie stabilnym W stabilnym stanie dynama Rikitake prąd I 2 przepływając przez pętlę generuje pole magnetyczne B 1. Pole to obejmuje obracający się przewodzący dysk. Powoduje to wyindukowanie sily elektromotorycznej i przepływ pradu I 1 w kierunku radialnym. W stanie stabilnym: gdzie R jest oporem, wzajemną indukcyjnością między dyskiem i pętlą prądową. Prad I i pole magnetyczne B wywołują siłę elektrodynamiczną na jednostkę długości przewodnika. Oddziaływanie między polem magnetycznym B i skierowanym o środka prądem I powoduje powstanie momentu siły elektrodynamicznej, który w stanie stabilnym jest zrównoważony z momentem G. Dla pierwszego dysku Analogicznie dla drugiego dysku i pętli.

9 W stanie niestabilnym gdzie L - samoindukcja każdego obwodu J - jego moment bezwładności, Wprowadzając zmienną:  0 =  1 -  2 oraz bezwymiarowe zmienne i parametry: otrzymuje się:

10 . Przyjmując pochodne po czasie równe zero otrzymuje się rozwiązania stanu stacjonarnego gdzie Znak  odpowiada normalnemu (+) i odwróconemu (-) polu geomagnetycznemu. Punkty osobliwe równania są niestabilne dla wszystkich wartości parametrów Przykład takiego rozwiązania W płaszczyźnie fazowej X 2 Y 1 pokazane są punkty osobliwe X 2 =  1/2, Y 1 =4 dla K=2 i  =1. Oscylacje przy jednej biegunowości pola narastają aż do przeskoczenia do drugiej biegunowości

11 W stanie niestabilnym Statystyka inwersji dynama Rikitake i pola geomagnetycznego nie jest podobna, lecz model jest wielkim uproszczeniem złożonych prądów cieczy w ziemskim jądrze i jest układem nisko-wymiarowym podczas gdy ziemskie dynamo układem bardzo wysokiego rzędu. Samoodwrócenia modelu istotnie podobne do samoodwróceń pola geomagnetycznego mogą być traktowane jako przesłanka, że dynamo w jądrze zachowuje się chaotycznie. Model taki został w latach 1970 skonstruowany i Cook i Roberts zademonstrowali zachodzenie samoodwróceń.


Pobierz ppt "Układy dynamiczne Zamiast "układ równań różniczkowych" Smale wprowadził termin "układ dynamiczny". W klasycznym determinizmie równania jednoznacznie wyrażają."

Podobne prezentacje


Reklamy Google