MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 7 16.04.2008 r.

Prezentacja na temat: "MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 7 16.04.2008 r."— Zapis prezentacji:

1 MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 7 r

2 Położenie punktu na orbicie
h<0 c.d. S’ S a P P’ r O Π Q υ H Porównując równania: otrzymujemy: a następnie:

3 Położenie punktu na orbicie
h<0 Uzyskane równania można wyrazić za pomocą funkcji trygonometrycznych wprowadzając nową zmienną H: wtedy: Z definicji funkcji hiperbolicznych: można pokazać, że: S’ S a P P’ r O Π Q υ H

4 Położenie punktu na orbicie
h<0 S’ S a P P’ r O Π Q υ H Wobec tego równanie: można zapisać jako: Oprócz tego:

5 Położenie punktu na orbicie
h<0 S’ S a P P’ r O Π Q υ H Ten zestaw równań pozwala wyznaczyć położenie i prędkość ciała w ruchu po hiperboli.

6 Zagadnienie dwóch ciał
Współrzędne barycentryczne Równanie: jest nazywane całką momentu pędu. Jednak należy pamiętać, że jest to moment liczony na jednostkę masy m2 i nie jest odzwierciedleniem całkowitego momentu pędu układu dwóch ciał. Rozpatrzymy teraz zagadnienie dwóch ciał używając układu współrzędnych mających początek w środku masy ciał z y x m1(x1,y1,z1) O’ m2(x2,y2,z2) O

7 Zagadnienie dwóch ciał
Współrzędne barycentryczne z y x Wektor R jest definiowany przez równanie: uwzględniając: otrzymujemy: m1(x1,y1,z1) O’ m2(x2,y2,z2) O

8 Zagadnienie dwóch ciał
Współrzędne barycentryczne z y x stąd: a) R1 ma zawsze zwrot przeciwny do R2 b) środek masy leży zawsze na linii łączącej obie masy więc R1+R2=r, gdzie r jest separacją mas c) odległości mas od środka masy są związane zależnością: m1R1=m2R2 stąd otrzymujemy: m1(x1,y1,z1) O’ m2(x2,y2,z2) O

9 Zagadnienie dwóch ciał
Współrzędne barycentryczne Wynika stąd, że niezależnie od tego jaką krzywą stożkową dostaliśmy stosując współrzędne względne, ciało wokół środka masy zakreśla taką samą krzywą przeskalowaną jedynie o pewien czynnik zależny od masy. O’ m1 m2 oś układu O’ m1 m2 oś układu

10 Zagadnienie dwóch ciał
Współrzędne barycentryczne W ruchu względnym jedną ze stałych był całkowity moment pędu: ponieważ R1 i R2 są proporcjonalne do r więc możemy napisać: z y x m1(x1,y1,z1) O’ m2(x2,y2,z2) O

11 Zagadnienie dwóch ciał
Współrzędne barycentryczne Całkowity moment pędu układu jest równy: stąd: czyli, jeżeli m2<<m1, cc2 to c jest w przybliżeniu równe momentowi pędu układu liczonego na jednostkę masy m2 z y x m1(x1,y1,z1) O’ m2(x2,y2,z2) O

12 Zagadnienie dwóch ciał
Współrzędne barycentryczne Okres obiegu każdej z mas wokół środka masy jest taki sam = P. Jednocześnie jest on równy okresowi obiegu masy m2 wokół m1 Stąd ruchy średnie są także równe: n1 =n2=n ale wielkie półosie nie: uwzględniając: otrzymujemy: O’ m1 m2 oś układu

13 Zagadnienie dwóch ciał
Współrzędne barycentryczne O’ m1 m2 oś układu co oznacza, że elipsy są różnej wielkości ale mają jednakowe mimośrody. Z rysunku można także zauważyć, że perycentra obu mas różnią się o π. Rozpatrzymy teraz całkowitą energię w układzie dwóch punktów obiegających wspólny środek masy.

14 Zagadnienie dwóch ciał
Współrzędne barycentryczne Energia całkowita układu (E*) jest sumą energii kinetycznej (liczonej w inercjalnym układzie barycentrycznym) i potencjalnej: przechodząc do współrzędnych biegunowych: skąd dostajemy: O’ m1 m2 oś układu

15 Zagadnienie dwóch ciał
Współrzędne barycentryczne Dla orbit eliptycznych mieliśmy h=-μ/2a, więc: poza tym przekształcając wyrażenie na E*: co oznacza, że dla m1<<m2, hE*/m2, stała h jest w przybliżeniu równa całkowitej energii układu liczonej na jednostkę masy m2. O’ m1 m2 oś układu

16 Orbita w przestrzeni Elementy orbitalne a – wielka półoś e – mimośród
Ω I ω ognisko orbita płaszczyzna odniesienia perycentrum kierunek węzeł wstępujący Orbita w przestrzeni Elementy orbitalne a – wielka półoś e – mimośród Ω – długość węzła wstępującego I – nachylenie orbity do płaszczyzny odniesienia ω – długość perycentrum w orbicie T – czas przejścia przez perycentrum = Ω+ω – długość perycentrum λ=M+ – długość średnia u=ω+υ – argument szerokości

17 Orbita w przestrzeni Elementy orbitalne
Ω I ω ognisko orbita płaszczyzna odniesienia perycentrum kierunek węzeł wstępujący Orbita w przestrzeni Elementy orbitalne Przejście od układu współrzędnych związanego z orbitą do układu odniesienia polega na obrocie wokół trzech osi: obrót wokół osi z o kąt ω, wtedy oś x pokrywa się z linią węzłów obrót wokół osi x o kąt I, obie płaszczyzny pokrywają się obrót wokół osi z o kąt Ω

18 Orbita w przestrzeni Elementy orbitalne
Każda z transformacji jest reprezentowana przez odpowiednią macierz obrotu: Wtedy przejścia między układami dokonuje się poprzez: Ponieważ wszystkie macierze obrotu są ortogonalne więc macierze odwrotne są po prostu macierzami transponowanymi

19 Orbita w przestrzeni Elementy orbitalne
Jeżeli ograniczymy się do współrzędnych w leżących w płaszczyźnie orbity: Obrót nie zmienia długości stąd wielka półoś i mimośród nie zmieniają się

20 Orbita w przestrzeni Położenie planety z elementów orbitalnych
Mając dane elementy orbitalne możemy wyznaczyć jej współrzędne w dowolnym układzie odniesienia. Przykład: wyznaczenie współrzędnych heliocentrycznych Jowisza na dzień 25 września 1993 r, 6:32 UT 1. Parametry orbity: parametr Epoka r a [AU] e I 1.̊30530 1.̊30537 Ω 100.̊55615 100.̊535  14.̊75385 14.̊7392 λ 34.̊40438 204.̊234 Murray, C.D. i Dermott, S.F. 1999, Solar System Dynamics, Cambridge University Press

21 Orbita w przestrzeni Położenie planety z elementów orbitalnych
3. Rozwiązując równanie Keplera dostajemy: E=189 .̊059 4. Korzystając ze wzorów: wyznaczamy współrzędne prostokątne Jowisza w płaszczyźnie jego orbity

22 Orbita w przestrzeni Położenie planety z elementów orbitalnych
5. Następnie używając wartości I, Ω,  wyznaczamy macierz, która pozwoli na przejście do układu odniesienia (heliocentrycznego): skąd: X= , Y= , Z=

23 Orbita w przestrzeni Zmiany elementów orbitalnych
Te przybliżone formuły pozwalają wyznaczyć perturbowane parametry orbitalne planet Układu Słonecznego z dokładnością rzędu 600’’ (w przedziale 1800 r. – 2050 r.) gdzie t jest czasem wyrażonym w stuleciach juliańskich począwszy od JD (epoka ) stulecie juliańskie = dni Murray, C.D. i Dermott, S.F. 1999, Solar System Dynamics, Cambridge University Press

24 Orbita w przestrzeni Zmiany elementów orbitalnych a0 (AU) e0 I0 (o)
Merkury Wenus Ziemia Mars Jowisz Saturn Uran Neptun Dane dla Ziemi są w rzeczywistości parametrami orbity barycentrum układu Ziemia-Księżyc Epoka (JD )

25 Orbita w przestrzeni Zmiany elementów orbitalnych Merkury Wenus Ziemia
66 2527 -23.51 573.57 415 Wenus 92 -4938 -2.86 162 Ziemia -5 -3804 -46.94 99 Mars -7221 11902 -25.47 53 Jowisz 60737 -12880 -4.15 839.93 8 Saturn -36762 6.11 3 Uran 152025 -19150 -2.09 1 Neptun 2514 -3.64 Zmiany wielkiej półosi i mimośrodu są pomnożone przez 108, podczas gdy zmiany wielkości kątowych zostały podane w sekundach łuku na stulecie Epoka (JD )

26 Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych
Algorytm pozwalający z położenia (X,Y,Z) i prędkości (X,Y,Z) wyznaczyć elementy orbitalne a, e, I, Ω, ν, T. Zakładamy, że masy ciała centralnego i orbitującego są równe odpowiednio m1 i m2. Mamy (w układzie odniesienia): Wtedy:

27 Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych
R – długość promienia wodzącego Ṙ – tempo zmian pr. wodzącego, znak Ṙ jest taki sam jak znak iloczynu ponieważ R jest zawsze dodatnie Potrzebne będą jeszcze rzuty momentu pędu: górny znak wybieramy jeśli cz>0, a dolny dla cz<0

28 Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych
Możemy teraz przystąpić do wyznaczenia parametrów orbity (eliptycznej): Wielką półoś wyznaczamy z równań: skąd dostajemy:

29 Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych
mimośród wyznaczamy przy wykorzystaniu uzyskanego wyrażenia na a oraz ze wzoru: otrzymujemy: Wyznaczamy nachylenie orbity, które jest kątem zawartym pomiędzy wektorem momentu pędu a jego składową hz:

30 Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych
4. Do wyznaczenia długości węzła wstępującego, Ω używamy: skąd otrzymujemy: znak wybieramy w zależności od znaku hz

31 Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych
5. Argument szerokości ω+υ otrzymamy z wyrażeń na Z/R oraz X/R (pamiętając, że r=R): czyli:

32 Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych
6. Następnie wyliczamy anomalię prawdziwą i długość perycentrum (w płaszczyźnie orbity) przy użyciu: wtedy:

33 Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych
Na koniec wyliczamy moment przejścia przez perycentrum, T. Aby tego dokonać wyznaczamy E ze wzoru: a następnie z równania Keplera i III prawa Keplera: otrzymujemy:

34 Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych
Powyższa procedura pozwala uzyskać elementy orbitalne w przypadku orbity eliptycznej. Ze względów praktycznych warto jeszcze pozbyć się z równań czynnika G(m1+m2) poprzez wybór innych jednostek. Można tego dokonać skalując niezależną zmienną t przez czynnik i wprowadzając nową zmienną czasową, τ taką, że: Można zauważyć, że taki sam skutek odniesie założenie μ=1 w równaniu: jeśli dodatkowo przyjmiemy za jednostkę długości wartość wielkiej półosi, to mamy układ dwóch ciał, w którym mamy jednostkowy ruch średni i okres orbitalny równy 2π jednostek czasowych.