Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 7 16.04.2008 r. Położenie punktu na orbicie h<0 c.d. S’S a a P P’ r O ΠQ υH Porównując równania: otrzymujemy: a następnie:

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 7 16.04.2008 r. Położenie punktu na orbicie h<0 c.d. S’S a a P P’ r O ΠQ υH Porównując równania: otrzymujemy: a następnie:"— Zapis prezentacji:

1 MECHANIKA NIEBA WYKŁAD r

2 Położenie punktu na orbicie h<0 c.d. S’S a a P P’ r O ΠQ υH Porównując równania: otrzymujemy: a następnie:

3 Położenie punktu na orbicie h<0 S’S a a P P’ r O ΠQ υH Uzyskane równania można wyrazić za pomocą funkcji trygonometrycznych wprowadzając nową zmienną H: wtedy: Z definicji funkcji hiperbolicznych: można pokazać, że:

4 Położenie punktu na orbicie h<0 S’S a a P P’ r O ΠQ υH Wobec tego równanie: można zapisać jako: Oprócz tego:

5 Położenie punktu na orbicie h<0 S’S a a P P’ r O ΠQ υH Ten zestaw równań pozwala wyznaczyć położenie i prędkość ciała w ruchu po hiperboli.

6 Zagadnienie dwóch ciał Współrzędne barycentryczne z y x m 2 (x 2,y 2,z 2 ) m 1 (x 1,y 1,z 1 ) Równanie: jest nazywane całką momentu pędu. Jednak należy pamiętać, że jest to moment liczony na jednostkę masy m 2 i nie jest odzwierciedleniem całkowitego momentu pędu układu dwóch ciał. Rozpatrzymy teraz zagadnienie dwóch ciał używając układu współrzędnych mających początek w środku masy ciał O O’

7 Zagadnienie dwóch ciał Współrzędne barycentryczne z y x m 2 (x 2,y 2,z 2 ) m 1 (x 1,y 1,z 1 ) O O’ Wektor R jest definiowany przez równanie: uwzględniając: otrzymujemy:

8 Zagadnienie dwóch ciał Współrzędne barycentryczne z y x m 2 (x 2,y 2,z 2 ) m 1 (x 1,y 1,z 1 ) O O’ stąd: a) R 1 ma zawsze zwrot przeciwny do R 2 b) środek masy leży zawsze na linii łączącej obie masy więc R 1 +R 2 =r, gdzie r jest separacją mas c) odległości mas od środka masy są związane zależnością: m 1 R 1 =m 2 R 2 stąd otrzymujemy:

9 Zagadnienie dwóch ciał Współrzędne barycentryczne Wynika stąd, że niezależnie od tego jaką krzywą stożkową dostaliśmy stosując współrzędne względne, ciało wokół środka masy zakreśla taką samą krzywą przeskalowaną jedynie o pewien czynnik zależny od masy. O’ m1m1 m2m2 oś układu O’ m1m1 m2m2 oś układu

10 Zagadnienie dwóch ciał Współrzędne barycentryczne z y x m 2 (x 2,y 2,z 2 ) m 1 (x 1,y 1,z 1 ) O O’ W ruchu względnym jedną ze stałych był całkowity moment pędu: ponieważ R 1 i R 2 są proporcjonalne do r więc możemy napisać:

11 Zagadnienie dwóch ciał Współrzędne barycentryczne z y x m 2 (x 2,y 2,z 2 ) m 1 (x 1,y 1,z 1 ) O O’ Całkowity moment pędu układu jest równy: stąd: czyli, jeżeli m 2 <

12 Zagadnienie dwóch ciał Współrzędne barycentryczne O’ m1m1 m2m2 oś układu Okres obiegu każdej z mas wokół środka masy jest taki sam = P. Jednocześnie jest on równy okresowi obiegu masy m 2 wokół m 1 Stąd ruchy średnie są także równe: n 1 =n 2 =n ale wielkie półosie nie: uwzględniając: otrzymujemy:

13 Zagadnienie dwóch ciał Współrzędne barycentryczne O’ m1m1 m2m2 oś układu co oznacza, że elipsy są różnej wielkości ale mają jednakowe mimośrody. Z rysunku można także zauważyć, że perycentra obu mas różnią się o π. Rozpatrzymy teraz całkowitą energię w układzie dwóch punktów obiegających wspólny środek masy.

14 Zagadnienie dwóch ciał Współrzędne barycentryczne O’ m1m1 m2m2 oś układu Energia całkowita układu (E * ) jest sumą energii kinetycznej (liczonej w inercjalnym układzie barycentrycznym) i potencjalnej: przechodząc do współrzędnych biegunowych: skąd dostajemy:

15 Dla orbit eliptycznych mieliśmy h=-μ/2a, więc: poza tym przekształcając wyrażenie na E * : co oznacza, że dla m 1 <

16 Orbita w przestrzeni Elementy orbitalne Ω I ω ognisko orbita płaszczyzna odniesienia perycentrum kierunek odniesienia węzeł wstępujący a – wielka półoś e – mimośród Ω – długość węzła wstępującego I – nachylenie orbity do płaszczyzny odniesienia ω – długość perycentrum w orbicie T – czas przejścia przez perycentrum j = Ω+ω – długość perycentrum λ=M+  – długość średnia u=ω+υ – argument szerokości

17 Orbita w przestrzeni Elementy orbitalne Ω I ω ognisko orbita płaszczyzna odniesienia perycentrum kierunek odniesienia węzeł wstępujący Przejście od układu współrzędnych związanego z orbitą do układu odniesienia polega na obrocie wokół trzech osi: a.obrót wokół osi z o kąt ω, wtedy oś x pokrywa się z linią węzłów b.obrót wokół osi x o kąt I, obie płaszczyzny pokrywają się c.obrót wokół osi z o kąt Ω

18 Orbita w przestrzeni Elementy orbitalne Każda z transformacji jest reprezentowana przez odpowiednią macierz obrotu: Wtedy przejścia między układami dokonuje się poprzez: Ponieważ wszystkie macierze obrotu są ortogonalne więc macierze odwrotne są po prostu macierzami transponowanymi

19 Orbita w przestrzeni Elementy orbitalne Jeżeli ograniczymy się do współrzędnych w leżących w płaszczyźnie orbity: Obrót nie zmienia długości stąd wielka półoś i mimośród nie zmieniają się

20 Orbita w przestrzeni Położenie planety z elementów orbitalnych Mając dane elementy orbitalne możemy wyznaczyć jej współrzędne w dowolnym układzie odniesienia. Przykład: wyznaczenie współrzędnych heliocentrycznych Jowisza na dzień 25 września 1993 r, 6:32 UT 1. Parametry orbity: parametrEpoka r a [AU] e I1.̊ ̊30537 Ω100.̊ ̊535  14.̊ ̊7392 λ34.̊ ̊234 Murray, C.D. i Dermott, S.F. 1999, Solar System Dynamics, Cambridge University Press

21 Orbita w przestrzeni Położenie planety z elementów orbitalnych 2.M=λ-  =189.̊495 3.Rozwiązując równanie Keplera dostajemy: E=189.̊ Korzystając ze wzorów: wyznaczamy współrzędne prostokątne Jowisza w płaszczyźnie jego orbity

22 Orbita w przestrzeni Położenie planety z elementów orbitalnych 5. Następnie używając wartości I, Ω,  wyznaczamy macierz, która pozwoli na przejście do układu odniesienia (heliocentrycznego): skąd:X= ,Y= ,Z=

23 Orbita w przestrzeni Zmiany elementów orbitalnych Murray, C.D. i Dermott, S.F. 1999, Solar System Dynamics, Cambridge University Press gdzie t jest czasem wyrażonym w stuleciach juliańskich począwszy od JD (epoka ) stulecie juliańskie = dni Te przybliżone formuły pozwalają wyznaczyć perturbowane parametry orbitalne planet Układu Słonecznego z dokładnością rzędu 600’’ (w przedziale 1800 r. – 2050 r.)

24 Orbita w przestrzeni Zmiany elementów orbitalnych a 0 (AU)e0e0 I 0 ( o )  0 ( o )Ω 0 ( o )λ 0 ( o ) Merkury Wenus Ziemia Mars Jowisz Saturn Uran Neptun Dane dla Ziemi są w rzeczywistości parametrami orbity barycentrum układu Ziemia-Księżyc Epoka (JD )

25 Orbita w przestrzeni Zmiany elementów orbitalnych Merkury Wenus Ziemia Mars Jowisz Saturn Uran Neptun Zmiany wielkiej półosi i mimośrodu są pomnożone przez 10 8, podczas gdy zmiany wielkości kątowych zostały podane w sekundach łuku na stulecie Epoka (JD )

26 Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych Algorytm pozwalający z położenia (X,Y,Z) i prędkości (X,Y,Z) wyznaczyć elementy orbitalne a, e, I, Ω, ν, T. Zakładamy, że masy ciała centralnego i orbitującego są równe odpowiednio m 1 i m 2. Mamy (w układzie odniesienia): Wtedy:

27 Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych R – długość promienia wodzącego Ṙ – tempo zmian pr. wodzącego, znak Ṙ jest taki sam jak znak iloczynu ponieważ R jest zawsze dodatnie Potrzebne będą jeszcze rzuty momentu pędu: górny znak wybieramy jeśli c z >0, a dolny dla c z <0

28 Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych Możemy teraz przystąpić do wyznaczenia parametrów orbity (eliptycznej): 1.Wielką półoś wyznaczamy z równań: skąd dostajemy:

29 Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych 2.mimośród wyznaczamy przy wykorzystaniu uzyskanego wyrażenia na a oraz ze wzoru: otrzymujemy: 3.Wyznaczamy nachylenie orbity, które jest kątem zawartym pomiędzy wektorem momentu pędu a jego składową h z :

30 Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych 4. Do wyznaczenia długości węzła wstępującego, Ω używamy: skąd otrzymujemy: znak wybieramy w zależności od znaku h z

31 Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych 5. Argument szerokości ω+υ otrzymamy z wyrażeń na Z/R oraz X/R (pamiętając, że r=R): czyli:

32 Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych 6. Następnie wyliczamy anomalię prawdziwą i długość perycentrum (w płaszczyźnie orbity) przy użyciu: wtedy:

33 Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych 7.Na koniec wyliczamy moment przejścia przez perycentrum, T. Aby tego dokonać wyznaczamy E ze wzoru: a następnie z równania Keplera i III prawa Keplera: otrzymujemy:

34 Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych Powyższa procedura pozwala uzyskać elementy orbitalne w przypadku orbity eliptycznej. Ze względów praktycznych warto jeszcze pozbyć się z równań czynnika G(m1+m2) poprzez wybór innych jednostek. Można tego dokonać skalując niezależną zmienną t przez czynnik i wprowadzając nową zmienną czasową, τ taką, że: Można zauważyć, że taki sam skutek odniesie założenie μ=1 w równaniu: jeśli dodatkowo przyjmiemy za jednostkę długości wartość wielkiej półosi, to mamy układ dwóch ciał, w którym mamy jednostkowy ruch średni i okres orbitalny równy 2π jednostek czasowych.


Pobierz ppt "MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 7 16.04.2008 r. Położenie punktu na orbicie h<0 c.d. S’S a a P P’ r O ΠQ υH Porównując równania: otrzymujemy: a następnie:"

Podobne prezentacje


Reklamy Google