Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej Rozwiązywanie równań różniczkowych.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej Rozwiązywanie równań różniczkowych."— Zapis prezentacji:

1 Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej Rozwiązywanie równań różniczkowych

2 Równanie różniczkowe rzędu n Wzór ogólny

3 Cel rozwiązania równania różniczkowego Matematyk: rozwiązanie ogólne w postaci funkcji warunki początkowe. wartości Inżynier: rozwiązanie szczególne, określone przez warunki początkowe. Interesujące są wartości funkcji dla kolejnych zmiennych niezależnych, czyli zbiór par (x 1, y 1 ), (x 2,y 1 ),...,(x n, y n ) kiedy dana jest funkcja f(x, y, y', y",..,y (n) )=0

4 Warunki początkowe Zagadnienie początkowe Zagadnienie brzegowe

5 Warunki początkowe Zagadnienie początkowe Zagadnienie początkowe – wszystkie równania warunków początkowych podane są dla tej samej zmiennej niezależnej Warunki początkowe: Np. dla równania:

6 Warunki początkowe Zagadnienie brzegowe Zagadnienie brzegowe –równania warunków początkowych podane są dla co najmniej dwóch wartości zmiennej niezależnej Warunki brzegowe: Np. dla równania: i i lub

7 Równania wyższych rzędów Przekształca się do układów równań rzędu pierwszego Np. w równaniu: podstawmy: stąd:

8 Równania wyższych rzędów Otrzymujemy układ równań pierwszego rzędu:

9 Równania wyższych rzędów Dla równanie trzeciego rzędu

10 Równania wyższych rzędów Równanie trzeciego rzędu przechodzi w układ 3 równań pierwszego rzędu

11 Metody rozwiązywania r.r. 1. Metody wielokrokowe wymagana jest znajomość p+1 punktów 1. Metody wielokrokowe: y i+1 oblicza się na podstawie znanych y i, y i-1, y i-2,.., y i-p. Do wyliczenia punktu (x i+1, y i+1 ) wymagana jest znajomość p+1 punktów obliczonych wcześniej 2. Metody klasy Rungego-Kutty 2. Metody klasy Rungego-Kutty: y i+1 oblicza się na podstawie y i i pewnych wartości pośrednich F(x i +a, y i +b), gdzie a należy do przedziału b oblicza się wg algorytmu danej metody

12 Metoda Eulera z warunkami początkowymi II rząd

13 Metoda Eulera dla równań 2-go rzędu z warunkami początkowymi

14 Metoda Eulera dla równań 2-go rzędu

15 Metody wielokrokowe Typy 1. Wykorzystujące wzory na wartość pochodnej w punkcie 2. Wykorzystujące metody całkowania numerycznego

16 Zasada metod wielokrokowych x i-p x i-3 x i-2 x i-1 xixi x i+1

17 Metody wielokrokowe typ 1. Pochodną w równaniu: Podstawia się odpowiednim wyrażeniem. Jeżeli zastosować najprostszy wzór na pochodną: Po podstawieniu: m. Eulera i przekształceniu:

18 Metody wielokrokowe typ 1. Jeżeli zastosować dokładniejszy wzór na pochodną: Po podstawieniu: i przekształceniu:

19 Metody wielokrokowe typ 1. Jeszcze większą dokładność otrzyma się stosując wzór: Po podstawieniu: i przekształceniu:

20 Metody wielokrokowe typ 1. Podsumowanie Ogólny wzór metod wielokrokowych jawnych

21 Metody wielokrokowe typ 2. Opierając się na operacji całkowania równania: W granicach przedziału Lewa strona jest dokładnie równa różnicy wartości funkcji między punktami i-p, i+1:

22 Metody wielokrokowe typ 2. Prawą stronę oblicza się całkując numerycznie jedną z metod. Jeżeli zastosować metodę prostokątów to p = 0 m. Eulera!!

23 Metody wielokrokowe typ 2. Jeżeli zastosować metodę trapezów to p = 0 Równanie to jest uwikłane ze względu na y i+1. względu na y i+1. Metody takie nazywane są niejawnymi

24 Metody wielokrokowe typ 2. Ponieważto wartość pochodnej w punkcie i Można ją oznaczyć, co upraszcza zapis Metodę bazującą na całkowaniu metodą trapezów można ostatecznie zapisać Rozwiązanie wymaga wykonania obliczeń iteracyjnych

25 Metody wielokrokowe typ Wstępne oszacowanie wartości y i Obliczenie pochodnej y' i+1 =F(x i+1, y i+1 ) 3. Obliczenie y i+1 z wyprowadzonego wzoru 4. Porównanie oszacowanej i obliczonej wartości y i+1. Jeżeli różnią się o więcej niż założona wartość to powrót do punktu 2. Metody oparte o wzory całkowe mają większą dokładność niż bazujące na równaniach na obliczenie pochodnych

26 Metody wielokrokowe typ.2 Stosując wzór całkowy Simpsona (p = 1) Otrzymuje się wzór niejawny

27 Metody wielokrokowe typ.2 podsumowanie p=0 p=1

28 Metody wielokrokowe wzór ogólny Jest to ogólny wzór na metody wielokrokowe b 0 = 0 to wzór jest jawny, b 0 0 wzór jest niejawny

29 Metody wielokrokowe dwuetapowe Pierwszy krok można wykonać stosując metodę jawną opartą o wzory na pochodną. Np.: 1. Pierwsze przybliżenie y* i+1 jest nazywane PROGNOZĄ (PREDICTOR) 2. Obliczenie pochodnej y' i+1 =F(x i+1, y* i+1 ) 3. Lepsze przybliżenie y i+1 Nazywane korektą (uściśleniem) - CORRECTOR

30 Punkty 2. i 3. powtarzane są iteracyjnie. Warunek zakończenia obliczeń iteracyjnych można przedstawić następująco: Ten sposób obliczeń nazywany jest metodą predictor-corrector. Przedstawiona metoda nosi nazwę zmodyfikowanej metody Eulera Metody wielokrokowe dwuetapowe

31 Metoda Milne'a (1) Metody wielokrokowe predictor-corrector Prognoza: Korekta:

32 Metoda Milne'a (2) Metody wielokrokowe predictor-corrector Prognoza: Korekta:

33 Wzory Adamsa Metody wielokrokowe predictor-corrector Prognoza (Adamsa-Bashfortha): Korekta (Adamsa-Moultona):

34 Obliczanie punktów początkowych w metodach wielokrokowych Stosując metody wielokrokowe mamy dany warunek początkowy typu zagadnienie początkowe czyli współrzędne punktu początkowego x 0 i y 0. Aby wykonać obliczenia metodą o pewnej wartości p potrzeba jeszcze p par x i, y i. Np. W pierwszej metodzie Milne'a p = 3. Pierwszą wartość jaką możemy obliczyć jest y 4 a innym sposobem trzeba obliczyć y 1, y 2, y 3. Można wykorzystać rozwinięcie w szereg Taylora w otoczeniu punktu x 0.

35 Stabilność i zbieżność obliczeń x0x0 y0y0 x1x1 y1y1 x2x2 y2y2 Y x3x3 y3y3 Zbieżność oznacza, że: h

36 Stabilność i zbieżność obliczeń We wszystkich wzorach błąd jest dodatnią potęgą kroku: Ponieważ krok jest bardzo mały h << 1 oraz Przedstawione metody spełniają warunek zbieżności. stąd

37 Stabilność i zbieżność obliczeń Definicja stabilności Rozwiązanie numeryczne równania różniczkowego jest stabilne, jeżeli błąd wniesiony do obliczeń przez zaokrąglenie lub metodę zostanie w trakcie obliczeń stłumiony lub rośnie wolniej od obliczonych wartości (błąd względny maleje)

38 Stabilność i zbieżność obliczeń Stabilność, tak jak zbieżność, zależy od kroku. Błąd k-tego kroku obliczeń numerycznych to suma błędów metody i zaokrąglenia:

39 Stabilność i zbieżność obliczeń h opt

40 Algorytm rozwiązywania równań różniczkowych metodą jawną O(h 3 ) 1. Czytaj parametry punktów startowych x 0, y 0, x 1, y 1 2. Czytaj końcową wartość x k i krok h 3. Podstaw za i wartość 2 5. Oblicz y i = y i-2 +2hF(x i-1, y i-1 ) 6. Zwiększ i o 1 4. Oblicz x i = x 0 +i*h 7. Oblicz x i = x 0 +i*h 8. Jeżeli x i <= x k to idź do punktu 5 9. Podstaw za n wartość i Podstaw za i wartość Drukuj x i oraz y i 14. Koniec 12. Zwiększ i o Jeżeli i<=n to idź do punktu 11

41 Algorytm rozwiązywania równań różniczkowych metodą typu predictor-corrector 1. Czytaj parametry punktów startowych x 0, y 0, x 1, y 1 2. Czytaj końcową wartość x k oraz krok h 3. Podstaw za i wartość 1 5. Oblicz y i+1 = y i-1 +2hF(x i, y i ) 7. Oblicz 8. Jeżeli |y* – y i+1 |>h 3 to idź do punktu 6 9. Zwiększ i o 1 4. Oblicz x i+1 = x 0 +(i+1)*h 10. Oblicz x i+1 = x 0 +(i+1)*h 11. Jeżeli x i+1 <= x k to idź do punktu 5 6. Przyjmij y*= y i+1

42 Algorytm rozwiązywania równań różniczkowych metodą typu predictor-corrector 12. Podstaw za n wartość i Podstaw za i wartość Drukuj x i oraz y i 17. Koniec 15. Zwiększ i o Jeżeli i<=n to idź do punktu 14


Pobierz ppt "Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej Rozwiązywanie równań różniczkowych."

Podobne prezentacje


Reklamy Google