Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Wykład 2 Pole skalarne i wektorowe 1.Funkcja wielu zmiennych 2.Pochodna cząstkowa. 3.Gradient 4.Dywergencja 5.Rotacja.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Wykład 2 Pole skalarne i wektorowe 1.Funkcja wielu zmiennych 2.Pochodna cząstkowa. 3.Gradient 4.Dywergencja 5.Rotacja."— Zapis prezentacji:

1 Wykład 2 Pole skalarne i wektorowe 1.Funkcja wielu zmiennych 2.Pochodna cząstkowa. 3.Gradient 4.Dywergencja 5.Rotacja

2 Funkcja jednej zmiennej Zmienna niezależna Zmienna zależna

3 Funkcja jednej zmiennej Wykres y=f(t) jest krzywą płaską

4 Funkcja wielu zmiennych Zmienna zależnat Zmienna niezależna

5 Funkcja wielu zmiennych Wykres – powierzchnia w 3D

6 Pochodna cząstkowa Pochodna z funkcji jednej zmiennej ( względem tej zmiennej) jest gradientem funkcji; Pochodna cząstkowa funkcji wielu zmiennych to pochodna tej funkcji względem jednej ze zmiennych niezależnych;

7 Pochodna cząstkowa Inne zmienne niezależne traktujemy jako stałe; Pochodna cząstkowa jest gradientem powierzchni w kierunku danym przez tę zmienną, względem której liczono pochodną: pochodna cząstkowa względem x

8 Przykład Pochodna cząstkowa funkcji: względem x (traktujemy y jako stałą): względem y (traktujemy x jako stałą):

9 Pole skalarne i wektorowe Pole skalarne opisuje funkcja skalarna wielu zmiennych ( np. ciśnienie, temperatura) Pole wektorowe – funkcja wektorowa wielu zmiennych (np.prąd powietrza, ciepła, pole magnetyczne).

10 Pole skalarne i wektorowe Pole skalarne: np.

11 Pole skalarne i wektorowe Pole wektorowe (2D) : np.

12 Pole wektorowe Przepływ wody wokół podpory mostu

13 Pole skalarne Głębokość wody w Auckland Harbour

14 Pole wektorowe Prądy wodne w Waitemata Harbour

15 Rozważmy funkcję skalarną f = f (x, y, z). Jak policzyć jak szybko f zmienia się wzdłuż pewnej krzywej C opisanej równaniem: s jest długością mierzoną wzdłuż C ; chcemy policzyć pochodną f względem s aby stwierdzić jak szybko zmienia się ona względem C. Niech w jest równa wartości f na krzywej C : Operator Gradientu

16 krzywa C Kontury f (x, y, z) = constant Operator Gradientu

17 Aby obliczyć jak f zmienia się wzdłuż C liczymy pochodną: Prawa strona może być też zapisana tak: Operator Gradientu

18 Czyli: gdzie jest jednostkowym wektorem stycznym do s: Operator Gradientu

19 Operator gradientu : lub:

20 Przykład Oblicz gradient funkcji: Gradient :

21 grad f tworzy pole wektorowe z pola skalarnego f Aby zinterpretować grad f piszemy: jest kątem między wektorem stycznym i wektorem grad f. Ta pochodna jest największa gdy = 0 i cos = 1. grad f jest wektorem, który jest równy maksimum szybkości zmian f i wskazuje kierunek maksimum szybkości zmian. Operator gradientu

22 Wektor gradientu w punkcie P jest prostopadły do płaszczyzny stycznej do powierzchni w punkcie P. Tak więc wektor normalnej n do powierzchni w punkcie P: Powierzchnie w 3D C n P

23 Operator dywergencji Prędkość cieczy lub gazu może reprezentować wektor pola, tzn. Dywergencja jest miarą źródłowości pola.

24 Operator dywergencji Rozważmy skalar: Jeśli v > 0 ciecz wypływa ze źródła Jeśli v < 0 ciecz wpływa do pewnego punktu

25 Operator dywergencji (div) daje skalar jeśli działa na funkcję wektorową Operator gradientu (grad) – daje wektor jeśli działa na funkcję skalarną Operator dywergencji

26 uwaga: div(grad f ) pisze się tak: To jest operator Laplacea Używany jest do modelowania fal, zjawisk dyfuzji i in. Operator Laplacea

27 Operator rotacji Prędkość ruchu obrotowego (np. bryły sztywnej) można określić stosując rotację; Niech wektor prędkości punktów bryły reprezentuje wektor pola

28 Operator rotacji Operator rotacji wektora pola:

29 Operator rotacji W postaci macierzowej:

30 Przykład Oblicz rot v dla:

31 Dla płynącej cieczy, rot v oznacza, że mamy do czynienia z wirami: rot v jest wektorem skierowanym wzdłuż osi obrotu; jego kierunek określa reguła prawej dłoni; Przy obrocie bryły sztywnej wokół ustalonej osi: rot v jest wektorem skierowanym wzdłuż tej osi; długość rot v jest równa podwojonej prędkości kątowej. Sens fizyczny rotacji

32 Podsumowanie Gradient Maksimum szybkości zmian i kierunek maksymalnej szybkości zmian pola skalarnego skalar vektor Dywergencja Wskazuje źródło pola wektor skalar Rotacja Określa obrót wektora pola wektor wektor


Pobierz ppt "Wykład 2 Pole skalarne i wektorowe 1.Funkcja wielu zmiennych 2.Pochodna cząstkowa. 3.Gradient 4.Dywergencja 5.Rotacja."

Podobne prezentacje


Reklamy Google