Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

1 FUNKCJA FALOWA UKŁADU IDENTYCZNYCH CZĄSTEK; ZAKAZ PAULIEGO. ATOM HELU.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "1 FUNKCJA FALOWA UKŁADU IDENTYCZNYCH CZĄSTEK; ZAKAZ PAULIEGO. ATOM HELU."— Zapis prezentacji:

1 1 FUNKCJA FALOWA UKŁADU IDENTYCZNYCH CZĄSTEK; ZAKAZ PAULIEGO. ATOM HELU

2 2 1. Prawdopodobieństwo zdarzenia jest dane przez kwadrat modułu zespolonej liczby Φ nazywanej amplitudą prawdopodobieństwa. P = prawdopodobieństwo Φ = amplituda prawdopodobieństwa P = |Φ| 2 !!PRZYPOMNIENIE!! PODSTAWOWE ZASADY MECHANIKI KWANTOWEJ Zdarzenie: znalezienie elektronu w punkcie r w atomie. Amplituda prawdopodobieństwa dla elektronu w układzie atomowym to funkcja falowa

3 3 2. Jeśli zdarzenie może zajść na kilka alternatywnych sposobów to całkowita amplituda dla tego zdarzenia jest sumą amplitud prawdopodobieństwa dla każdego z tych sposobów na jaki może ono zajść. Przy dwóch sposobach mamy: Φ = Φ 1 + Φ 2 P = |Φ 1 + Φ 2 | 2 = |Φ 1 | 2 +|Φ 2 | 2 + 2|Φ 1 | |Φ 2 | cosφ Występuje interferencja co tłumaczy wynik doświadczeń pokazujących falowe własności cząstek materialnych. P = (Φ 1 +Φ 2 )·(Φ 1 +Φ 2 ) * =Φ 1 ·Φ 2 *+Φ 2 ·Φ 2 * +Φ 1 ·Φ 2 * +Φ 2 ·Φ 1 * = |Φ 1 | 2 +|Φ 2 | 2 +|Φ 1 ||Φ 2 |·(e i(φ1-φ2) +e i(φ2-φ1) )= |Φ 1 | 2 +|Φ 2 | 2 +2|Φ 1 | |Φ 2 |cosφ

4 4 3. Jeśli jesteśmy w stanie określić, który z alternatywnych sposobów zachodzi (sprawdzamy przez który z otworów przechodzi elektron) to prawdopodobieństwo zdarzenia jest sumą prawdopodobieństw dla każdego z tych alternatywnych sposobów. Nie występuje interferencja i wówczas: P = | Φ 1 | 2 + |Φ 2 | 2 = P 1 + P 2 nawet wtedy jeśli w rzeczywistości nie sprawdzamy która z alternatyw była zrealizowana (wystarczy, że taka informacja jest w układzie fizycznym). Przypadek ten występuje w omawianym przez Feynmana (rozdz. 3.3 t. III) rozpraszaniu neutronów.

5 5 Rozważymy kwantowo-mechaniczne amplitudy prawdopodobieństwa dla dwóch identycznych cząstek rozpatrując zjawisko wzajemnego rozpraszania dwóch cząstek w układzie środka masy (Feynman tom III, rozdz. 3 i 4)

6 6

7 7 Niech amplituda prawdopodobieństwa zdarzenia polegającego na zarejestrowaniu cząstki a w detektorze 1 i cząstki b w detektorze 2 wynosi: Prawdopodobieństwo tego zdarzenia wyniesie zatem: Prawdopodobieństwo innego zdarzenia, o amplitudzie:, cząstka a w 2, a cząstka b w 1 (wymiana) wyniesie w takim razie:

8 8 Jeśli detektory nie są w stanie rozróżnić cząstki a od b (choć w rzeczywistości są to różne cząstki), to prawdopodobieństwo zarejestrowania obu cząstek w wyniku rozproszenia wyniesie: Dla szczególnego przypadku, gdy: czyli będzie sumą prawdopodobieństw (różne cząstki).

9 9 A jak będzie dla cząstek identycznych (nierozróżnialnych)? Ponieważ zdarzenie może zajść na dwa sposoby, więc: a także, że: Wiemy, że: czyli:

10 10 Dla podwójnej wymiany: A więc: a zatem musi być: exp(iα) = ±1 i: ze znakiem plus lub minus składowej z wymianą. A prawdopodobieństwo:

11 11 Dla: mamy: Czyli zliczeń będzie albo dwa razy więcej niż dla cząstek rozróżnialnych, albo 0; interferencja konstruktywna (bozony) albo destruktywna (fermiony) albo: bozony fermiony Bozony: fotony, cząstki α, inne o spinie całkowitym Fermiony: elektrony, neutrony, protony, inne cząstki o spinie połówkowym

12 12 Funkcja falowa elektronu w atomie wodoru: Amplituda prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w punkcie, przy czym rzut orbitalnego i własnego momentu pędu elektronu na oś z są określone. Atom helu, jądro z dwoma protonami (Z = 2) i dwa elektrony. Jak będzie wyglądała funkcja falowa? Co to jest funkcja falowa jednego elektronu ?

13 13 Zatem wydaje się, że moglibyśmy napisać: Funkcja falowa dwóch elektronów to amplituda znalezienia elektronu a w punkcie r 1 i elektronu b w punkcie r 2 : czyli, że amplituda dla dwóch elektronów byłaby iloczynem amplitud dla pojedynczych elektronów. CO Z WYMIANĄ???

14 14 Uwzględnimy wymianę, jeśli napiszemy: to stany obu elektronów n, k – zbiory liczb kwantowych opisujących te stany to jednoelektronowe funkcje falowe – amplitudy Funkcje te otrzymamy z rozwiązania równania Schrődingera co oznacza, że:

15 15 Równanie Schrődingera dla atomu He: gdzie: Z = 2 (atom helu)

16 16 Jeśli pominiemy oddziaływanie elektronów: to równanie dla atomu He przyjmie postać: gdzie:

17 17 Równanie takie można łatwo rozseparować biorąc: bez członu z wymianą, który uwzględnimy później. Po podstawieniu otrzymamy:

18 18 Mamy zatem dwa równania: których rozwiązania, ze względu na: będą rozwiązaniami dla atomu wodoropodobnego.

19 19 Energia E wyniesie: czyli: stan podstawowy (1s) 2 : – eV najniższy stan wzbudzony (1s2s, 1s2p): – 68 eV występuje degeneracja 4x (bez oddz. spin-orbita) Jak wypada porównanie z eksperymentem?

20 20 Struktura elektronowa atomu He, przybliżenie zerowe i eksperyment

21 21 Jak poprawić wynik? 1.Poprawić funkcję falową (wymiana) 2.Uwzględnić oddziaływanie elektronów V 12 Musimy zbudować antysymetryczne funkcje dwuelektronowe: gdzie pierwsze dwa wskaźniki to liczby kwantowe dla 1 elektronu, a kolejne dwa, dla drugiego.

22 22 Mamy do dyspozycji następujące funkcje: Dla n = k może być tylko opcja 3 lub/i 4 gdyż dla opcji 1 i 2 otrzymujemy Ψ(1,2) 0 ZAKAZ PAULIEGO !!! Jeśli bierzemy funkcję z lewej kolumny to musimy wziąć funkcję z prawej z przeciwnym znakiem (wymiana)

23 23 Opcja 3 daje: a opcja 4: Obie opcje są całkowicie równoważne, a ich kombinacja da albo Ψ(1,2) 0, albo:

24 24 gdzie orbitalna część będzie symetryczna ze względu na wymianę elektronów, a część spinowa będzie antysymetryczna. Podsumowując, dla n = k dwuelektronowa funkcja falowa przyjmie postać: Odpowiada to:

25 25 W przeciwieństwie do opcji 3 i 4, opcje 1 i 2 są fizycznie różne (gdyby było pole magnetyczne będą się różnić energią, między sobą, a także z opcjami 3 i 4). Otrzymamy z nich: Dla: n k z czterech opcji wybierzemy odpowiednie kombinacje tak, by otrzymać cztery fizycznie różne stany bazy.

26 26 i: Z opcji 3 i 4: tworzymy kombinacje symetryczne i antysymetryczne otrzymując: S = 1, M S = +1 S = 1, M S = -1

27 27 dla kombinacji ze znakiem plus: i dla kombinacji ze znakiem minus: S = 1, M S = 0 S = 0, M S = 0 podobnie jak dla przypadku n = k

28 28 antysymetryczna część orbitalna, symetryczna część spinowa dwuelektronowej funkcji falowej Podsumowując, dla: n k S = 0, m S = 0

29 29 Składanie dwóch spinów, model wektorowy S = 0, m = 0 S = 1, m = 1 S = 1, m = 0 S = 1, m = -1 Copyright © 1972 by Addison-Wesley Publishing Company, Inc, Introduction to Atomic Physics by Harald A. Enge. © Copyright for the Polish edition by Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983

30 30 Jakie będą energie? (jak uwzględnić V 12 ) Singlet dla (1s) 2 stan podstawowy Singlet i tryplet dla (1s, 2s) i dla (1s, 2p) Pierwszy rząd rachunku zaburzeń, funkcje przybliżenia zerowego (ψ) i zaburzenie V 12 (nieuwzględniona część hamiltonianu)

31 31 Dla stanu podstawowego (1s) 2 Przyjmując, że:otrzymamy: ΔE 1 27 eV Dla atomu wodoru w stanie podstawowym: E = –13.6 eV; zatem E P = –27.2 eV Rzeczywista wartość ΔE eV, energia jonizacji He wyniesie zatem ok eV

32 32 Dla stanów wzbudzonych (1s, 2s) i (1s, 2p) mamy dwa rodzaje funkcji przestrzennych; symetryczną (singlet) i antysymetryczną (tryplet)

33 33

34 34

35 35 Schemat energetyczny najniższych poziomów He

36 36 Oznaczenia stanów He (1s) 2 S = 0 (musi być); Pauli L = 0 Jedyny dozwolony term 1 S 0 1s2s S = 0 L = 0 symetryczna przestrzenna funkcja falowa; 1 S 0

37 37 Ale ponieważ różne n może być S = 1: symetryczna funkcja spinowa (S = 1) i antysymetryczna funkcja przestrzenna Zatem, choć L = 0, J = 1 i dozwolony term będzie 3 S 1 tryplet a nie singlet nie ma rozszczepienia spin – orbita ale w polu magnetycznym (pokażemy to później) będą trzy, a nie dwie składowe 1s2s L = 0

38 38 Nie ma ograniczeń na S; dozwolony singlet i tryplet zatem mamy 1 P i 3 P Dozwolone wartości J wyznaczamy z: 1s2p L = 1 Ostatecznie mamy: 1 P 1 i 3 P 0,1,2 jedyny term ze strukturą subtelną to 3 P J

39 39 Schemat energetyczny poziomów He, energia He 1+ w stanie podstawowym (1s) poziomem odniesienia Przejścia jednoelektronowe zgodne z regułami wyboru Para- i ortohel Copyright © Springer-Verlag, The Physics of Atoms and Quanta by Hermann Haken and Hans Christoph Wolf Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2002

40 40 Kolejność poziomów zależy od znaku i wielkości wyrazu związanego z wymianą. 1.Niżej leżą termy o wyższej multipletowości; większa wartość S bardziej symetryczna funkcja spinowa, bardziej antysymetryczna przestrzenna funkcja falowa, większa wartość całki wymiennej. 2.Wśród termów o tej samej multipletowości niżej leżą termy o większej wartości L; bardziej antysymetryczna przestrzenna funkcja falowa. Kolejność poziomów; reguła Hunda


Pobierz ppt "1 FUNKCJA FALOWA UKŁADU IDENTYCZNYCH CZĄSTEK; ZAKAZ PAULIEGO. ATOM HELU."

Podobne prezentacje


Reklamy Google