Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

MECHANIKA 2 Wykład Nr 8 Drgania punktu materialnego.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "MECHANIKA 2 Wykład Nr 8 Drgania punktu materialnego."— Zapis prezentacji:

1 MECHANIKA 2 Wykład Nr 8 Drgania punktu materialnego

2 Drgania swobodne punktu materialnego Punkt materialny o masie m porusza się ruchem prostoliniowym pod działaniem siły, przyciągającej ten punkt do stałego punktu 0, zwanego środkiem drgań. Siła oddziaływania sprężyny jest proporcjonalna do jej wydłużenia

3 Drgania swobodne punktu materialnego Po podstawieniu równanie ruchu przybiera postać: Po podstawieniu otrzymamy równanie ruchu w postaci Dynamiczne równanie tego ruchu ma postać: a po przekształceniu

4 Drgania swobodne punktu materialnego Wprowadzając stałe całkowania w postaci: Rozwiązanie ogólne ma postać:

5 Ruch określony powyższym wzorem jest ruchem okresowym o okresie T= 2  / , częstości f = 1/T. Otrzymujemy rozwiązanie ogólne w postaci: gdzie: a – amplituda drgań,  t +  – kątowa faza drgań,  – faza kątowa początkowa drgań,  – częstość kątowa drgań. Zgodnie z wcześniejszym oznaczeniem Drgania swobodne punktu materialnego

6 Drgania tłumione punktu materialnego Przyjmiemy teraz, że drgania następują w ośrodku stawiającym opór proporcjonalny do prędkości Siłę nazywamy siłą tłumiącą, a współczynnik proporcjonalności  - współczynnikiem tłumienia.

7 Drgania tłumione punktu materialnego Po oznaczeniu i otrzymamy dynamiczne równanie drgań tłumionych w postaci: Dynamiczne równanie tego ruchu ma postać: Po wprowadzeniu wyrażenia na siłę oporu otrzymamy:

8 Drgania tłumione przy mały tłumieniu Przypadek ten zachodzi, gdy  >n. Rozwiązanie ogólne ma postać: Zamiast C 1 i C 2 wprowadzimy nowe stałe: a oraz  Dynamiczne równania ruchu przybiorą postać:

9 Drgania tłumione przy małym tłumieniu W przypadku małego tłumienia punkt wykonuje drgania, jednak dla t  ∞ będzie x  0, czyli ruch nie jest okresowy. Jednak z równania ruchu wynika, że przejścia punktu przez położenia równowagi (x = 0) następują okresowo. Możemy więc mówić o drganiach tłumionych o okresie T t i częstości kątowej  t, określonych zależnościami:

10 Okres drgań jest nieznacznie większy od okresu drgań swobodnych. Tłumienie powoduje wykładnicze zmniejszanie amplitudy drgań, proporcjonalnie do aż do całkowitego zaniku drgań. Drgania tłumione przy małym tłumieniu Dwie sąsiednie amplitudy występujące dla t i t +T/2 wynoszą:

11 Drgania tłumione przy małym tłumieniu

12 Dekrement drgań tłumionych Stosunek bezwzględnych wartości amplitud drgań jest stały i wynosi Stosunek ten nazywa się dekrementem drgań. Logarytm naturalny tego stosunku  nazywamy logarytmicznym dekrementem drgań:

13 Drgania tłumione przy dużym tłumieniu Przypadek ten zachodzi wtedy, gdy. Rozwiązanie ogólne: Po podstawieniu stałych całkowania w postaci: Otrzymamy równanie ruchu w postaci:

14 Drgania tłumione przy dużym tłumieniu Zmienimy jeszcze raz stałe całkowania Równanie ruchu przybiera postać: Ruch określony tym równaniem nie jest ruchem okresowym. Przy dużym tłumieniu  > n punkt materialny nie wykonuje drgań.

15 Krytyczne tłumienie Poczynając od tłumienia krytycznego n =  ruch punktu staje się ruchem nieokresowym. Przypadek ten zachodzi wtedy, gdy n = . Rozwiązanie równania ruchu ma w tym przypadku postać:

16 Na punkt materialny działa dodatkowa siła wymuszająca S, okresowo zmienna wg równania Drgania wymuszone punktu materialnego - amplituda siły wymuszającej. pt – faza siły wymuszającej p – częstość kątowa siły wymuszającej - okres siły wymuszającej

17 Równanie ruchu ma postać: Drgania wymuszone punktu materialnego Po wprowadzeniu oznaczeń częstość kątowa drgań swobodnych, jednostkowa amplituda siły wymuszającej Równanie różniczkowe drgań wymuszonych przyjmuje postać

18 Drgania wymuszone punktu materialnego Całka ogólna różniczkowego równania ruchu ma postać – jest amplitudą drgań wymuszonych: Drgania wymuszone są sumą dwu drgań harmonicznych: - drgań swobodnych o częstości kątowej  - drgań wywołanych siłą wymuszającą o częstości kątowej p Działanie siły wymuszającej wywołuje drgania harmoniczne, które nakładają się na drgania swobodne.

19 Amplituda drgań wymuszonych wynosi Zjawisko rezonansu mechanicznego oraz dla Amplituda drgań wymuszonych zależy od częstości drgań swobodnych, częstości siły wymuszającej oraz amplitudy siły wymuszającej. Dla p =  amplituda dla

20 a szczególne rozwiązanie Zjawisko rezonansu mechanicznego W przypadku gdy ogólne rozwiązanie równania różniczkowego drgań wymuszonych przyjmuje postać : Z równań ruchu wynika, że kiedy częstość siły wymuszającej zbliża się do częstości drgań swobodnych, to maksymalne odchylenie punktu od położenia zerowego zmierza do nieskończoności. Mówimy, że zachodzi zjawisko rezonansu mechanicznego.

21 Wpływ tłumienia na drgania wymuszone Równanie dynamiczne tego ruchu lub

22 3) dla tłumienia krytycznego, gdy, 2) dla dużego tłumienia, gdy, Wpływ tłumienia na drgania wymuszone Rozwiązanie równania ruchu ma postać: dla małego tłumienia, gdy

23 Wpływ tłumienia na drgania wymuszone przy założeniu, że. W przeciwnym przypadku nie istnieje częstość rezonansowa. Badając drugą pochodną łatwo stwierdzimy, że dla, występuje maksimum amplitudy. Częstość siły wymuszającej osiągnie wartość wartość zwaną częstością rezonansową równą


Pobierz ppt "MECHANIKA 2 Wykład Nr 8 Drgania punktu materialnego."

Podobne prezentacje


Reklamy Google