Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

ANALIZA KINEMATYCZNA MANIPULATORÓW ROBOTÓW METODĄ MACIERZOWĄ

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "ANALIZA KINEMATYCZNA MANIPULATORÓW ROBOTÓW METODĄ MACIERZOWĄ"— Zapis prezentacji:

1 ANALIZA KINEMATYCZNA MANIPULATORÓW ROBOTÓW METODĄ MACIERZOWĄ

2 Jeśli dane są: - współrzędne w xi, w yi, w zi wektora w związane z ogniwem i - współrzędne p x, p y, p z początku układu i związane z ogniwem j oraz kosinusy kierunkowe osi układu i względem osi układu j

3

4 to zależność pomiędzy współrzędnymi w układzie i oraz j można zapisać jako

5 lub w formie symbolicznej gdzie: - macierz przekształcenia współrzędnych wektoraz układu i do układu j Wyznacznik macierzy { 1, gdy obydwa układy są prawoskrętne -1, gdy jeden jest prawo- a drugi lewoskrętny

6 Macierz T ij przekształcenia złożonego z przesunięcia i obrotu można przedstawić w postaci iloczynu macierzy: - obrotu (rotacji) - przesunięcia (translacji) czyli gdzie:

7 Zastosowanie do opisu przekształceń w kinematyce i dynamice manipulatorów robotów macierzy 4x4 jest bardzo wygodne ponieważ umożliwia w zwartej formie zapisać zarówno obrót jak i przesunięcie oraz ułatwia mnożenie odpowiednich macierzy przy użyciu komputerów osobistych bez konieczności sprawdzania osobliwości.

8 - obrotu (rotacji) tylko trzy są niezależne, natomiast pozostałe sześć muszą spełniać równania Z dziewięciu zmiennych wyrazów macierzy

9 przy czy kwadraty kosinusów kierunkowych (trzy pierwsze równania) są równe odpowiednim kwadratom współrzędnych wersorów osi, których długość jest równa 1 ; pozostałe trzy równania wynikają z warunków prostopadłości wersorów osi układu współrzędnych.

10 współrzędnych przypadku przekształceń odwrotnych to znaczy przy przejściu z układu j do układu i stosuje się macierze odwrotne, czyli przy czym gdzie: E jest macierzą jednostkową, czyli

11 W celu uproszczenia analizy przestrzennego łańcucha kinematycznego wprowadza się specjalne usytuowanie układów współrzędnych poszczególnych członów tak, aby liczba parametrów wchodzących do macierzy przekształceń była minimalna, a postać tej macierzy była jednakowa tak w przypadku pary obrotowej, jak i pary przesuwnej. W dalszym ciągu przedstawiono najczęściej stosowany sposób usytuowania wzajemnego układów współrzędnych członów połączonych parami obrotowymi i przesuwnymi, który jest znany jako zapis Hartenberga i Denavita

12 Na rysunku przedstawiono dwa układy współrzędnych związanych z członami i – 1 oraz i, (rys. ***)

13

14 Figure 4-8 The variables in a link using the notation of Paul [9]. The rules used to define the notation are: (1) Axis z n-1 defines the position of the axis of rotation for joint J n, z n, for joint J n+1, and so forth. (2) Axis x n-1 is selected to be an extension for the common perpendicular line of length a n-1 between consecutive joints z n-2 and z n-1. (3) The axis y n-1 – is selected to provide a right-hand coordinate system with the other axes. (4) Axis x n is an extension of the common perpendicular line of Iength a n. Rys 4-8. Zapis zmiennych z użyciem notacji Paula [7]. Według zasad: (1) Oś z n-1 opisuje położenie osi rotacji dla ogniwa J n, zaś oś z n dla ogniwa J n+1 itd. (2) Oś x n-1 jest przedłużeniem linii znajdującej się pomiędzy osią z n-2 i z n-1 i prostopadłą do nich o długości a n-1. (3) Oś y n-1 zapewnia prawoskrętny układ współrzędnych. (4) Oś x n jest przedłużeniem linii prostopadłej do osi z n-1 o długości a n.

15 Usytuowanie układów współrzędnych

16

17 leży na wspólnej prostopadłej do osi par obrotowych członu i-1, oś przy czym oś x i-1 z i-1 leży na osi pary obrotowej łączącej człony i-1 z i oś y i-1 nie pokazana na rysunku stanowi uzupełnienie prawoskrętnego układu współrzędnych i-1

18 Układ współrzędnych jest związany z członem i w podobny sposób, to znaczy oś xixi leży na wspólnej prostopadłej do osi par obrotowych członu i leży na osi pary obrotowej łączącej człon zizi oś i z członem i + 1

19 Zaletą takiego usytuowania układów współrzędnych jest to, że tylko cztery parametry określają względne położenie dwóch sąsiednich układów, przy czym dwa z nich to znaczy l i oraz α i są zawsze stałe, jeden z pozostałych jest zmienny w zależności od typu pary kinematycznej - w przypadku pary obrotowej zmienny jest kąt θiθi - w przypadku pary przesuwnej zmienne jest przesunięcie λiλi

20 Dwa sąsiednie układy współrzędnych i oraz i-1 mogą być przekształcone jeden w drugi za pomocą obrotu dwóch przesunięć i jeszcze jednego obrotu w następującej kolejności a) obrót wokół osi z i-1 o kąt θ i tak, aż oś x i-1 stanie się równoległa do osi x i

21 b) przesunięcie wzdłuż osi z i-1 o wielkość λ i tak, aby oś x i-1 pokryła się z osią x i c) przesunięcie wzdłuż osi x i o wielkość l i tak, aby początki obu układów pokryły się d) obrót wokół osi x i o kąt α i tak aż wszystkie osie będą pokrywać się

22 Każdemu z tych elementarnych ruchów odpowiada macierz T i,i-1 Przekształcenia, którą tutaj oznaczono przez AiAi przy czym

23

24 Macierz A i opisująca przekształcenia z układu i do układu i-1 będzie równa iloczynowi wyżej wymienionych macierzy ruchów elementarnych, czyli Zatem, po wykonaniu mnożeń macierzy zaczynając od prawej strony otrzymuje się

25 gdzie: l i, α i - odległość i kąt pomiędzy osiami par obrotowych ogniwa i, λ i, θ i, - odległość i kąt obrotu pomiędzy ogniwami i-1 oraz i

26 Przypadku pary obrotowej kąt θ i jest zmienny, a odległość λ i jest stała; w przypadku pary przesuwnej zmienna jest długość λ i a stały kąt θ i Macierz przekształcenia odwrotnego, to znaczy układu współrzędnych członu i-1 do układu członu i otrzymuje się jako rozwiązanie równania macierzowego gdzie: E – macierz jednostkowa

27 stąd W przypadku otwartego łańcucha kinematycznego wprowadza się macierz położenia i orientacji układu związanego z członem n względem układu związanego z członem i jako iloczyn macierzy kolejnych przekształceń

28 przy czym W przypadku zamkniętego łańcucha kinematycznego, zbudowanego z n członów wprowadza się równanie zamknięcia w postaci Mnożąc z lewej strony powyższe równanie przez macierze odwrotne otrzymuje się równanie zamknięcia łańcucha kinematycznego w bardziej wygodnej postaci

29 ………………….…………………… W przypadku, gdy dany jest wektor

30 opisujący położenie dowolnego punktu P i należącego do członu i w układzie współrzędnych związanym z tym członem oraz dane są macierze kolejnych przekształceń, wtedy z równań oraz

31 można wyznaczyć wektor opisujący położenie punktu P i w układzie podstawy przy czym mnożenia macierzy trzeba zaczynać od prawej strony (!!!) Kolejność obliczeń jest zatem następująca

32 ………….……………… (wzory na r )

33 Wektory prędkości i przyspieszenia punktu P i otrzymuje się jako pierwszą i drugą pochodną względem czasu wektora A zatem

34 Różniczkując kolejno dwie ostatnie zależności przy założeniu, że otrzymuje się algorytm wyznaczania prędkości jako ……………………………………………

35 (wzory na v ) oraz algorytm wyznaczania przyśpieszenia jako ………………………………………………….

36 (wzory na a ) Pochodne względem czasu macierzy AjAj oblicza się według następujących wzorów (wzory na A )

37 przy czym w przypadku pary obrotowej

38 natomiast w przypadku pary przesuwnej

39 Podstawiając (wzory na A ) do (wzorów na v ) i (wzorów na a ) przy uwzględnieniu (wzorów na r ) otrzymuje się …………………….…………………… (wzory na v )1

40 oraz …………………………………….. (wzory na a )1

41 PRZYKŁAD Gdy i = 2 wtedy (wzory na r ) przyjmą postać natomiast (wzory na v )1 są następujące

42 natomiast ( wzory na a )1 przyjmą formę Wektory prędkości kątowej i przyspieszenia kątowegoczłonów można wyznaczyć z następujących równań:

43 (wzór na prędkość kątową członów) ………………………………………

44 (wzór na przyśpieszenia kątowe członów)

45 gdzie:


Pobierz ppt "ANALIZA KINEMATYCZNA MANIPULATORÓW ROBOTÓW METODĄ MACIERZOWĄ"

Podobne prezentacje


Reklamy Google