Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Analiza matematyczna WYKŁAD 5 Funkcje II – własności podstawowe III. Funkcje Krzysztof KucabRzeszów, 2012.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Analiza matematyczna WYKŁAD 5 Funkcje II – własności podstawowe III. Funkcje Krzysztof KucabRzeszów, 2012."— Zapis prezentacji:

1 Analiza matematyczna WYKŁAD 5 Funkcje II – własności podstawowe III. Funkcje Krzysztof KucabRzeszów, 2012

2 Plan wykładu asymptoty funkcji; funkcje ciągłe i ich własności.

3 Asymptoty funkcji Prosta x=a jest asymptotą pionową lewostronną (prawostronną) funkcji f, jeśli: Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

4 Asymptoty funkcji Prosta jest asymptotą pionową obustronną funkcji, jeżeli jest jednocześnie jej asymptotą lewostronną i prawostronną. Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

5 Asymptoty funkcji Prosta y=A + x+B + jest asymptotą ukośną funkcji f w, jeśli: Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

6 Asymptoty funkcji Analogicznie definiujemy asymptotę ukośną y=A - x+B - w -. W przypadku, gdy współczynnik A jest równy 0, to asymptotę ukośną nazywamy asymptotą poziomą. Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

7 Asymptoty funkcji Warunek istnienia asymptoty ukośnej: Prosta y=A + x+B + jest asymptotą ukośną funkcji f w, wtedy i tylko wtedy, gdy:

8 Asymptoty funkcji Warunek istnienia asymptot poziomych: Prosta y=B + jest asymptotą poziomą funkcji f w, wtedy i tylko wtedy, gdy:

9 Asymptoty funkcji Analogiczne warunki istnieją dla asymptot w -.

10 Funkcje ciągłe i ich własności Otoczenie punktu Otoczeniem o promieniu r>0 punktu x 0 R nazywamy zbiór: R x 0 + r x 0 - r x0x0 O(x 0,r)

11 Funkcje ciągłe i ich własności Otoczenie punktu Otoczeniem lewostronnym o promieniu r>0 punktu x 0 R nazywamy zbiór: Otoczeniem prawostronnym o promieniu r>0 punktu x 0 R nazywamy zbiór:

12 Funkcje ciągłe i ich własności Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O(x 0 ). Funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy: Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

13 Funkcje ciągłe i ich własności Analogicznie definiujemy funkcję lewostronnie i prawostronnie ciągłą w punkcie, tj.:

14 Funkcje ciągłe i ich własności Funkcja jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym punkcie ciągła lewostronnie i prawostronnie.

15 Nieciągłość funkcji Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O(x 0 ). Funkcja f jest nieciągła w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje granica albo Nieciągłość funkcji badamy wyłącznie w punktach należących do jej dziedziny.

16 Nieciągłość funkcji Nieciągłość pierwszego rodzaju Funkcja f ma w punkcie x 0 nieciągłość pierwszego rodzaju, jeżeli istnieją granice skończone oraz

17 Nieciągłość funkcji Nieciągłość pierwszego rodzaju Funkcja f ma w punkcie x 0 nieciągłość pierwszego rodzaju typu skok, jeżeli: Funkcja f ma w punkcie x 0 nieciągłość pierwszego rodzaju typu luka, jeżeli:

18 Nieciągłość funkcji Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

19 Nieciągłość funkcji Nieciągłość drugiego rodzaju Funkcja f ma w punkcie x 0 nieciągłość drugiego rodzaju, jeżeli co najmniej jedna z granic nie istnieje lub jest niewłaściwa.

20 Nieciągłość funkcji Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

21 Działania na funkcjach ciągłych Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie x 0, to: - funkcja f+g jest ciągła w punkcie x 0 ; - funkcja f-g jest ciągła w punkcie x 0 ; - funkcja f g jest ciągła w punkcie x 0 ; - funkcja f/g jest ciągła w punkcie x 0, o ile g(x 0 ) 0.

22 Działania na funkcjach ciągłych Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 oraz funkcja g jest ciągła w punkcie y 0 =f(x 0 ), to: - funkcja złożona jest ciągła w punkcie x 0. Jeżeli funkcja f jest ciągła i rosnąca w przedziale [a,b], to funkcja odwrotna f -1 jest ciągła i rosnąca w przedziale [f(a),f(b)],

23 Działania na funkcjach ciągłych Funkcje elementarne są ciągłe w swoich dziedzinach. Jeżeli funkcja jest ciągła na przedziale domkniętym i ograniczonym, to jest na nim ograniczona.

24 Działania na funkcjach ciągłych Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [a,b] oraz spełnia warunek f(a) < f(b), to: Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

25 Działania na funkcjach ciągłych Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [a,b] oraz spełnia warunek f(a) f(b) < 0, to istnieje punkt taki, że f(c)=0: Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.


Pobierz ppt "Analiza matematyczna WYKŁAD 5 Funkcje II – własności podstawowe III. Funkcje Krzysztof KucabRzeszów, 2012."

Podobne prezentacje


Reklamy Google