Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Analiza matematyczna WYKŁAD 4 Funkcje I – własności podstawowe III. Funkcje Krzysztof KucabRzeszów, 2012.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Analiza matematyczna WYKŁAD 4 Funkcje I – własności podstawowe III. Funkcje Krzysztof KucabRzeszów, 2012."— Zapis prezentacji:

1 Analiza matematyczna WYKŁAD 4 Funkcje I – własności podstawowe III. Funkcje Krzysztof KucabRzeszów, 2012

2 Plan wykładu definicje granic funkcji; twierdzenia o granicach właściwych i niewłaściwych funkcji.

3 Definicje granic funkcji Sąsiedztwo punktu Sąsiedztwem o promieniu r>0 punktu x 0 R nazywamy zbiór: R x 0 + r x 0 - r x0x0 S(x 0,r)

4 Definicje granic funkcji Sąsiedztwo punktu Sąsiedztwem lewostronnym o promieniu r>0 punktu x 0 R nazywamy zbiór: Sąsiedztwem prawostronnym o promieniu r>0 punktu x 0 R nazywamy zbiór:

5 Definicje granic funkcji Sąsiedztwo punktu Sąsiedztwem - nazywamy zbiór: Sąsiedztwem nazywamy zbiór :

6 Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w punkcie Definicja Heinego Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(x 0 ). Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie x 0, co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

7 Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w punkcie Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

8 Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w punkcie Jeśli istnieją ciągi spełniające warunki: to granica nie istnieje.

9 Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w punkcie Definicja Cauchyego Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(x 0 ). Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie x 0, co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

10 Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w punkcie Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

11 Definicje granic funkcji Granica lewostronna właściwa funkcji w punkcie Definicja Heinego Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie. Liczba g jest granicą właściwą lewostronną funkcji f w punkcie x 0, co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

12 Definicje granic funkcji Granica lewostronna właściwa funkcji w punkcie Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

13 Definicje granic funkcji Granica lewostronna właściwa funkcji w punkcie Definicja Cauchyego Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie. Liczba g jest granicą lewostronną właściwą funkcji f w punkcie x 0, co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

14 Definicje granic funkcji Granica lewostronna właściwa funkcji w punkcie Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

15 Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w punkcie Granice prawostronne definiujemy w sposób analogiczny.

16 Definicje granic funkcji Granica niewłaściwa funkcji w punkcie Definicja Heinego Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(x 0 ). Funkcja f ma granicę niewłaściwą w punkcie x 0, co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

17 Definicje granic funkcji Granica niewłaściwa funkcji w punkcie Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

18 Definicje granic funkcji Granica niewłaściwa funkcji w punkcie Definicja Cauchyego Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(x 0 ). Funkcja f ma granicę niewłaściwą w punkcie x 0, co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

19 Definicje granic funkcji Granica niewłaściwa funkcji w punkcie Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

20 Definicje granic funkcji Granica niewłaściwa funkcji w punkcie Granice niewłaściwe - funkcji w punkcie definiujemy w sposób analogiczny.

21 Definicje granic funkcji Granica funkcji w punkcie Warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy w punkcie Funkcja f ma w punkcie x 0 granicę właściwą (niewłaściwą) wtedy i tylko wtedy, gdy:

22 Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w nieskończoności Definicja Heinego Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S( ). Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w, co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

23 Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w nieskończoności Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

24 Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w nieskończoności Jeśli istnieją ciągi spełniające warunki: to granica nie istnieje.

25 Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w nieskończoności Definicja Cauchyego Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S( ). Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w, co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

26 Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w nieskończoności Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

27 Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w nieskończoności Granice właściwe funkcji w - definiujemy w sposób analogiczny.

28 Definicje granic funkcji Granica niewłaściwa funkcji w nieskończoności Definicja Heinego Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S( ). Funkcja f ma w granicę niewłaściwą, co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

29 Definicje granic funkcji Granica niewłaściwa funkcji w nieskończoności Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

30 Definicje granic funkcji Granica niewłaściwa funkcji w nieskończoności Definicja Cauchyego Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S( ). Funkcja f ma w granicę niewłaściwą, co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

31 Definicje granic funkcji Granica niewłaściwa funkcji w nieskończoności Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

32 Definicje granic funkcji Granica niewłaściwa funkcji w nieskończoności Odpowiednie granice niewłaściwe funkcji w - definiujemy w sposób analogiczny.

33 Granice funkcji Równoważność definicji granic funkcji Odpowiadające sobie definicje Heinego i Cauchyego granic funkcji są równoważne.

34 Granice funkcji Twierdzenia o granicach właściwych funkcji

35 Granice funkcji Twierdzenie o granicy funkcji złożonej Jeśli funkcje f i g spełniają warunki: to:

36 Granice funkcji Twierdzenie o trzech funkcjach Jeśli funkcje f, g i h spełniają warunki: to:

37 Granice funkcji Twierdzenie o trzech funkcjach Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

38 Granice funkcji Twierdzenia o granicach niewłaściwych funkcji Twierdzenie o dwóch funkcjach Jeśli funkcje f, i g spełniają warunki: to:

39 Granice funkcji Twierdzenie o dwóch funkcjach Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

40 Granice funkcji Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

41 Granice funkcji Granice funkcji – wyrażenia nieoznaczone Wyrażenia nieoznaczone: Wartości powyższych wyrażeń zależą od postaci funkcji je tworzących. 0 0/0 / 1 00

42 Granice funkcji Granice podstawowych wyrażeń nieoznaczonych.


Pobierz ppt "Analiza matematyczna WYKŁAD 4 Funkcje I – własności podstawowe III. Funkcje Krzysztof KucabRzeszów, 2012."

Podobne prezentacje


Reklamy Google