Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Analiza matematyczna WYKŁAD 13 Szeregi liczbowe V. Szeregi Krzysztof KucabRzeszów, 2012.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Analiza matematyczna WYKŁAD 13 Szeregi liczbowe V. Szeregi Krzysztof KucabRzeszów, 2012."— Zapis prezentacji:

1 Analiza matematyczna WYKŁAD 13 Szeregi liczbowe V. Szeregi Krzysztof KucabRzeszów, 2012

2 Plan wykładu definicja szeregu liczbowego, kryteria zbieżności szeregów, zbieżność bezwzględna szeregów.

3 Definicja szeregu liczbowego Niech (a n ) będzie ciągiem liczbowym. Szeregiem liczbowym nazywamy ciąg (S n ), gdzie: Szereg taki oznaczamy Liczbę a n nazywamy n-tym wyrazem ciągu, a liczbę S n n-tą sumą częściową tego szeregu.

4 Definicja szeregu liczbowego Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

5 Definicja szeregu liczbowego Mówimy, że szereg jest zbieżny, jeżeli istnieje granica właściwa ciągu (S n ). Jeżeli to mówimy, że szereg jest zbieżny odpowiednio do - albo do. W pozostałych przypadkach mówimy, że szereg jest rozbieżny.

6 Definicja szeregu liczbowego Sumą szeregu zbieżnego nazywamy granicę i oznaczamy ją tym samym symbolem co szereg. Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

7 Definicja szeregu liczbowego Jeżeli szeregi są zbieżne i c jest liczbą rzeczywistą, to: - szereg jest zbieżny, oraz:

8 Definicja szeregu liczbowego Szereg geometryczny jest zbieżny w.t.w., gdy Dla zbieżnego szeregu geometrycznego mamy: Przyjmujemy, że

9 Definicja szeregu liczbowego Warunek konieczny zbieżności szeregu Jeżeli szereg jest zbieżny, to UWAGA Szereg jest rozbieżny!

10 Kryteria zbieżności szeregów Kryterium całkowe Niech funkcja będzie nierosnąca. Wówczas: jest zbieżny jest zbieżna. Reszta szeregu spełnia oszacowanie

11 Kryteria zbieżności szeregów Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

12 Kryteria zbieżności szeregów Szereg: zbieżny dla p>1, rozbieżny dla p 1.

13 Kryteria zbieżności szeregów Kryterium porównawcze Jeżeli: - - szereg jest zbieżny ( jest rozbieżny) to: szereg jest zbieżny ( jest rozbieżny) Prawdziwe są analogiczne twierdzenia dla szeregów o wyrazach niedodatnich.

14 Kryteria zbieżności szeregów Kryterium ilorazowe Niech a n, b n > 0 dla każdego n n 0 oraz niech: wtedy: jest zbieżny jest zbieżny. Twierdzenie jest też prawdziwe dla szeregów o wyrazach ujemnych.

15 Kryteria zbieżności szeregów Kryterium dAlemberta - Jeżeli to jest zbieżny. - Jeżeli to jest rozbieżny. - Jeżeli to kryterium nie rozstrzyga.

16 Kryteria zbieżności szeregów Kryterium Cauchyego - Jeżeli to jest zbieżny. - Jeżeli to jest rozbieżny. - Jeżeli to kryterium nie rozstrzyga.

17 Zbieżność bezwzględna szeregów Twierdzenie Leibniza o zbieżności szeregu naprzemiennego Jeżeli: - ciąg (b n ) jest nierosnący od numeru - to szereg naprzemienny jest zbieżny.

18 Zbieżność bezwzględna szeregów Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

19 Zbieżność bezwzględna szeregów Szereg jest zbieżny bezwzględnie, gdy szereg jest zbieżny. Kryteria dAlemberta i Cauchyego zapewniające zbieżność szeregu gwarantują jednocześnie jego zbieżność bezwzględną.

20 Zbieżność bezwzględna szeregów Jeżeli szereg jest zbieżny bezwzględnie, to jest zbieżny. Szereg zbieżny, który nie jest zbieżny bezwzględnie, nazywamy szeregiem zbieżnym warunkowo.

21 Szeregi liczbowe Sumy ważniejszych szeregów Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.


Pobierz ppt "Analiza matematyczna WYKŁAD 13 Szeregi liczbowe V. Szeregi Krzysztof KucabRzeszów, 2012."

Podobne prezentacje


Reklamy Google