III. Proste zagadnienia kwantowe

Prezentacja na temat: "III. Proste zagadnienia kwantowe"— Zapis prezentacji:

1 III. Proste zagadnienia kwantowe
Mechanika Kwantowa III. Proste zagadnienia kwantowe WYKŁAD 11 Orbitalny moment pędu

2 Plan wykładu operator orbitalnego momentu pędu we współrzędnych kartezjańskich, operator orbitalnego momentu pędu we współrzędnych sferycznych, operator kwadratu orbitalnego momentu pędu we współrzędnych sferycznych, wartości własne i funkcje własne powyższych operatorów, harmoniki sferyczne.

3 Operator orbitalnego momentu pędu
W tym wykładzie będziemy korzystać z wyników otrzymanych dla ogólnego momentu pędu J (Wykład 10)

4 Operator orbitalnego momentu pędu
Operator orbitalnego momentu pędu (omp) podstawowe informacje

5 Operator orbitalnego momentu pędu
Wprowadzamy operator całkowitego momentu pędu zdefiniowany jako: oraz (niehermitowskie) operatory: - „podnoszący”: - „obniżający”:

6 Operator orbitalnego momentu pędu
Podstawowe własności wprowadzonych operatorów

7 Operator orbitalnego momentu pędu
Ponieważ operatory L2 i L3 komutują, więc mają wspólny zbiór wektorów własnych: gdzie: . Dodatkowo mamy:

8 Operator orbitalnego momentu pędu
Elementy macierzowe

9 Operator orbitalnego momentu pędu
Elementy macierzowe

10 Operator omp we współrzędnych kartezjańskich
Składowe operatora omp (L) w reprezentacji położeniowej (współrzędne kartezjańskie):

11 Operator omp we współrzędnych sferycznych
element objętości

12 Operator omp we współrzędnych sferycznych
Operatory Li we współrzędnych sferycznych:

13 Operator omp we współrzędnych sferycznych
Operatory L+ we współrzędnych sferycznych: Operator L2 we współrzędnych sferycznych:

14 Operator omp we współrzędnych sferycznych
Wyniki pośrednie podczas obliczania L2:

15 Operator omp we współrzędnych sferycznych
Wyniki pośrednie podczas obliczania L2:

16 Zagadnienie własne omp
Wprowadzamy bazę za pomocą stanów kątowych: gdzie  jest kątem bryłowym. Warunek ortonormalności: Warunek zupełności:

17 Zagadnienie własne omp
Ze względu na zależności: możemy napisać:

18 Zagadnienie własne omp
Na podstawie powyższych równań widzimy, że można dokonać faktoryzacji funkcji własnych, tzn. skąd otrzymamy:

19 Zagadnienie własne omp
Żądanie, aby liczba kwantowa m była liczbą całkowitą wynika z żądania niezmienniczości układu fizycznego przy obrotach o kąt 2. Z faktu, że m jest liczbą całkowitą wynika, że liczba kwantowa l też musi być liczbą całkowitą, ponieważ zmienia się od –l do l co jeden.

20 Harmoniki sferyczne Harmoniki sferyczne to funkcje własne orbitalnego momentu pędu w reprezentacji położeniowej Własności:

21 Konstrukcja harmonik sferycznych 1) 2) 3)
Harmoniki sferyczne Konstrukcja harmonik sferycznych 1) 2) 3)

22 Harmoniki sferyczne Wyniki

23 Harmoniki sferyczne Kilka przykładów

24 Harmoniki sferyczne Kilka przykładów

25 Reprezentacja graficzna harmonik sferycznych
Harmoniki sferyczne Reprezentacja graficzna harmonik sferycznych Kolor czerwony – część dodatnia funkcji harmonik, kolor zielony – część ujemna źródło - Wikipedia