Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Analiza matematyczna WYKŁAD 2 Funkcje elementarne I. Informacje podstawowe Krzysztof KucabRzeszów, 2012.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Analiza matematyczna WYKŁAD 2 Funkcje elementarne I. Informacje podstawowe Krzysztof KucabRzeszów, 2012."— Zapis prezentacji:

1 Analiza matematyczna WYKŁAD 2 Funkcje elementarne I. Informacje podstawowe Krzysztof KucabRzeszów, 2012

2 Plan wykładu zasada indukcji zupełnej, ciało liczb rzeczywistych, funkcje i działania na nich.

3 Zasada indukcji zupełnej Zasada indukcji zupełnej to użyteczna metoda dowodzenia twierdzeń dotyczących liczb naturalnych. Zakładamy, że W(n) jest funkcją zdaniową, oraz n N Treść zasady indukcji zupełnej: liczba 1 ma pewną własność W, (tzn. W(1) jest zdaniem prawdziwym); jeśli w przypadku gdy pewna liczba naturalna n ma własność W to ma ją też jej następnik, (tzn. jeśli zachodzi implikacja W(n) W(n+1) ); to każda liczba naturalna n ma tę własność W.

4 Zasada indukcji zupełnej Przykłady: Wykazać, że dla każdego naturalnego n liczba n 3 -n jest podzielna przez trzy. Udowodnić, że dla każdego prawdą jest, że:

5 Teoria liczb rzeczywistych Liczby rzeczywiste można zdefiniować trzema sposobami: aksjomatycznie, metodą Cantora (przy pomocy ciągów Cauchyego liczb wymiernych), metodą przekrojów Dedekinda.

6 Teoria liczb rzeczywistych Aksjomatyczna definicja liczb rzeczywistych 1. jest ciałem uporządkowanym, 2.Każdy niepusty zbiór ograniczony z góry ma kres górny.

7 Teoria liczb rzeczywistych Mówimy, że struktura algebraiczna jest ciałem uporządkowanym, gdy: 1. jest ciałem, lub w formie równoważnej: 1a) (R,+,,0,1) jest ciałem, 2a) 3a) jeśli oraz to 4a)

8 Teoria liczb rzeczywistych Graficzne przedstawienie zbioru liczb rzeczywistych

9 Funkcje i działania na nich Definicja funkcji Jeżeli każdej liczbie x określonej na zbiorze przyporządkowana jest dokładnie jedna liczba y to mówimy, że w zbiorze X określona jest funkcja zmiennej x. Zapisujemy to: Wielkość x nazywamy zmienną niezależną (argumentem funkcji), zaś y nazywamy zmienną zależną (wartością funkcji) f.

10 Funkcje i działania na nich XY RR x y=f(x)y=f(x) f

11 Dziedzina i przeciwdziedzina funkcji Niech. Wtedy zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D f zaś biór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji f. Zbiór nazywamy zbiorem wartości funkcji f i oznaczamy W f. Dziedziną naturalną funkcji f nazywamy zbiór takich elementów ze zbioru R, dla których wzór określający funkcję ma sens, w przypadku gdy podany jest wyłącznie wzór funkcji.

12 Funkcje i działania na nich y=f(x) x y 0 DfDf x y 0 WfWf Dziedzina funkcjiZbiór wartości funkcji

13 Funkcje i działania na nich Równość funkcji Dwie funkcje f oraz g określone następująco są sobie równe, tzn. f=g, gdy zachodzi:

14 Funkcje i działania na nich Wykres funkcji Wykresem funkcji nazywamy zbiór: y=f(x) x y 0 X Y x y 0 Wykres funkcji f Zbiór nie jest wykresem funkcji

15 Funkcje i działania na nich Funkcja na Funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y, co zapisujemy jako w.t.w., gdy: y=f(x) x y 0 X Y

16 Funkcje i działania na nich Funkcja okresowa Funkcja jest okresowa, jeśli: Liczbę T nazywamy okresem funkcji f. Gdy istnieje najmniejszy okres funkcji f to nazywamy go okresem podstawowym tej funkcji.

17 Funkcje i działania na nich Funkcja parzysta Funkcja jest parzysta, jeśli: y=f(x) x y 0 X x-x f(-x) = f(x)

18 Funkcje i działania na nich Funkcja nieparzysta Funkcja jest nieparzysta, jeśli: y=f(x) x y 0 X x-x f(x)f(x) f(-x) = -f(x)

19 Funkcje i działania na nich Funkcja ograniczona Funkcja f jest ograniczona z dołu na zbiorze, jeśli jej zbiór wartości na tym zbiorze jest ograniczony z dołu, tzn.: y=f(x) x y 0 A x f(x)f(x) m

20 Funkcje i działania na nich Funkcja ograniczona Funkcja f jest ograniczona z góry na zbiorze, jeśli jej zbiór wartości na tym zbiorze jest ograniczony z góry, tzn.: y=f(x) x y 0 A x f(x)f(x) M

21 Funkcje i działania na nich Funkcja ograniczona Funkcja f jest ograniczona na zbiorze, jeśli jest ograniczona z dołu i z góry na tym zbiorze, tzn.: y=f(x) x y 0 A x f(x)f(x) M m

22 Funkcje i działania na nich Funkcja monotoniczna Funkcja f jest rosnąca na zbiorze, jeśli: y=f(x) x y 0 A x2x2 f(x2)f(x2) f(x1)f(x1) x1x1

23 Funkcje i działania na nich Funkcja monotoniczna Funkcja f jest malejąca na zbiorze, jeśli: y=f(x) x y 0 A x2x2 f(x2)f(x2) f(x1)f(x1) x1x1

24 Funkcje i działania na nich Funkcja monotoniczna Funkcja f jest nierosnąca na zbiorze, jeśli: y=f(x) x y 0 A x2x2 f(x1)f(x1) x1x1 f(x2)f(x2)

25 Funkcje i działania na nich Funkcja monotoniczna Funkcja f jest niemalejąca na zbiorze, jeśli: y=f(x) x y 0 A x2x2 f(x1)f(x1) x1x1 f(x2)f(x2)

26 Funkcje i działania na nich Funkcja monotoniczna Funkcja jest monotoniczna na zbiorze, jeśli jest na tym zbiorze rosnąca, malejąca, nierosnąca lub niemalejąca. Funkcje rosnące i malejące nazywamy ściśle monotonicznymi. Funkcje nierosnące i niemalejące nazywamy słabo monotonicznymi.

27 Funkcje i działania na nich Funkcja monotoniczna Rodzaj monotoniczności funkcji f na zbiorze A ustalamy na podstawie znaku ilorazu: gdzie Znak ilorazuRodzaj monotoniczności > 0funkcja rosnąca < 0funkcja malejąca 0 funkcja niemalejąca 0 funkcja nierosnąca

28 Funkcje i działania na nich Funkcja złożona Niech X, Y, Z, W będą podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych, przy czym oraz niech Złożeniem funkcji g i f nazywamy funkcję określoną wzorem: XY=Z x y fg W w g f

29 Funkcje i działania na nich Funkcja odwrotna Funkcja f jest różnowartościowa na zbiorze jeśli: y=f(x) x y 0 A x2x2 f(x2)f(x2) f(x1)f(x1) x1x1

30 Funkcje i działania na nich Funkcja odwrotna Niech funkcja będzie różnowartościowa na dziedzinie. Funkcją odwrotną do f nazywamy funkcję określoną przez warunek: Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

31 Funkcje i działania na nich Funkcja odwrotna Niech funkcja będzie różnowartościowa. Wtedy:

32 Funkcje i działania na nich Funkcje elementarne Funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: potęgowe, wykładnicze, trygonometryczne, funkcje odwrotne względem powyższych, ich sumy, różnice, iloczyny, ilorazy oraz superpozycje.

33 Funkcje i działania na nich Funkcje elementarne Funkcjami potęgowymi nazywamy funkcje: x n Dla n N funkcja potęgowa jest wielomianem. Funkcje odwrotne względem funkcji potęgowych nazywamy funkcjami pierwiastkowymi.

34 Funkcje i działania na nich Funkcje elementarne Funkcjami wykładniczymi nazywamy funkcje: y=a x, a>0, a 1. Są określone w dziedzinie liczb rzeczywistych. Zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich (bez zera). Funkcje odwrotne względem funkcji wykładniczych nazywamy funkcjami logarytmicznymi y=log a x, a>0, a 1.

35 Funkcje i działania na nich Funkcje elementarne Funkcjami trygonometrycznymi nazywamy funkcje: y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x. Są określone w dziedzinie liczb rzeczywistych. Funkcje odwrotne względem funkcji trygonometrycznych nazywamy funkcjami kołowymi (cyklometrycznymi) y=arcsinx, y=arccos x, y=arctg x, y=arcctg x.

36 Funkcje i działania na nich Funkcje elementarne 1. Arkus sinus (arcsin) – funkcja odwrotna do funkcji sinus obciętej do przedziału [- /2, /2]. Dziedziną funkcji jest przedział [-1,1] y x y=arcsin x /2 - /2

37 Funkcje i działania na nich Funkcje elementarne 2. Arkus kosinus (arccos) – funkcja odwrotna do funkcji kosinus obciętej do przedziału [0, ]. Dziedziną funkcji jest przedział [-1,1] y x y=arccos x 0

38 Funkcje i działania na nich Funkcje elementarne 3. Arkus tangens (arctg) – funkcja odwrotna do funkcji tangens obciętej do przedziału [- /2, /2]. Dziedziną funkcji jest R. x y=arctg x /2 - /2 y

39 Funkcje i działania na nich Funkcje elementarne 4. Arkus kotangens (arcctg) – funkcja odwrotna do funkcji kotangens obciętej do przedziału [0, ]. Dziedziną funkcji jest R x y=arcctg x /2 y

40 Funkcje i działania na nich Funkcje elementarne Podstawowe tożsamości dla funkcji cyklometrycznych:

41 Funkcje i działania na nich Funkcje elementarne Wartość bezwzględna: y=|x| x y 0

42 Funkcje i działania na nich Funkcje elementarne 1. Sinus hiperboliczny (sinh) – funkcja określona wzorem: x y=sinh x y

43 Funkcje i działania na nich Funkcje elementarne 2. Kosinus hiperboliczny (cosh) – funkcja określona wzorem: x y=cosh x y

44 Funkcje i działania na nich Funkcje elementarne 3. Tangens hiperboliczny (tgh) – funkcja określona wzorem: x y=tanh x y

45 Funkcje i działania na nich Funkcje elementarne 4. Kotangens hiperboliczny (ctgh) – funkcja określona wzorem: x y=coth x y 1

46 Funkcje i działania na nich Funkcje elementarne Podstawowe tożsamości dla funkcji hiperbolicznych:


Pobierz ppt "Analiza matematyczna WYKŁAD 2 Funkcje elementarne I. Informacje podstawowe Krzysztof KucabRzeszów, 2012."

Podobne prezentacje


Reklamy Google