Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Andrzej Marciniak Podstawy analizy matematycznej I Zajęcia finansowane.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Andrzej Marciniak Podstawy analizy matematycznej I Zajęcia finansowane."— Zapis prezentacji:

1 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Andrzej Marciniak Podstawy analizy matematycznej I Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w przemyśle" POKL.04.01.02-00-189/10

2 2 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Ciągi liczbowe Jeżeli każdej liczbie naturalnej n zostanie przyporządkowana jedna liczba rzeczywista a n, to mówimy, że został określony nieskończony ciąg liczbowy. Ciąg nieskończony zapisuje się w postaci a 1, a 2, …, a n, … lub {a n }. Liczby a 1, a 2, … nazywamy wyrazami ciągu {a n }, a symbol a n – wyrazem ogólnym tego ciągu.

3 Ciągi liczbowe Ciąg nieskończony {a n } ma granicę g, jeżeli dla każdej liczby > 0 istnieje taka liczba N, że dla każdej liczby n N zachodzi nierówność | a n g | <. Zapisujemy a n g, gdy n lub lim a n = g. n Ciąg nieskończony {a n } ma granicę, jeżeli dla każdej liczby M > 0 istnieje taka liczba N, że dla każdej liczby n N zachodzi nierówność a n > M. Ciąg nieskończony {a n } ma granicę, jeżeli dla każdej liczby M > 0 istnieje taka liczba N, że dla każdej liczby n N zachodzi nierówność a n < M. 3 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

4 Ciągi liczbowe Nie każdy ciąg nieskończony ma granicę. Ciąg nieskończony, który ma granicę skończoną nazywamy ciągiem zbieżnym. Wszystkie inne ciągi nieskończone nazywamy ciągami rozbieżnymi. W szczególności o ciągu dążącym do + mówimy, że jest rozbieżny do plus nieskończoności. Podobnie mówimy o ciągu rozbieżnym do minus nieskończoności. Zmiana skończonej liczby wyrazów ciągu nieskończonego nie wpływa na istnienie granicy ciągu i na jej wartość. 4 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

5 Ciągi liczbowe Przykład 1. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym a n = (2n 2 3n + 5)/(3 + 7n 6n 2 ). Dzieląc licznik i mianownik przez n 2, otrzymujemy a n = (2n 2 /n 2 3n /n 2 + 5/n 2 )/(3/n 2 + 7n /n 2 6n 2 /n 2 ) = (2 2/n + 5/n 2 )/(3/n 2 + 7/n 6). Zatem lim a n = 2/( 6) = 1/3 n Ogólnie, prawdziwe jest poniższe twierdzenie. Jeżeli licznik i mianownik ułamka są wielomianami tego samego stopnia względem zmiennej naturalnej n, to granica takiego ułamka przy n równa się stosunkowi współczynników przy najwyższych potęgach n. 5 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

6 Ciągi liczbowe Przykład 2. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym a n = (n 3 + 2n 2 + 4) 1/3 (n 3 + 1) 1/3. Bezpośrednie wnioskowanie z postaci wyrazu a n jest trudne, bo zarówno odjemna, jak i odjemnik rosną nieograniczenie ze wzrostem n. Przekształćmy dane wyrażenie korzystając z rozkładu różnicy sześcianów a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ), skąd a b = (a 3 b 3 )/(a 2 + ab + b 2 ). Otrzymujemy a n = (n 3 + 2n 2 + 4) (n 3 +1) /[(n 3 + 2n 2 + 4) 2/3 + (n 3 + 2n 2 +4) 1/3 (n 3 + 1) 1/3 + (n 3 + 1) 2/3 ]. 6 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

7 Ciągi liczbowe Po wykonaniu redukcji licznika i podzieleniu licznika i mianownika przez n 2 mamy a n = (2 + 3/n 2 ) /[(1 + 2/n + 4/n 3 ) 2/3 + (1 + 2/n + 4/n 3 ) 1/3 (1 + 1/n 3 ) 1/3 + (1 + 1/n 3 ) 2/3 ]. Przechodząc do granicy otrzymujemy ostatecznie lim a n = 2/(1+1+1) = 2/3. n Przykład 3. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym a n = (3 2n + 1 7)/(9 n + 4). Zauważmy, że a n = (3 9 n 7)/(9 n + 4) 7 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

8 Ciągi liczbowe i po podzieleniu licznika i mianownika przez 9 n mamy a n = (3 7/9 n )/(1+4/9 n ), a więc lim a n = 3/1 = 3. n Przykład 4. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym a n = (3 n + 5 n + 7 n ) 1/n. Ponieważ 7 n < 3 n + 5 n + 7 n < 7 n + 7 n + 7 n, więc 7 n /n < (3 n + 5 n + 7 n ) 1/n < (3 7 n ) 1/n, czyli 7 < (3 n + 5 n + 7 n ) 1/n < 7 3 1/n i możemy zastosować twierdzenie o trzech ciągach. 8 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

9 Ciągi liczbowe Jeżeli wyrazy ogólne trzech ciągów {b n }, {a n } i {c n } spełniają nierówności b n a n c n i jeżeli ciągi {b n } i {c n } mają wspólną granicę g, to ciąg {a n } ma tę samą granicę. W naszym przypadku b n = 7 i c n = 7 3 1/n. Ponieważ lim 1/n = 1 dla > 0, n więc lim c n = 7 1. Oczywiście lim b n = 7. Zatem także lim a n = 7. n n n 9 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

10 Ciągi liczbowe Przykład 5. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym a n = (1 + 4/n) n. Korzystamy z jednego z podstawowych wzorów teorii granic: lim (1 + 1/n) n = e n lub z wzoru ogólniejszego: lim (1 + b n ) 1/b n = e, jeśli lim b n = 0 i b n 0. n n Jeżeli wyraz ogólny rozważanego ciągu zapiszemy w postaci a n = [(1+4/n) n/4 ] 4 i podstawimy w powyższym wzorze b n = 4/n, to otrzymamy, że granicą ciągu {a n } jest e 4. 10 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

11 Ciągi liczbowe Przykład 6. Obliczyć lim n 10 /2 n. n Korzystamy z twierdzenia: jeżeli dla ciągu {a n } istnieje granica lim | a n+1 |/| a n | = g < 1, to lim a n = 0. n n Uwaga: gdy dla ciągu {a n } istnieje granica lim | a n+1 |/| a n | = g > 1, to lim | a n | = +, n n a więc ciąg {a n } jest rozbieżny. W rozważanym przykładzie mamy a n = n 10 /2 n oraz a n+1 = (n + 1) 10 /2 n+1. Ponieważ lim a n+1 /a n = ½, więc na podstawie podanego n twierdzenia granicą naszego ciągu jest 0. 11 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

12 Szeregi liczbowe Przez szereg liczbowy nieskończony oznaczany symbolem a n n = 1 rozumiemy ciąg sum: s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, …………………….. s n = a 1 + a 2 + … + a n, ………………………………… Liczby a 1, a 2, … nazywamy wyrazami szeregu, a symbol s n nazywamy wyrazem ogólnym szeregu. Wyrazy ciągu {s n } nazywamy sumami częściowymi szeregu. 12 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

13 Szeregi liczbowe Jeżeli ciąg sum częściowych jest zbieżny, czyli ma skończoną granicę s, to mówimy, że szereg jest zbieżny, a liczbę s nazywamy sumą szeregu nieskończonego. Warunkiem koniecznym zbieżności każdego szeregu jest to, by jego wyraz ogólny a n dążył do zera. Ważniejsze szeregi: szereg geometryczny aq n 1, a 0 n = 1 jest zbieżny, gdy | q | < 1 i wówczas jego suma wynosi a/(1 q), 13 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

14 Szeregi liczbowe szereg harmoniczny rzędu 1/n, gdzie > 0, n = 1 jest zbieżny dla > 1 i rozbieżny, gdy 1. Ze względu na metody badania zbieżności szeregów wyróżnia się dwie grupy: szeregi o wyrazach nieujemnych, szeregi przemienne. 14 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

15 Szeregi o wyrazach nieujemnych Kryterium porównawcze zbieżności szeregów. Jeżeli dla szeregu a n, gdzie a n 0, n = 1 można wskazać taki szereg zbieżny b n, n = 1 że począwszy od pewnego miejsca N, czyli dla każdego n N, zachodzi nierówność a n b n, to pierwszy szereg jest równie zbieżny. Kryterium porównawcze rozbieżności szeregów. Jeżeli dla szeregu a n n = 1 można wskazać taki szereg rozbieżny b n, gdzie b n 0, n = 1 15 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

16 Szeregi o wyrazach nieujemnych że począwszy od pewnego n N zachodzi nierówność a n b n, to pierwszy szereg jest również rozbieżny. Kryterium dAlemberta zbieżności szeregów. Jeżeli w szeregu a n, gdzie a n 0, n = 1 począwszy od pewnego miejsca N, tzn. dla n N, stosunek dowolnego wyrazu a n+1 do poprzedzającego wyrazu a n jest stale mniejszy od pewnej liczy p mniejszej od 1, tzn. jeżeli a n+1 /a n p < 1 dla każdego n N, to szereg jest zbieżny. Gdy a n+1 /a n 1 dla każdego n N, to szereg jest rozbieżny. 16 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

17 Szeregi o wyrazach nieujemnych Kryterium Cauchyego zbieżności szeregów. Jeżeli dla szeregu a n, gdzie a n 0, n = 1 istnieje taka liczba p < 1, że począwszy od pewnego miejsca N, tzn. dla każdego n N, zachodzi nierówność (a n ) 1/n < p < 1, to szereg jest zbieżny. Gdy (a n )1/n 1, to szereg jest rozbieżny. Uwaga: Kryterium Cauchyego jest mocniejsze niż kryterium dAlemberta. Na przykład w szeregu 1 + 3/2 + 1/2 2 + 3/2 3 + … + 1/2 2n + 3/2 2n+1 + … kryterium dAlemeberta nie prowadzi do rozstrzygnięcia, bo stosunek a n+1 /a n jest na przemian większy i mniejszy od 1. Korzystając z kryterium Cauchyego mamy lim (a n ) 1/n = ½ < 1, a więc szereg jest zbieżny. n 17 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

18 Szeregi o wyrazach nieujemnych Przykład 1. Zbadać zbieżność szeregu 6 n /n!. n = 1 Korzystamy z kryterium dAlemberta: a n = 6 n /n!, a n+1 = 6 n+1 /(n+1)!, a więc a n+1 /a n = 6 n+1 n!/[(n+1)!6 n ] = 6/(n+1) 0, gdy n. Szereg jest zatem zbieżny. Przykład 2. Zbadać zbieżność szeregu n 3 /2 n. n = 1 Stosujemy kryterium Cauchyego. Mamy (a n ) 1/n = (n 3 /2 n ) 1/n = (n 1/n ) 3 /2. 18 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

19 Szeregi o wyrazach nieujemnych Ale n 1/n 1, gdy n, więc (a n ) 1/n ½ i szereg jest zbieżny. Przykład 3. Zbadać zbieżność szeregu n!/n n. n = 1 Zauważmy, że wyraz ogólny a n = n!/n n = 1 2 3 … n/(n n n … n) jest, zaczynając od czwartego miejsca, mniejszy od 2/n 2, tzn. jest mniejszy od ogólnego wyrazu szeregu 2/n 2 = 2 1/n 2, n = 1 n = 1 a ten szereg jest zbieżny jako iloczyn liczby 2 przez szereg harmoniczny rzędu wyższego od 1. 19 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

20 Szeregi przemienne Kryterium Leibniza zbieżności szeregów. Jeżeli w szeregu przemiennym a n (1) n = 1 począwszy od pewnego miejsca N bezwzględne wartości wyrazów dążą monotonicznie do zera, tzn. dla każdego n > N spełnione są warunki: | a n+1 | | a n |, lim a n = 0, n to szereg jest zbieżny. Kryterium bezwzględnej zbieżności szeregów. Jeżeli szereg | a n |, n = 1 którego wyrazy są równe wartościom bezwzględnym wyrazów szeregu (1), jest zbieżny, to szereg (1) też jest zbieżny. 20 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

21 Szeregi przemienne Szereg a n n = 1 nazywamy szeregiem bezwzględnie zbieżnym, gdy szereg | a n | n = 1 jest zbieżny. Szereg zbieżny, który nie jest bezwzględnie zbieżny, nazywamy szeregiem warunkowo zbieżnym. 21 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

22 Szeregi przemienne Przykład 1. Zbadać zbieżność szeregu ( 1) n+1 /n. n = 1 Jest to szereg przemienny. Bezwzględne wartości jego wyrazów dążą monotonicznie do zera: 1 > ½ > 1/3 > ¼ > … > 1/n > 1/(n+1) > … oraz lim 1/n = 0. Na podstawie kryterium Leibniza szereg jest zbieżny. n Przykład 2. Zbadać zbieżność szeregu 1 ½ + 1/2 2 1/2 2 + 1/3 2 1/2 3 + 1/4 2 1/2 4 + … + 1/n 2 1/2 n. Jest to szereg przemienny. Nie spełnia on kryterium Leibniza, gdyż mamy 1/6 2 > 1/2 6, 1/2 6 1/2 7, 1/2 7 < 1/8 2, … Szereg jest jednak zbieżny i to bezwzględnie. 22 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

23 Szeregi przemienne Oznaczmy przez S n sumę wartości bezwzględnych jego n wyrazów i weźmy najpierw pod uwagę ciąg sum parzystych S 2n. Łącząc w grupy odpowiednie wyrazy otrzymujemy S 2n = (1 + 1/2 2 + 1/3 2 + … + 1/n 2 ) + (1/2 + 1/2 2 + 1/2 3 + … + 1/2 n ), czyli n n S 2n = 1/k 2 + 1/2 k. k = 1 k = 1 Granica pierwszej sumy jest równa sumie szeregu harmonicznego rzędu 2, a więc szeregu zbieżnego. Granica drugiej sumy może być obliczona na podstawie sumy szeregu geometrycznego (jest równa 1). Zatem lim S 2n = 1/n 2 + 1. n n = 1 Ciąg sum cząstkowych parzystych jest zatem zbieżny. 23 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

24 Szeregi przemienne Aby dowieść, że ciąg S n jest zbieżny, należy jeszcze wykazać, że ciąg sum cząstkowych nieparzystych S 2n+1 jest zbieżny (i to do tej samej granicy). Wynika to bezpośrednio z równości S 2n+1 = S 2n + a 2n+1, wobec tego, że wyraz ogólny danego szeregu dąży do zera. Udowodniliśmy zatem zbieżność szeregu utworzonego z bezwzględnych wartości wyrazów danego szeregu, a więc tym samym wykazaliśmy bezwzględną zbieżność danego szeregu. 24 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego


Pobierz ppt "Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Andrzej Marciniak Podstawy analizy matematycznej I Zajęcia finansowane."

Podobne prezentacje


Reklamy Google