Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

1 Przykład liczbowy Rozpatrzmy dwuwymiarową zmienną losową (X,Y), gdzie X jest liczbą osób w rodzinie, a Y liczbą izb w mieszkaniu. Niech f.r.p. tej zmiennej.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "1 Przykład liczbowy Rozpatrzmy dwuwymiarową zmienną losową (X,Y), gdzie X jest liczbą osób w rodzinie, a Y liczbą izb w mieszkaniu. Niech f.r.p. tej zmiennej."— Zapis prezentacji:

1 1 Przykład liczbowy Rozpatrzmy dwuwymiarową zmienną losową (X,Y), gdzie X jest liczbą osób w rodzinie, a Y liczbą izb w mieszkaniu. Niech f.r.p. tej zmiennej będzie dana tabelką 12 3 p i. 1 0,06 0,030,04 0,13 2 0,07 0,040,13 0,24 3 0,07 0,060,20 0,33 4 0,05 0,120,13 0,30 p.j 0,25 0,250,50 1,00 X Y

2 2 Rozkłady brzegowe Rozkład jednej tylko zmiennej, X lub Y, bez względu na rozkład drugiej, będziemy nazywali rozkładem brzegowym tej zmiennej. Rozkłady brzegowe są rozkładami jednowymiarowymi, a ich f.r.p. określone są następująco:

3 3 Rozkłady warunkowe W przypadku rozkładów dwuwymiarowych istnieje możli- wość określenia rozkładu jednej zmiennej pod warunkiem, że druga zmienna przyjmie określone wartości. Warunkowe funkcje rozkładu prawdopodobieństwa określone są następująco:

4 4 Warunkowe funkcje prawdopodobieństwa Obliczając warunkowe f.r.p. dla zmiennej losowej Y w naszym przykładzie otrzymamy: ,46 0,230, ,29 0,170, ,21 0,180, ,17 0,400,43 1

5 5 Parametry rozkładu dwuwymiarowej zmiennej losowej Momentem zwykłym rzędu k+l (k, l = 0, 1,...) dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y) typu skokowego nazywamy wyrażenie: Z powyższego wynika, że istnieją dwa momenty rzędu pierwszego m 10 i m 01, przy czym m 10 =EX oraz m 01 =EY, tym samym momenty te są wartościami oczekiwanymi w rozkładach brzegowych zmiennych X i Y.

6 6 Parametry rozkładu (c.d.) Podobnie istnieją trzy momenty rzędu drugiego: m 20 =EX 2 ; m 02 =EY 2 ; m 11 =EXY Przykład: Obliczając momenty rzędu pierwszego i drugiego w naszym przykładzie otrzymujemy: m 10 =EX=1 0, , , ,30 = 2,8 m 01 =EY=1 0, , ,50 = 2,25 m 20 =EX 2 =1 2 0, , , ,30 = 0,13+0,96+2,97+4,80 = 8,86 m 02 =EY 2 =1 2 0, , ,50 = 0,25 + 1,00 + 4,50 = 5,75 m 11 =EXY=1 1 0, , , , , , , , , , , ,13 = 0,24 + 1,08 + 2,37 + 2,72 = 6,41

7 7 Przykład liczbowy Rozpatrzmy dwuwymiarową zmienną losową (X,Y), gdzie X jest liczbą osób w rodzinie, a Y liczbą izb w mieszkaniu. Niech f.r.p. tej zmiennej będzie dana tabelką 12 3 p i. 1 0,06 0,030,04 0,13 2 0,07 0,040,13 0,24 3 0,07 0,060,20 0,33 4 0,05 0,120,13 0,30 p.j 0,25 0,250,50 1,00 X Y m10=EX= 10,13+20,24+30, ,30=2,8 (wartość oczekiwana zmiennej X m01=EY=10,25+ 20,25+30,50=2, 25 (wartość oczekiwana zmiennej Y

8 8 Parametry rozkładu (c.d.) Momentem centralnym rzędu k+l (k, l = 0, 1,...) dwuwy- miarowego rozkładu zmiennej losowej (X,Y) typu skokowego nazywamy wyrażenie:

9 9 Obliczanie momentów centralnych Z definicji momentu centralnego wynika, że: Istnieje jeszcze jeden moment centralny rzędu drugiego: Moment ten nazywamy kowariancją i oznaczamy symbolem CXY.

10 10 Związki między momentami Między momentami centralnymi a zwykłymi zachodzą związki: Można udowodnić, że jeżeli zmienne losowe (X,Y) są niezależne, to kowariancja jest równa zero. O zmiennych (X,Y), dla których CXY=0 mówimy, że są nieskorelowane.

11 11 Współczynnik korelacji Z kowariancją związany jest jeszcze jeden parametr rozkładu dwuwymiarowego, tzw. współczynnik korelacji zmiennych losowych (X,Y): Z własności kowariancji wynika następująca własność współczynnika korelacji: Współczynnik korelacji jest miarą siły związku między zmiennymi losowymi.

12 12 Obliczenia momentów centralnych i współczynnika korelacji Korzystając ze związków między momentami otrzymujemy w naszym przykładzie : Możemy już obliczyć współczynnik korelacji:

13 13 Warunkowe wartości oczekiwane Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej Y przy warunku, że zmienna X = x i nazywamy wyrażenie: Analogicznie definiujemy warunkową wartość oczekiwaną zmiennej X:

14 14 Obliczanie warunkowych wartości oczekiwanych Obliczmy warunkowe wartości oczekiwane zmiennej losowej Y w naszym przykładzie. Kolejno otrzymujemy: E(Y/X=1)=1 0,46+2 0,23+3 0,31=1,85 E(Y/X=2)=1 0,29+2 0,17+3 0,54=2,25 E(Y/X=3)=1 0,21+2 0,18+3 0,61=2,40 E(Y/X=4)=1 0,17+2 0,40+3 0,43=2,26


Pobierz ppt "1 Przykład liczbowy Rozpatrzmy dwuwymiarową zmienną losową (X,Y), gdzie X jest liczbą osób w rodzinie, a Y liczbą izb w mieszkaniu. Niech f.r.p. tej zmiennej."

Podobne prezentacje


Reklamy Google