Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Definicja Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej x (inaczej moduł liczby rzeczywistej x) jest oznaczana przez |x| i zdefiniowana w sposób następujący:

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Definicja Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej x (inaczej moduł liczby rzeczywistej x) jest oznaczana przez |x| i zdefiniowana w sposób następujący:"— Zapis prezentacji:

1

2 Definicja Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej x (inaczej moduł liczby rzeczywistej x) jest oznaczana przez |x| i zdefiniowana w sposób następujący: wartość bezwzględna z liczby nieujemnej jest równa danej liczbie, wartość bezwzględna z liczby ujemnej jest równa liczbie do niej przeciwnej. Definicja algebraiczna wyraża się następującym wzorem: x, dla x 0 -x, dla x<0 Przykłady: |7|=7, |-3|=3, |0|=0. W sensie geometrycznym wartość bezwzględna jest miarą odległości. I tak |a| oznacza odległość na osi liczbowej punktu o współrzędnej a od punktu 0. Natomiast |a - b| oznacza odległość na osi liczbowej punktów o współrzędnych a i b.

3 Własności Wartość bezwzględna posiada wiele przydatnych własności. Dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y: 1.|x| 0 2.|x| = |-x | 3.|x + y| |x| + |y| 4.| x - y | |x| - |y| 5.||x| - |y|| | x + y | 6.||x| - |y|| | x - y | 7.|x| = 8. |x| = |y| x = y lub x = -y. Ponadto dla a > 0 prawdziwe są związki; 1.|x| a -a x a 2.|x| < a -a < x < a 3.|x| a x -a lub x a 4.|x| > a x a.

4 Przykładowe zadania Zadanie 1. Oblicz x, wiedząc, że: |x| = 0,8. Rozwiązanie : |x| = 0,8 x = 0,8 lub x = - 0,8. Zadanie 2. Wiemy, że |a|= |b|. Czy liczby a i b muszą być równe? Rozwiązanie: Z własności wartości bezwzględnej wiemy, że : |a| = |-a| i |b| = |-b|. Stąd jeśli |a| = |b|, to a = b lub a = -b.

5 Zadanie 3. Co powiesz o wartości bezwzględnej x, jeżeli wiesz, że x (-5 ; 5) ? Rozwiązanie: x (-5 ; 5), czyli -5 < x < 5. Tak więc |x| < 5. Zadanie 4. Co powiesz o wartości bezwzględnej x, jeżeli wiesz, że : x (- ; -7 7 ; +) ? Rozwiązanie: x (- ; -7 7 ; +), czyli x -7 lub x 7. Tak więc możemy zapisać, że: |x| 7.

6 Zadanie 5. Rozwiąż równanie: |x| - 2x = 4 Rozwiązanie: Rozpatrujemy dwa przypadki: I. Gdy x 0, to |x| = x. Tak więc nasze równanie ma postać: x – 2x = 4 x = -4 Ponieważ założyliśmy, że x 0, więc w tym przypadku równanie nie ma rozwiązania. II. Gdy x < 0, to |x| = -x. Tak więc równanie ma postać: -x – 2x = 4 -3x = 4 x = -1 Tu nie ma sprzeczności z założeniem. Ostatecznie rozwiązaniem naszego równania jest tylko liczba -1.

7 Zadanie 6. Jakie liczby spełniają nierówność: |x - 2| 3, gdy x jest liczbą: a) całkowitą, b) rzeczywistą. Rozwiązanie: Musimy rozważyć dwa przypadki: I. Gdy x – 2 0, czyli x 2, to |x - 2| = x - 2. Równanie nasze ma więc postać: x – 2 3 x 5 Otrzymujemy, że: 2 x 5. II. Gdy x – 2 < 0, czyli x < 2, to |x - 2| = - x + 2. Równanie nasze ma postać: -x x -1 Otrzymujemy, że: -1 x < 2. Ostatecznie rozwiązanie naszej nierówności to: -1 x 5. W odniesieniu do punktów a i b zadania mamy: a) gdy x jest l. całkowitą, to rozwiązaniem są liczby -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5. b) gdy x jest l. rzeczywistą, to x -1 ; 5.

8 Zadanie 7. Rozwiąż nierówność: |x| + |2 - x| < 4 Rozwiązanie: Rozpatrujemy cztery przypadki: I. |x| = x, dla x 0 i |2 - x| = 2 – x, dla 2 – x 0 x 2 Czyli dla 0 x 2 nasza nierówność ma postać: x + 2 – x < 4 2 < 4 Tak więc nierówność jest spełniona dla każdego 0 x 2. II.|x| = x, dla x 0 i |2 - x| = -2 + x, dla 2 – x < 0 x > 2 Czyli dla x > 2 nierówność ma postać: x – 2 + x < 4 2x < 6 x < 3 Tak więc nasza nierówność jest spełniona dla 2 < x < 3.

9 III. |x| = -x, dla x < 0 i |2 - x| = 2 – x, dla 2 – x 0 x 2 Czyli dla x < 0 nasza nierówność ma postać: -x + 2 – x < 4 -2x < 2 x > -1 Tak więc nierówność jest spełniona dla każdego -1 < x < 0. IV. |x| = -x, dla x < 0 i |2 - x| = -2 + x, dla 2 – x < 0 x > 2 Otrzymujemy sprzeczność, gdyż nie możliwe jest, aby jednocześnie zachodziły warunki: x 2. W tym przypadku nierówność nie zachodzi dla żadnego x. W ten sposób otrzymujemy, że nierówność jest spełniona, gdy zachodzi pierwszy lub drugi, lub trzeci przypadek, a więc x (-1 ; 3).

10 Zadanie 8. Dla każdej trójki liczb rzeczywistych a, b, c (różnych od zera) tworzymy liczbę: Oblicz, ile może wynosić taka suma. Rozwiązanie: Zauważmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x mamy: 1, dla x>0 -1, dla x<0 Tak więc suma jest sumą liczb 1 lub -1 w różnych kombinacjach. Łatwo sprawdzamy, że suma ta może być tylko równa 4 lub 0 lub -4.

11 Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie 1. Podaj zbiór rozwiązań następujących równań i nierówności: a) |x| = 3 b) |x| = -5 c) |x| < 2 d) |x| 3 e) |x - 1| < 1OdpowiedziOdpowiedzi Zadanie 2. Zapisz podane nierówności w skrócony sposób (używając symbolu wartości bezwzględnej): a) -2 a 2 b) 1 < x < 3 OdpowiedziOdpowiedzi

12 Zadanie1. a) x = 3 lub x = -3 b) brak rozwiązań c) -2 < x < 2 d) x -3 lub x 3 e) 0 < x < 2 POWRÓT

13 Zadanie 2. a) a 2 b) x - 2< 1 POWRÓT

14 Zadanie 3. Które z poniższych zdań jest prawdziwe dla dowolnych liczb a, b: a) jeżeli a = b, to a=b b) jeżeli a=b, to a = b c) a a d) a a OdpowiedziOdpowiedzi Zadanie 4. Wyrażenie m + m zapisz w najprostszej postaci, nie używając symbolu wartości bezwzględnej, gdy: a) m 0 b) m < 0 OdpowiedziOdpowiedzi Zadanie 5. Wyrażenie x+ x x - 2 zapisz w najprostrzej postaci, wiedząc, że 1 < x < 2. Odpowiedź

15 Zadanie 3. Prawdziwe są zdania a i d. POWRÓT

16 Zadanie 4. a) 2m b) 0 POWRÓT

17 Zadanie 5. x + 3 POWRÓT

18 Zadanie 6. Rozwiąż następujące równania: a) x- x = 2 b) x= 0,5x – 1 OdpowiedziOdpowiedzi Zadanie 7. Rozwiąż następujące równania. Pamiętaj o rozważeniu wszystkich przypadków. a) 2x + 2= x+ 3 b) x- 2 = x + 2 OdpowiedziOdpowiedzi Zadanie 8. Rozwiąż podane nierówności: a) 2x - 3< 2 b) 0,5x + 1> 1,5 c) x - 1+ x < 1 d) x- x - 1> 0 OdpowiedziOdpowiedzi

19 Zadanie 6. a) x = -1 b) brak rozwiązań POWRÓT

20 Zadanie 7. a) x = -5 lub x = 1 b) Równanie jest spełnione dla wszystkich x -2. POWRÓT

21 Zadanie 8. a) 0,5 < x < 2,5 b) x 1 c) brak rozwiązań d) x > 0,5 POWRÓT

22 Bibliografia 1.Encyklopedia Matematyka pod red. A. Nawrot Sabiak, Greg, Kraków P. Kosowicz, Słownik Matematyka, Greg, Kraków A. Ehrenfeucht, O. Stande, Algebra, WSiP, Warszawa Z. Krawcewicz, Zadania dla uczniów klas V – VIII uzdolnionych matematycznie, WSiP, Warszawa Matematyka z wesołym kangurem (Kadet i Junior), Aksjomat, Toruń 1995


Pobierz ppt "Definicja Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej x (inaczej moduł liczby rzeczywistej x) jest oznaczana przez |x| i zdefiniowana w sposób następujący:"

Podobne prezentacje


Reklamy Google