Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Rzut stereograficzny Spinory Cartana Referat przygotowany na ćwiczenia z kursu MMF II prowadzone przez dra W. Karasia Radosław Strzałka 27.10.2008.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Rzut stereograficzny Spinory Cartana Referat przygotowany na ćwiczenia z kursu MMF II prowadzone przez dra W. Karasia Radosław Strzałka 27.10.2008."— Zapis prezentacji:

1 Rzut stereograficzny Spinory Cartana Referat przygotowany na ćwiczenia z kursu MMF II prowadzone przez dra W. Karasia Radosław Strzałka

2 RZUT STEREOGRAFICZNY (co po czym?) Skąd to się wzięło i kto to wymyślił? Skąd to się wzięło i kto to wymyślił? (trochę historii) Co na to analiza zespolona? Co na to analiza zespolona? (postać zespolona rzutu) Obrót sfery urodził homografię? Obrót sfery urodził homografię? (reprezentacja grup obrotów i odbić)

3 Ptolemeusz czy Hipparchos? (starożytność) Tworzenie map geograficznych – głównie obszarów podbiegunowych. Odwzorowanie to zachowuje równokątność, ale gubi długości linii i pola powierzchni figur Hipparchos z Nikei (190 r. p.n.e r. p.n.e.) grecki matematyk, geograf i astronom. To jemu przypisuje się znajomość konstrukcji rzutu stereograficznego już w II w p.n.e. Klaudiusz Ptolemeusz (100 r r. n.e.) grecki uczony z Aleksandrii (słynnej greckiej szkoły nauk przyrodniczych). Znany głównie ze stworzenia geocentrycznego układu planetarnego. Niektóre źródła jemu właśnie przypisują rozwinięcie techniki rzutu stereograficznego do zastosowań geometrycznych.

4 Konstrukcja geometryczna Sfera jednostkowa w przestrzeni rzeczywistej Sfera jednostkowa w przestrzeni rzeczywistej Odwzorowanie stereograficzne – przekształcenie sfery na płaszczyznę Odwzorowanie stereograficzne – przekształcenie sfery na płaszczyznę Rzut stereograficzny – punkt przecięcia prostej, łączącej biegun południowy z punktem x = (x 1,x 2,x 3 ) na sferze, z płaszczyzną Rzut stereograficzny – punkt przecięcia prostej, łączącej biegun południowy z punktem x = (x 1,x 2,x 3 ) na sferze, z płaszczyzną płaszczyzna zespolona płaszczyzna zespolona Obraz rzutu sfery na płaszczyznę, wraz z obrazem bieguna południowego (nieskończoność) – sfera Riemanna (uzwarcona płaszczyzna Gaussa) Obraz rzutu sfery na płaszczyznę, wraz z obrazem bieguna południowego (nieskończoność) – sfera Riemanna (uzwarcona płaszczyzna Gaussa) (czemu tak?) z Współrzędna zespolona

5 Spróbujmy znaleźć zależność odwrotną, tzn. wyliczmy w zależności od z oraz Mamy teraz 2 sfery zbudowane na przestrzeniach X i Y i dwa zespolone punkty z i t. oraz pewną grupę obrotów, reprezentowaną w przestrzeni rzeczywistej macierzą ortogonalną Będziemy chcieli znaleźć relację t(z) – dającą prawidła transformacji płaszczyzny zespolonej przy obrocie sfery. Gdzie tu jest ta HOMOGRAFIA?!

6 Macierze obrotu w przestrzeni Euklidesowej: Po zastosowaniu kilku ostatnich faktów dostajemy następujące relacje: Jest homografia! w ogólnej postaci, Jest homografia! w ogólnej postaci, jednak zauważamy pewne szczególne właściwości, które pozwalają zapisać: Widzimy więc, że do pełnego opisu transformacji obrotu płaszczyzny zespolonej pod wpływem obrotu przestrzeni rzeczywistej, w wyniku której rzutu stereograficznego powstała, wystarczają 2 parametry – a,c tzw. param. Cayleya-Kleina, spełniające relację:

7 …jeszcze 2 słowa o odbiciach Odbicie w osiach układu współrzędnych ma oczywisty związek w operacjami obrotu. Dlatego można odbiciu przypisać homografię: Można pokazać, że wówczas: A stąd już krok do ostatecznej postaci – otrzymujemy tzw. antyhomografię Siedlemin koło Jarocina (fot. ~Radek)

8 SPINORY (po czym co?) Drobniejsza moneta – i kto to wymyślił? Drobniejsza moneta – i kto to wymyślił? (trochę historii – tym razem XXw.) Obrót – i znów homografia? Obrót – i znów homografia? (reprezentacja grupy obrotów spinora) Zaskakujący minus, jednostka urojona i Pauli Zaskakujący minus, jednostka urojona i Pauli (znak, odbicie i wektor spinora)

9 Rozmienić wektor na drobne Élie Joseph Cartan (1869 r r.) francuski matematyk, szczególnie zasłużony w pracach nad teorią grup Liego i ogólną teorią grup, autor prac z geometrii różniczkowej i fizyki matematycznej. Początek: Cartan 1913 r. Motywacja: Problem z rozkładem wektorów w bazie czterowektorowej. Definicja: Spinory to (w najprostszym ujęciu) wektory o współrzędnych zespolonych, używane do transformacji 3- wymiarowych grup obrotów do ich 2-wymiarowcyh reprezentacji. Zastosowanie: W mechanice kwantowej spinorów używa się do opisu funkcji falowej fermionów – związek z pojęciem spinu. Kondensat Bosego-Einsteina: spinory służą do reprezentacji funkcji falowej spinu. W doświadczeniach związanych z KBE (ang. BEC) wykreśla się zależności zmian spinora w czasie.

10 Rozważamy dwa prostopadłe i o takiej samej długości wektory w=(w 1,w 2,w 3 ) i v=(v 1, v 2,v 3 ) z przestrzeni rzeczywistej. Możemy wprowadzić 2 parametry u 0 i u 1 takie, że współrzędne wektorów wyrazimy w postaci: Te nowe współrzędne u 0 i u 1 tworzą SPINOR – nową wielkość algebraiczną (geometryczną) Jeżeli teraz dokonamy transformacji obrotu wektorów w i v wg przepisu dla sfer jednostkowych z poprzedniej części, to współrzędne spinora przetransformują się wg macierzy Cayleya-Kleina Jeśli teraz zdefiniujemy liczbę zespoloną HOMOGRAFIA! – znów obrót jakiegoś obiektu geometrycznego w przestrzeni rzeczywistej ma na pł. zespolonej swoją reprezentację w postaci homografii. HOMOGRAFIA! – znów obrót jakiegoś obiektu geometrycznego w przestrzeni rzeczywistej ma na pł. zespolonej swoją reprezentację w postaci homografii. Rozważając obrót przestrzeni rzeczywistej wokół trzeciej osi (osi z), doszlibyśmy do bardzo zaskakującego wniosku:Przy pełnym obrocie spinor ZMIENIA ZNAK! to

11 Wykorzystując wyrażenie w żółtej ramce z poprzedniego slajdu, łatwo pokazać, że wyrażenie jest niezmiennikiem transformacji obrotu – KWADRAT WIELKOŚCI SPINORA Ostatnią z rozważanych przez nas transformacji geometrycznych jest odbicie w osiach układu współrzędnych. Jeśli rozważymy całkowite odbicie (tzn. w w= w oraz v v= v), to Z poprzednich rozważań o rzucie stereograficznym pamiętamy, natomiast przed chwilą przyjęliśmy, że Stąd po połączeniu wszystkich faktów otrzymujemy 3 liczby są to współrzędne tzw. są to współrzędne tzw. WEKTORA SPINORA WEKTORA SPINORA Okazuje się, że składowe tego wektora można zapisać prostą formułą w oparciu o macierze Pauliego gdzie gdzie

12 LITERATURA Algebra i geometria. Wykład dla fizyków. Algebra i geometria. Wykład dla fizyków. prof. Andrzej Staruszkiewicz, wyd. UJ, 1993 Spinory. dr Sławomir Brzezowski, wyd. UJ, 1995 Spinory. dr Sławomir Brzezowski, wyd. UJ, 1995 Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk. Jacek Komorowski, wyd. PWN, 1978 Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk. Jacek Komorowski, wyd. PWN, 1978 Źródła internetowe: Wikipedia i inne Źródła internetowe: Wikipedia i inne


Pobierz ppt "Rzut stereograficzny Spinory Cartana Referat przygotowany na ćwiczenia z kursu MMF II prowadzone przez dra W. Karasia Radosław Strzałka 27.10.2008."

Podobne prezentacje


Reklamy Google