Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Marek Zrałek Zakład Teorii Pola i Cząstek Elementarnych Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski Katowice, 2013 Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Marek Zrałek Zakład Teorii Pola i Cząstek Elementarnych Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski Katowice, 2013 Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika."— Zapis prezentacji:

1 Marek Zrałek Zakład Teorii Pola i Cząstek Elementarnych Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski Katowice, 2013 Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (2013) Wykład 4 Najpiękniejszą rzeczą, jakiej możemy doświadczyć jest oczarowanie tajemnicą. Jest to uczucie, które stoi u kolebki praw­ dziwej sztuki i prawdziwej nauki. Ten, kto go nie zna i nie potrafi się dziwić, nie potrafi doznawać zachwytu, jest martwy, niczym zdmuchnięta świeczka.

2

3 Izomorfizm dwóch przestrzeni Φ oraz Φ z iloczynem skalarnym Oraz ; Operatory liniowe: Operator sprzężony A + : Operator samosprzężony: A + = A Operator Hermitowski: A + = A oraz D(A + ) = D(A) jest gęsta

4 Wektory i wartości własne operatorów: Dla operatorów hermitowskich: 1) Wartości własne są rzeczywiste 2) Wektory własne należące do różnych wartości własnych są ortogonalne Operatory odwrotne: Operatory unitarne: Komutacja operatorów: Zdegenerowana wartość własna:

5 Algebra operatorów {A} = A Zbiór operatorów {A} tworzy ALGEBRĘ, gdy 1) Zbiór {A} tworzy przestrzeń liniową, 2) Dla każdego A i B ( ) określony jest ich iloczyn o własnościach A (AB)C=A(BC) A(B+C) = AB + AC (A+B)C = AC +BC (αA)B = A(αB) = α(AB) 3) Dla każdego A istnieje operator I taki, że AI = IA = A

6 Istotne elementy teorii przestrzeni liniowych i operatorów w nich działających Twierdzenie spektralne Jądrowe twierdzenie spektralne Właściwe i uogólnione wektory własne |E n ) oraz Rozwinięcie spektralne operatora jednostkowego Rozwinięcie spektralne H Jednoznaczne określenie wektora Topologia przestrzeni Hilberta Nowa topologia H p Analogiczne relacje: Odwzorowanie DYSTRYBUCJA

7 Dla każdego operatora hermitowskiego A w skończenie wymiarowej przestrzeni Φ istnieje układ jego wektorów własnych taki, że dla każdego wektora zachodzi: Iloczyn skalarny: nazywamy składową wektora w bazie. W przestrzeniach wymiarowych powyższe twierdzenia nie jest w ogólności słuszne Twierdzenie spektralne

8 W przestrzeniach wymiarowych zawsze istnieje ortonormalny układ wektorów bazy, ale nie każdy operator samosprzężony musi mieć przeliczalny zbiór wektorów własnych tworzących bazę Poza tym będziemy mieć także do czynienia z operatorami o widmie ciągłym, lub ciągłym i dyskretnym. Jądrowe twierdzenia spektralne (NST) Istnieją wymiarowe przestrzenie Φ (istnieją topologie w tych przestrzeniach) dla których twierdzenia spektralne można udowodnić dla każdego operatora samosprzężonego, które będą interesujące z fizycznego punktu widzenia Mechanikę kwantową będziemy formułować w takich przestrzeniach, w których NST zachodzi.

9 Weźmy dwie obserwable, energię H i położenie Q Dla każdego zachodzi; albo: -- właściwy wektor własny przestrzeń ciągłych liniowych funkcjonałów określonych na Φ, wektory uogólnione. --

10 ciągłe widmo operatora położenia Q Rozwinięcia spektralne operatorów: Z fizycznego punktu widzenia interesują nas wektory jednoznacznie określone a więc unormowane:

11 Chcemy też, aby określone było działanie dowolnego operatora A na stan, tzn. : Jeżeli: to: Tak więc interesują nas takie przestrzenie Φ, w której dowolne wektory spełniają: nie tylko:,.ale także:

12 Dowolny wektor mogę przedstawić: lub: Możemy więc określić przestrzenia izomorficzne: Tak będzie zdefiniowana przestrzeń stanów kwantowych

13 Funkcjonał liniowy: Funkcjonał antyliniowy: Iloczyn skalarny jest funkcjonałem antyliniowym: Zapiszemy: Ciągłe Funkcjonały ; ;.

14 Możemy określić liniową przestrzeń funkcjonałów antyliniowych: Co zapiszemy w trochę inny sposób: Zbiór antyliniowych funkcjonałów {F} na przestrzeni Φ tworzy przestrzeń liniową nazywamy ją przestrzenią sprzężoną lub przestrzenią dualną do Φ i oznaczamy Φ *. Przestrzeń dualna

15 W przestrzeniach skończenie wymiarowych: Niech { e i ; i = 1,2,3,….N} będzie bazą w Φ, określamy i = 1,2,3,….N Dla dowolnego v możemy zapisać: Wtedy:

16 Każdy funkcjonał jest określony przez zbiór liczb zespolonych {f i ; i=1,2,3,….,N } Możemy wtedy określić wektor należący do przestrzeni Φ: Obliczmy iloczyn skalarny: Tak więc w przestrzeniach skończenie wymiarowych Istnieje jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy funkcjonałem F a wektorem f, czyli Φ = Φ *

17 W przestrzeniach wymiarowych taka identyfikacja nie jest na ogół możliwa. Dla przestrzeni skończenie wymiarowych: Mówimy, że takie przestrzenie są samodualne Dla przestrzeni nieskończenie wymiarowych(jak zobaczymy za chwilę):

18 Topologia – zbieżność nieskończonego ciągu (wystarczy dla naszych celów. Co to znaczy ? Ψ ---- przestrzeń liniowa bez żadnej topologii H zawiera wszystkie granice ; Φ ---- zawiera granice ciągów ; Zawiera p. graniczne według mniej ostrego warunku Zawiera p. graniczne według ostrzejszego warunku Dla przestrzeni dualnych będzie odwrotnie (Rigged Hilbert Space) Nie zawiera punktów granicznych Tryplet Gelfanda

19 (1) H zawiera Ψ oraz wszystkie punkty graniczne, dla wszystkich ciągów, które spełniają warunek: (2) Φ zawiera Ψ oraz wszystkie punkty graniczne, dla wszystkich ciągów spełniających warunki (A - dowolny operator, p=1,2,3,…): Jeżeli to ale nie odwrotnie, a to oznacza, że jest więcej ciągów spełniających pierwszy warunek, tak więc,

20 Pojęcie ciągłości funkcjonałów: Ψ *, Φ * oraz H *, oznaczają odpowiednia przestrzenie dualne ciągłych antyliniowych funkcjonałów. Warunki, które musza spełniać ciągłe funkcjonały w H * są silniejsze od warunków nałożonych na funkcjonały z Φ * : (1) Φ * jest zbiorem wszystkich F o własnościach F(φ i ) F(φ) dla wszystkich ciągów spełniających warunki (2) H * jest zbiorem F o własnościach F(φ i ) F(φ) dla wszystkich ciągów zbieżnych w sensie przestrzeni Hilberta Warunki drugie są silniejsze, nie wszystkie funkcjonały F, które spełniają warunki pierwsze, spełniają także warunki 2-ie, a to oznacza, że przestrzeń Φ * jest większa od przestrzeni H * :

21 Twierdzenie Riesza Dla każdego ciągłego funkcjonału F nad przestrzenią Hilberta istnieje takie f jednoznacznie określone i należące do przestrzeni Hilberta, iż zachodzi warunek: a to oznacza, że H = H *. Symbol będzie więc rozszerzeniem iloczynu skalarnego na funkcjonały, które nie należą do przestrzeni Hilberta Możemy rozpatrywać antyliniowe funkcjonały na Φ *. Dla dużej klasy liniowych topologicznych przestrzeni Φ (nazywanych zwrotnymi) istnieje jednoznaczny związek pomiędzy elementami z przestrzeni Φ oraz z przestrzeni przestrzeni Φ ** :

22 Do liniowej przestrzeni Φ będą należeć stany układów fizycznych. Przestrzeń ta zależy od zbioru obserwabli dla rozpatrywanego układu fizycznego Wektory w przestrzeni Φ Wektory w przestrzeni Φ * Fizyczne stany energii Niefizyczne stany operatora położenia v

23 W dalszym ciągu Różnica wynika z kontekstu

24 Dla każdego układu fizycznego: Musi maleć w nieskończoności szybciej niż jakakolwiek potęga 1/x Przestrzeń Schwartza: przestrzeń funkcji zespolonych różniczkowalnych takich, że same funkcje i ich dowolne pochodne znikają w szybciej niż jakakolwiek potęga 1/x

25 W przestrzeni Φ dowolny wektor można prezentować w różny sposób A H Q Np. dla oscylatora harmonicznego

26 Wektory uogólnione mają wymiar ( [|x ]= cm -1/2 ) Definicja naszej przestrzeni stanów Φ Realizacja – przestrzeń Schwartza Często Izomorfizm przestrzeni Φ oraz Elementy teorii reprezentacji, przejście pomiędzy bazami Zagadnienie własne w bazie dyskretnej Przykłady przestrzeni Schwartza K(a): φ(x) = 0 dla |x| > a, Szereg Fouriera K(): - < x <, Wielomiany Hermitea K(-1,1): -1< x < 1, Wielomiany Legendrea K(0, ): 0 < x <, Wielomiany Laguerrea


Pobierz ppt "Marek Zrałek Zakład Teorii Pola i Cząstek Elementarnych Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski Katowice, 2013 Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika."

Podobne prezentacje


Reklamy Google