Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Renata Puczyńska. 1. Twierdzenie Pitagorasa - Nr 1 Nr 2Nr 1Nr 2 - Pitagoras z Samos.Pitagoras z Samos. - Przykłady Nr 1, przykład Nr 2Przykłady Nr 1przykład.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Renata Puczyńska. 1. Twierdzenie Pitagorasa - Nr 1 Nr 2Nr 1Nr 2 - Pitagoras z Samos.Pitagoras z Samos. - Przykłady Nr 1, przykład Nr 2Przykłady Nr 1przykład."— Zapis prezentacji:

1 Renata Puczyńska

2 1. Twierdzenie Pitagorasa - Nr 1 Nr 2Nr 1Nr 2 - Pitagoras z Samos.Pitagoras z Samos. - Przykłady Nr 1, przykład Nr 2Przykłady Nr 1przykład Nr 2 2. Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa. - CiekawostkaCiekawostka 3. Zastosowanie twierdzenie Pitagorasa. Nr 1 Nr 2Nr 1Nr 2 4. Twierdzenie Pitagorasa w układzie współrzędnych. 5.Przekątna kwadratu. 6. Wysokość trójkąta prostokątnego. 7. Trójkąty o kątach. 8. Trójkąty prostokątne – zadania uzupełniające.

3 Pitagoras z Samos (572 p.n.e. – 497 p.n.e.) żył w czasach, gdy w Indiach nauczał Budda, a w Chinach Konfucjusz. Założył Związek Pitagorejski – bractwo religijno – polityczne, które prowadziło także działalność naukową. Pitagorejczycy uważali, że świat można opisać za pomocą liczb. Ich celem życia było poszukiwanie harmonii w świecie. Odkryli na przykład, jakie długości powinny mieć dwie struny, aby razem (harmonijnie) brzmiały. Twierdzenie, zwane twierdzeniem Pitagorasa, używane było już wcześniej przez Babilończyków, Egipcjan i Hindusów. Od pita- gorejczyków pochodzi prawdopodobnie ogólny dowód i nazwa twierdzenia. Legenda głosi, że po udowodnieniu twierdzenia Pitagorasa złożył bogom hekatombę, czyli ofiarą ze stu wołów. powrót

4 Starożytni matematycy odkryli następującą własność trójkątów prostokątnych: W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. P3 P2 P1 P1+P2 = P3 P1,P2 – pola kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych P3 – pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej powrót Nr 2

5 Twierdzenie Pitagorasa możemy sformułować w inny sposób: W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta. a 2 + b 2 = c 2 a, b – długości przyprostokątnych c – długość przeciwprostokątnych c a b powrót Zadanie 1 Nr 1

6 Jeżeli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to trójkąt jest prostokątny. Uwaga. Nie zawsze, formułując twierdzenia odwrotnego, otrzymujemy zdanie prawdziwe. Na przykład prawdziwe jest twierdzenie: jeżeli czworokąt jest rombem, to przekątne przecinają się pod kątem prostym. Nie jest natomiast prawdą, że: jeżeli przekątne czworokąta przecinają się pod kątem prostym, to jest on rombem powrót Zadanie 2

7 Mówimy, że trzy liczby naturalne a, b, c tworzą trójkę pitagorejską, jeśli spełniają równość a 2 + b 2 = c 2. Archeolodzy znaleźli glinianą tabliczkę, na której starożytni Babilończycy zapisali listę takich trójek już tysiąc lat przed Pitagorasem! Przykłady trójek pitagorejskich: 3, 4, 5 6, 8, 105, 12, 13 Odkrycie ogólnej metody znajdowania trójek pitagorejskich przypisuje się greckiemu matematykowi Diofantosowi (III w. n. e.) Jeśli n i k są liczbami naturalnymi i n>k, to liczby: a = n 2 – k 2,b = 2nk,c = n 2 + k 2 Spełniają zależność a 2 + b 2 = c 2. powrót

8 Przykład 1 W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 2 cm i 3 cm. Jaką długość ma przeciwprostokątna tego trójkąta ? x 2 cm 3 cm Wykonujemy rysunek pomocniczy; przez x oznaczmy szukaną długość odcinka = x 2 x 2 = 13 x = Odp. Przeciwprostokątna ma długość cm, czyli około 3,6 cm. powrót

9 Przykład 2 Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 9, a jedna z przyprostokątnych ma długość 6. Oblicz długość drugiej przyprostokątnej. 9 x 6 x = 9 2 x 2 = 81 – 36 x 2 = 45 Odp. Druga przyprostokątna ma długość powrót

10 Zadanie 1 Bok rombu ma długość 13 cm, a jedna z jego przekątnych ma długość 24 cm. Oblicz długości drugiej przekątnej. a – długość boku d, f - przekątne d f a Odp. Druga przekątna ma długość 10 cm powrót

11 Zadanie 2 Przystanek autobusowy znajduje się przy prostokątnym skwerze. Niektórzy pasażerowie skracają sobie drogę do przystanku, niszcząc przy tym trawnik. Załóżmy, że osoba spiesząca się do autobusu biegnie z prędkością 8km/h (ok. 2,2 m/s). Ile czasu zaoszczędzi, wybierając drogę przez trawnik? P – przystanek autobusowy d – droga przez trawnik P 10 cm 12 cm d Odp. Wybierając drogę przez trawnik zaoszczędzi ok. 3 s. powrót

12 R P y x 1 1 S Oblicz długość odcinka w punktach P=(-1,-3) i R=(4,3). IPSI = 5 IRSI = 6 IPRI 2 = IPSI 2 + IRSI 2 Odp. Długość odcinka PR wynosi. Zadanie 3

13 Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, możemy znaleźć wzór na długość przekątnej d. a a d Długość przekątnej kwadratu: a – długość boku kwadratu wróć Zadanie 4

14 Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymamy wzór na wysokość trójkąta równobocznego. a a 1/2a h Wysokość w trójkąta równobocznego: a - długość boku trójkąta równobocznego wróć Zadanie 4

15 Trójkąt ABC jest połową kwadratu o boku a. Zatem przyprostokątna AC i AB ma długość a, a przeciwprostokątna ma długość 45 o C A B a a Trójkąt ten jest połową trójkąta równobocznego o boku 2a. Zatem przeciwprostokątna KM ma długość 2a. Długość przyprostokątnej LM można obliczyć Ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego: a 30 o 60 o 2a M K L wróć Zadanie 5

16 Zadanie 1 Zadanie 2 Zadanie 3 Zadanie 4 Zadanie 5 wróć

17 Jedna z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego ma długość 6 i jest dwa razy krótsza od jednego z dwóch pozostałych boków. Oblicz obwód tego trójkąta. wróć pamiętajzadania 6 lub więc Odp. …

18 Czy trójkąt o podanych bokach jest prostokątnym? wróć pamiętaj zadania Odp. Trójkąt o podanych bokach nie jest prostokątny.

19 Czy trójkąt o wierzchołkach A=(-3,-2), B=(4,1), C=(-1,3) jest równoramiennym? wróć pamiętaj zadania A C B y x ICBI 2 = ICBI 2 = ICBI 2 = 29 IACI 2 = IACI 2 = IACI 2 = 29 IABI 2 = IABI 2 = IABI 2 = 58 Odp. Ten trójkąt jest równoramienny.

20 Kwadrat i trójkąt równoboczny mają takie same obwody, równe 12 cm.Czy przekątna jest dłuższa od wysokości trójkąta? wróć pamiętaj1 zadania pamiętaj2 L 1 - obwód trójkąta równobocznego L 2 – obwód kwadratu a – bok kwadratu B – bok trójkąta L 1 = L 2 = 12 cm 4a = 12 cm 3b = 12 a = 3 cm b = 4 cm Odp. Przekątna jest dłuższa od wysokości trójkata.

21 Krótsza podstawa trapezu równoramiennego ma długość 10 cm. Ramię ma długość 4 cm i jest nachylona do podstawy pod kątem 30 o. Oblicz pole tego trapezu. wróć pamiętaj zadania o h c b – dłuższa podstawa


Pobierz ppt "Renata Puczyńska. 1. Twierdzenie Pitagorasa - Nr 1 Nr 2Nr 1Nr 2 - Pitagoras z Samos.Pitagoras z Samos. - Przykłady Nr 1, przykład Nr 2Przykłady Nr 1przykład."

Podobne prezentacje


Reklamy Google