Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

MC-2010 INFORMACJA! Udostępniane materiały pomocnicze do nauki przedmiotu Wytrzymałość Materiałów są przeznaczone w pierwszym rzędzie dla wykładowców.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "MC-2010 INFORMACJA! Udostępniane materiały pomocnicze do nauki przedmiotu Wytrzymałość Materiałów są przeznaczone w pierwszym rzędzie dla wykładowców."— Zapis prezentacji:

1 MC-2010 INFORMACJA! Udostępniane materiały pomocnicze do nauki przedmiotu Wytrzymałość Materiałów są przeznaczone w pierwszym rzędzie dla wykładowców. Dla właściwego ich wykorzystania konieczny jest komentarz osoby rozumiejącej treści zawarte w prezentacjach. Dla studentów jest to tylko materiał uzupełniający do studiów w bezpośrednim kontakcie z prowadzącymi, a także ułatwiający zrozumienie treści podręczników. Przedstawiana wersja jest pierwszą edycją wykładów przeprowadzonych w roku ak. 2009/10 i wymagać może poprawek i uzupełnień. Pobierający te materiały proszeni są o przesyłanie swoich uwag na adres owy autora:

2 MC-2010 RESUMÉ wiadomości WM1 (1 semestr)

3 MC PRZYPADKI WYTRZYMAŁOŚCIOWE

4 MC-2010 M wII S wII SwISwI M wI P3P3 PiPi O n O P1P1 PnPn P2P2 n {wI}{wI} {w II } { w II } { Z I } { w I } { Z II } S wII S zI M wII M zI S wI - S wII M wI - M wII Redukcja układów sił wewnętrznych – siły przekrojowe S wI S zII M wI M zII S zII M zII M zI S zI

5 MC-2010 Siły przekrojowe w płaskich ustrojach prętowych Składowe wektorów sumy i momentu sił wewnętrznych: S wx, S wy, S wz i M wx, M wy, M wz nazywamy siłami przekrojowymi W ogólności (3D) siły przekrojowe mają trzy składowe S w { S wx, S wy, S wz } M w { M wx, M wy, M wz } S wx S wy S wz M wz M wy M wx SwSw MwMw x y z

6 MC-2010 Siły przekrojowe w płaskich ustrojach prętowych W prętach 2D liczba sił wewnętrznych ulega redukcji, gdyż obciążenie i os pręta leżą w jednej płaszczyźnie (na rys. pł. x, z ): S w { S x, 0, S z } M w { 0, M y, 0 } x y z P q. M M SxSx SzSz MyMy Noszą one nazwy: S x =N - siła podłużna S z =Q - siła poprzeczna M y = M - moment zginający

7 MC-2010 Przypadki wytrzymałościowe Szczególne przypadki redukcji układu sił wewnętrznych noszą nazwę przypadków wytrzymałościowych: ROZCIĄGANIE – gdy układ sił wewnętrznych redukuje się wyłącznie do sumy stycznej do osi pręta ŚCINANIE – gdy układ redukuje się wyłącznie do sumy leżącej w płaszczyźnie przekroju poprzecznego pręta ZGINANIE – gdy układ redukuje się wyłącznie do momentu leżącego w płaszczyźnie przekroju poprzecznego pręta SKRĘCANIE – gdy układ redukuje się wyłącznie do momentu stycznego do osi pręta (obciążenie w pł. prostopadłej do osi pręta) M MsMs Q N

8 MC STAN NAPRĘŻENIA

9 MC-2010 n A P1P1 PnPn I {wI}{wI} {ZI}{ZI} Siły wewnętrzne - naprężenia Otoczenie punktu A Suma sił wewnętrznych działających na ΔA Powierzchnia otoczenia punktu A ΔAΔA ΔwΔw wektor naprężenia w punkcie A n

10 MC-2010 Siły wewnętrzne - naprężenia wektor naprężenia (w punkcie A) jest miarą intensywności sił wewnętrznych i zależy od wyboru punktu i płaszczyzny przekroju x2x2 x1x1 x3x3 n1n1 n3n3 n2n2 p2p2 p3p3 p1p1 σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 p 1 [σ 11, σ 12, σ 13 ] p 2 [σ 21, σ 22, σ 23 ] p 3 [σ 31, σ 32, σ 33 ] obraz punktu σ 11, σ 12, σ 13 σ 21, σ 22, σ 23 σ 31, σ 32, σ 33 TσTσ T σ (σ ij ) Wektory naprężeń: Macierz naprężeń: i,j = 1,2,3 Składowe macierzy ij nazywamy naprężeniami a ich wymiar to [N/m 2 ] czyli [Pa]

11 MC-2010 Siły wewnętrzne - naprężenia x2x2 x1x1 x3x3 n2n2 n1n1 n3n3 ΔA1ΔA1 ΔA3ΔA3 ΔA2ΔA2 ν( νi ) ΔAνΔAν X 1 = 0 itd…. Jeśli:

12 MC-2010 x2x2 x1x1 x3x3 n1n1 n3n3 n2n2 p2p2 p3p3 p1p1 σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 Podsumowanie Jeśli w punkcie ciała dany jest w układzie x i stan naprężenia (tzn. znane są 3 wektory na płaszczyznach wyznaczonych przez osie układu), to można znaleźć takie 3 wersory, wyznaczające 3 płaszczyzny, na których wektory naprężeń są prostopadłe do tych płaszczyzn (nie występują na nich naprężenia styczne) a ich wielkości są ekstremalne (naprężenia główne) a układ współrzędnych wyznaczonych przez te wersory nazywa się układem osi głównych naprężeń

13 MC-2010 Przy wyznaczaniu trzeba pamiętac, że tylko dwa spośród 3. równań są niezależne liniowo a brakujące równanie zastępuje związek: stwierdzający, że wektory są wersorami (wektorami o jednostkowej długości). Można wykazać, że są ekstremalnymi wartościami naprężeń normalnych (wyrazów na przekątnej głównej macierzy naprężeń) i zwykle porządkuje się je w następującej kolejności: Na odcinkach o długości równej tym modułom można zbudować elipsoidę, wewnątrz której znajdują się wszystkie możliwe wektory naprężeń występujące w danym punkcie przy zadanym obciążeniu:

14 MC-2010 max Koła Mohra – są obrazem przestrzennego stanu naprężenia w punkcie – na płaszczyźnie naprężeń normalnych i stycznych 0

15 MC-2010 Rozkład przestrzenny naprężeń Na powierzchni ciała wektor naprężenia jest znany: Naprężenia na powierzchni ciała Współrzędne wersora normalnego do powierzchni Są to statyczne warunki brzegowe, które musi spełniać rozwiązanie równania: Równanie to (równanie Naviera) nosi nazwę równania równowagi wewnętrznej.

16 MC-2010 Rozkład przestrzenny naprężeń Jest to układ 3 rownań różniczkowych : cząstkowych, liniowych, jednorodnych. Równanie: we współrzędnych: Do wyznaczenia jest 6 nieznanych funkcji naprężęń, przy spełnieniu trzech warunków brzegowych w każdym punkcie powierzchni ciała: Konieczne jest więc znalezienie dalszych równań, pozwalających na wyznaczenie wszystkich składowych macierzy naprężeń jako fonkcji zmiennych przestrzennych x 1, x 2, x 3. (dla P i =0)

17 MC STAN ODKSZTAŁCENIA

18 MC-2010 A A Wektor przemieszczenia Przemieszczenie A A B B

19 MC-2010 Macierz odkształceń Odkształcenia dla małych pochodnych przemieszczeń Kątowe dla i j Liniowe dla i=j Macierz odkształceń - symetryczna wobec przyjętej definicji odkształceń.

20 MC-2010 x1x1 x2x2 x3x3 Obraz+ macierzy odkształceń

21 MC-2010 Wartości własne są ekstremalnymi odkształceniami liniowymi, na płaszczyznach, na których nie występują odkształcenia kątowe. Wyznaczane są one z równania charakterystycznego: gdzie I 1, I 2, I 3 są niezmiennikami macierzy odkształceń. Przy przejściu do innego układu współrzędnych za pomocą macierzy przejścia ij obowiązuje wzór: W osiach własnych macierz odkształceń ma postać diagonalną. Macierz odkształceń głównych

22 MC ZWIĄZKI FIZYCZNE – PRAWO Hookea

23 MC-2010 jest zależnością funkcyjną t.j. jedno-jednoznacznym przyporządkowaniem dwu zmiennych: siły i przemieszczenia, niezależnie od wcześniejszej historii obciążenia i sposobu przyłożenia siły (obciążenie – odciążenie) Sprężystość P u P u Po zdjęciu obciążenia ciało powraca do stanu wyjściowego. Materiał liniowo-sprężysty Materiał nieliniowo-sprężysty

24 MC-2010 Uogólnienie prawa Hookea polega na zastąpieniu wielkości wektorowych odnoszących się do całego ciała zmiennymi stanu (naprężenie, odkształcenie) zdefiniowanymi w każdym punkcie ciała. Uogólnione prawo Hookea Współczynniki w takim równaniu zależeć będą wyłącznie od własności materiału a nie od kształtu konstrukcji. Dla liniowego prawa Hookea funkcja f jest funkcją liniową, wiążącą 9 składowych macierzy naprężeń z 9 składowymi macierzy odkształceń. Liczba współczynników wynosi więc 81 i najwygodniej ją zapisać w postaci macierzy o 3 4 =81 składowych: Sumacja wszystkich składowych macierzy odkształceń po indeksach kl dla każdej składowej macierzy naprężeń odzwierciedla liniowy charakter związku fizycznego.

25 MC-2010 Uogólnione prawo Hookea Sumacja ! Delta Kroneckera stałe Lamé [Pa] Związki pomiędzy naprężeniami normalnymi i odkształceniami liniowymi Związki pomiędzy naprężeniami stycznymi i odkształceniami kątowymi

26 MC-2010 Sumacja ! Delta Kroneckera współczynnik Poissona [0] Związki pomiędzy naprężeniami normalnymi i odkształceniami liniowymi moduł Younga [Pa] Uogólnione prawo Hookea Związki pomiędzy naprężeniami stycznymi i odkształceniami kątowymi

27 MC-2010 Prawa zmiany objętości i postaci Prawo zmiany objętości Prawo zmiany postaci

28 MC ZADANIE BRZEGOWE TEORII SPRĘZYSTOŚCI

29 MC-2010 Zestawienie równań liniowej teorii sprężystości RN RC RH SWB KWB Układ równań (RN, RC, RH) jest układem 15 liniowych równań różniczkowo- algebraicznych – i jest taki sam dla każdego zadania (za wyjątkiem stałych materiałowych w RH). Zróżnicowanie zadań polega na sformułowaniu warunków brzegowych, które zawierają: kształat ciała( νj ), obciążenie ( q νi ), oraz warunki podparcia (przemieszczenia lub/i ich pochodne na brzegu ciała). Stąd nazwa: ZADANIE BRZEGOWE TEORII SPRĘŻYSTOŚCI.,

30 MC-2010 Hipotezy de Saint-Venanta i Bernoulliego 1. Hipoteza dSV: W punktach ciała dostatecznie odległych od miejsca przyłożenia obciazenia rozkład naprężeń i odkształceń nie zależy od sposobu przyłożenia tego obciążenia – pod warunkiem, że są one statycznie równoważne Pozwala ona na uogólnienie rozwiązania ZB TS na różne przypadki obciążenia (różne Statyczne Warunki Brzegowe), w wyniku czego otrzymujemy komplet rozwiązania w postaci naprężeń, odkształceń i przemieszczeń. Rozwiązanie zadania brzegowego TS z uwzględnieniem hipotezy dSV uwalnia nas od posługiwania się pojęciem przypadków wytrzymałościowych Przykładem zastosowania zasady dSV jest przypadek swobodnego skręcania pręta pryzmatycznego, który pokazuje, że przekroje płaskie po przyłożenia obciążenia nie zawsze takimi pozostają.

31 MC-2010 Hipotezy de Saint-Venanta i Bernoulliego 2. Hipoteza B: Przekroje poprzeczne pręta płaskie przed przyłożeniem obciążenia pozostają płaskie także po jego przyłożeniu Pozwala ona (szczególnych przypadków redukcji sił przekrojowych) na założenie - dla poszczególnych przypadków wytrzymałościowych - przemieszczeń przekroju poprzecznego pręta i na tej podstawie wyznaczenie odkształceń a następnie naprężeń. Wyznaczenie przemieszczeń wymaga uwzględnienia kinematycznych warunków brzegowych. Hipoteza B pozwala na określenie naprężeń i odkształceń w dowolnym przekroju pręta bez potrzeby uciekania się każdorazowo do rozwiązywania skomplikowanego zadania brzegowego TS. Hipotezę B stosuje się do podstawowych przypadków wytrzymałościowych: rozciąganie skręcanie a także ścinanie – przy odpowiednich ograniczeniach co do geometrii pręta (pręt pryzmatyczny, o długości znacznie większej niż wymiary poprzeczne)


Pobierz ppt "MC-2010 INFORMACJA! Udostępniane materiały pomocnicze do nauki przedmiotu Wytrzymałość Materiałów są przeznaczone w pierwszym rzędzie dla wykładowców."

Podobne prezentacje


Reklamy Google