Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA Biomechanika przepływów.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA Biomechanika przepływów."— Zapis prezentacji:

1 WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA Biomechanika przepływów

2 x1x1 x2x2 x3x3 S ΔSΔS B ΔFΔF n Rozważmy ciało B w danej chwili czasu t Wyodrębnijmy zamkniętą powierzchnię S wewnątrz obszaru ciała B. Wyodrębnijmy zamkniętą powierzchnię S wewnątrz obszaru ciała B. Jakie jest oddziaływanie materiału części zewnętrznej na materiał ograniczony powierzchnią S? Jakie jest oddziaływanie materiału części zewnętrznej na materiał ograniczony powierzchnią S? Podstawowa Koncepcja Mechaniki Ośrodków Ciągłych Podstawowa Koncepcja Mechaniki Ośrodków Ciągłych Zasada naprężeń Eulera i Cauchy`ego Rozpatrzmy nieskończenie mały element na powierzchni S ΔS. Można poprowadzić jednostkowy wektor n normalny do ΔS skierowany na zewnątrz powierzchni S. Rozpatrzmy nieskończenie mały element na powierzchni S ΔS. Można poprowadzić jednostkowy wektor n normalny do ΔS skierowany na zewnątrz powierzchni S. Możemy teraz rozróżnić dwie strony ΔS w stosunku do wektora n WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA

3 Rozpatrzymy materiał leżący po dodatniej stronie normalnej zewnętrznej. Materiał ten wywiera siłę ΔF na przyległą część leżącą po ujemnej stronie normalnej zewnętrznej. Rozpatrzymy materiał leżący po dodatniej stronie normalnej zewnętrznej. Materiał ten wywiera siłę ΔF na przyległą część leżącą po ujemnej stronie normalnej zewnętrznej. Siła ΔF jest punkcją pola elementu powierzchniowego ΔS oraz jego orientacji na powierzchni S. Założymy że gdy to oraz że moment sił działających na element powierzchniowy ΔS względem dowolnego punktu tego elementu znika oraz że moment sił działających na element powierzchniowy ΔS względem dowolnego punktu tego elementu znika Graniczny wektor możemy zapisać w postaci: wektor naprężenia przedstawia on siłę przypadająca na jednostkę powierzchni (N/m 2 ) (Pa) przedstawia on siłę przypadająca na jednostkę powierzchni (N/m 2 ) (Pa) wskaźnik n oznacza kierunek normalnej zewnętrznej wskaźnik n oznacza kierunek normalnej zewnętrznej WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA

4 Stwierdzenie, że na dowolnej, myślowo poprowadzonej powierzchni S wewnątrz danego kontinuum istnieje wektorowe pole naprężeń, którego działanie na materiał zawarty we wnętrzu S jest równoznaczne z oddziaływaniem przyległego materiału zewnętrznego stanowi zasadę naprężeń EULERA i CAUCHY`EGO Stwierdzenie, że na dowolnej, myślowo poprowadzonej powierzchni S wewnątrz danego kontinuum istnieje wektorowe pole naprężeń, którego działanie na materiał zawarty we wnętrzu S jest równoznaczne z oddziaływaniem przyległego materiału zewnętrznego stanowi zasadę naprężeń EULERA i CAUCHY`EGO Rozpatrzmy przypadek szczególny, gdy element ΔS jest równoległy do jednej z płaszczyzn współrzędnych. Rozpatrzmy przypadek szczególny, gdy element ΔS jest równoległy do jednej z płaszczyzn współrzędnych. xkxk ΔSkΔSk n Normalna zewnętrzna jest skierowana w dodatnim kierunku osi x k Normalna zewnętrzna jest skierowana w dodatnim kierunku osi x k oznacza wektor naprężenia którego trzy składowe są odpowiednio równe: oznacza wektor naprężenia którego trzy składowe są odpowiednio równe: kierunek osi płaszczyzna prostopadła WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA

5 W tak zdefiniowanym przypadku szczególnym wprowadzić można nowy układ oznaczeń dla składowych stanu naprężenia: W tak zdefiniowanym przypadku szczególnym wprowadzić można nowy układ oznaczeń dla składowych stanu naprężenia: 123 Pow. normalna do x 1 Pow. normalna do x 2 Pow. normalna do x 3 Składowe wektora naprężenia działające na elementarne pola k=1, k=2, k=3 można zapisać: WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA

6 Notację dobrze uwidacznia rys: x1x1 x2x2 x3x3 Składowe : zwane są naprężeniami normalnymi podczas gdy pozostałe składowe zwane są naprężeniami stycznymi podczas gdy pozostałe składowe zwane są naprężeniami stycznymi Istnieje wielka rozbieżność oznaczeń stanu naprężenia. Istnieje wielka rozbieżność oznaczeń stanu naprężenia. Najbardziej rozpowszechniony dla prostokątnego kartezjańskiego układu współrzędnych x,y,z: dla naprężeń normalnych WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA

7 Podstawowymi prawami mechaniki ciał wszelkiego rodzaju są równania Eulera, będące uogólnianiem praw ruchu Newtona dla punktów materialnych. Podstawowymi prawami mechaniki ciał wszelkiego rodzaju są równania Eulera, będące uogólnianiem praw ruchu Newtona dla punktów materialnych. Załóżmy że układ współrzędnych x 1, x 2, x 3 jest inercyjnym układem odniesienia. Cześć przestrzeni wypełnioną ciałem materialnym w chwili t oznaczmy jako B(t). Jako r oznaczmy promień wiodący pewnej cząsteczki względem początku układu. V będzie wektorem prędkości cząsteczki. Można wyznaczyć dwa wektory : Załóżmy że układ współrzędnych x 1, x 2, x 3 jest inercyjnym układem odniesienia. Cześć przestrzeni wypełnioną ciałem materialnym w chwili t oznaczmy jako B(t). Jako r oznaczmy promień wiodący pewnej cząsteczki względem początku układu. V będzie wektorem prędkości cząsteczki. Można wyznaczyć dwa wektory : gęstość materiału pęd ciała kręt ciała WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA

8 Prawa Newtona zastosowane przez Eulera do ośrodka ciągłego stwierdzają, że: zmiana pędu w czasie jest równa wypadkowej sile F przyłożonej do ciała zmiana krętu w czasie jest równa wypadkowemu momentowi L Zakładamy że wypadkowa siła i wypadkowy moment są dane w danym układzie odniesienia WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA

9 Na ciała materialne będące przedmiotem rozważań w mechanice ośrodków ciągłych działają dwa rodzaje sił: Na ciała materialne będące przedmiotem rozważań w mechanice ośrodków ciągłych działają dwa rodzaje sił: (1) siły masowe, działające na każdy element rozważanej objętości. (2) siły powierzchniowe lub naprężenia działające na elementy powierzchniowe. Przykładem sił masowych są: siła grawitacji i siły elektromagnetyczne, przykładem sił powierzchniowych – ciśnienia aerodynamiczne i nacisk wywołany stykiem dwóch ciał Przykładem sił masowych są: siła grawitacji i siły elektromagnetyczne, przykładem sił powierzchniowych – ciśnienia aerodynamiczne i nacisk wywołany stykiem dwóch ciał W polu grawitacyjnym: Siła powierzchniowa działająca na myślową powierzchnię we wnętrzu ciała jest wektorem naprężenia rozumianym w sensie zasady naprężeń Eulera i Cauchy`ego. Siła powierzchniowa działająca na myślową powierzchnię we wnętrzu ciała jest wektorem naprężenia rozumianym w sensie zasady naprężeń Eulera i Cauchy`ego. WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA

10 A więc całkowita siła działająca na materiał wypełniający obszar B ograniczony zamkniętą powierzchnią S wynosi: A więc całkowita siła działająca na materiał wypełniający obszar B ograniczony zamkniętą powierzchnią S wynosi: Moment sił względem początku układu wynosi: WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA

11 Wzór Cauchy`ego Można wykazać, że zając składowe τ ij, można natychmiast wyznaczyć wektor naprężenia działający na dowolnej powierzchni o jednostkowej normalnej n, której składowe są odpowiednio równe n 1, n 2, n 3. Składowe wektora określa wzór Cauchy`ego: Można wykazać, że zając składowe τ ij, można natychmiast wyznaczyć wektor naprężenia działający na dowolnej powierzchni o jednostkowej normalnej n, której składowe są odpowiednio równe n 1, n 2, n 3. Składowe wektora określa wzór Cauchy`ego: gdzie jest tensorem naprężenia WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA

12 Równania równowagi Podstawowe równania ruchu mogą być przekształcone w równania różniczkowe Rozważmy sobie stan równowagi statycznej nieskończenie małego prostopadłościanu o ściankach równoległych do płaszczyzn współrzędnych. Rozważmy sobie stan równowagi statycznej nieskończenie małego prostopadłościanu o ściankach równoległych do płaszczyzn współrzędnych. siła na lewej ścianie pionowej: siła na prawej ścianie pionowej: Wynika to z założenia ciągłości pola naprężeń !!!!! Siła masowa: WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA

13 Warunek równowagi wymaga aby całkowita siła wypadkowa była równa 0. Dla kierunku x 1 dzieląc obie strony równania przez dx 1 dx 2 dx 3 otrzymamy: i dla reszty składowych: WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA

14 Cały układ równań daje się zapisać w sposób zwięzły w postaci: dla j = 1,2,3 i = 1,2,3 Drugim warunkiem równowagi jest zanikanie wypadkowego momentu względem dowolnego punktu. Jeśli nie istnieją momenty sił zewnętrznych proporcjonalne do objętości, to warunek równowagi prowadzi do ważnego wniosku, iż tensor naprężenia jest tensorem symetrycznym Drugim warunkiem równowagi jest zanikanie wypadkowego momentu względem dowolnego punktu. Jeśli nie istnieją momenty sił zewnętrznych proporcjonalne do objętości, to warunek równowagi prowadzi do ważnego wniosku, iż tensor naprężenia jest tensorem symetrycznym WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA

15 Przekształcenia współrzędnych x1x1 x2x2 x3x3 x1x1 x2x2 x3x3 x1`x1` x2`x2` x3`x3` Określiliśmy składowe stanu naprężenia τ ij w prostokątnym układzie współrzędnych x 1, x 2, x 3 Rozpatrzmy teraz drugi prostokątny układ współrzędnych x 1 `, x 2 `, x 3 ` o tym samym początku ale inaczej zorientowany w przestrzeni. Jakie będą składowe stanu naprężenia w nowym układzie ? WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA

16 Niech nowe współrzędne zależą liniowo od starych przez związki: k = 1,2,3 cosinusy kierunkowe osi x k ` względem osi x i Siła działająca na jednostkę pola powierzchni dS o normalnej n jest wektorem o składowych: WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA

17 Jeżeli n jest równoległa do osi x k `, tak że to: Składowa wektora w kierunku osi x m ` jest równa iloczynowi przez β mi Stąd składowa stanu naprężenia transformuje się zgodnie z tensorowym prawem transformacyjnym : Stąd składowa stanu naprężenia transformuje się zgodnie z tensorowym prawem transformacyjnym : ( zapis w konwencji sumacyjnej) WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA


Pobierz ppt "WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA Biomechanika przepływów."

Podobne prezentacje


Reklamy Google