Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

WM2_06/1 INFORMACJA! Udostępniane materiały pomocnicze do nauki przedmiotu Wytrzymałość Materiałów są przeznaczone w pierwszym rzędzie dla wykładowców.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "WM2_06/1 INFORMACJA! Udostępniane materiały pomocnicze do nauki przedmiotu Wytrzymałość Materiałów są przeznaczone w pierwszym rzędzie dla wykładowców."— Zapis prezentacji:

1 WM2_06/1 INFORMACJA! Udostępniane materiały pomocnicze do nauki przedmiotu Wytrzymałość Materiałów są przeznaczone w pierwszym rzędzie dla wykładowców. Dla właściwego ich wykorzystania konieczny jest komentarz osoby rozumiejącej treści zawarte w prezentacjach. Dla studentów jest to tylko materiał uzupełniający do studiów w bezpośrednim kontakcie z prowadzącymi, a także ułatwiający zrozumienie treści podręczników. Przedstawiana wersja jest pierwszą edycją wykładów przeprowadzonych w roku ak. 2009/10 i wymagać może poprawek i uzupełnień. Pobierający te materiały proszeni są o przesyłanie swoich uwag na adres owy autora:

2 WM2_06/2 UGIĘCIA ZGINANEJ BELKI RÓŻNICZKOWE RÓWNANIE UGIĘTEJ OSI BELKI

3 WM2_06/3 z w z x Geometria ugięcia osi belki 1. Definicja odkształcenia: 2. Z rysunku: 5. Hipoteza płaskich przekrojów 4. Odkształcenie liniowe 3. Z podstawienia 2 do 1 MyMy MyMy

4 WM2_06/4 Naprężenia normalne i krzywizna osi przy zginaniu 1. Odkształcenie liniowe 2. Z prawa Hookea 3. Naprężenie normalne przy zginaniu 4. Z porównania 2 i 3: 5. Krzywizna pręta

5 WM2_06/5 Równanie różniczkowe ugiętej osi belki 1. Związek krzywizny i momentu: 2. Wzór na krzywiznę krzywej: 3. Równanie różniczkowe dla wyznaczenia ugięć osi belki w(x)

6 WM2_06/6 Znakowanie w równaniu ugiętej osi belki Znakowanie w(x), w(x) i w(x) zależy od wyboru układu osi x i w oraz ich zwrotów: w(x) x w >0, w >0 w(x) x w >0, w <0 w(x) x w >0, w >0 w(x) x w >0, w <0

7 WM2_06/7 Znakowanie w równaniu ugiętej osi belki Niezależnie, znakowanie momentu M(x) wynika z przyjętej umowy (M jest dodatni gdy rozciąga spody) M>0 M<0

8 WM2_06/8 Znakowanie w równaniu ugiętej osi belki Przyjmiemy umowę, że zachowując przyjęte znakowanie momentów, równanie różniczkowe osi belki będziemy zapisywali w postaci: JEŚLI dodatni zwrot osi w będzie zgodny ze zwrotem dodatniego momentu t.j. będzie skierowany w stronę spodów: w(x) x Przyjęcie dodatniego zwrotu osi x nie ma wpływu na znak w pow. równaniu. Należy jednak pamiętać, że zmiana skrętności układu w,x powoduje zmianę znaku pierwszej pochodnej funkcji w(x). MyMy W przeciwnym przypadku w równaniu należy przyjąć znak +.

9 WM2_06/9 Całkowanie równania ugiętej osi belki Dla belki z jednym przedziałem charakterystycznym wyznaczenie ugięcia osi belki i obrotu przekroju poprzecznego pręta (por. rys.), wymaga dwukrotnego scałkowania równania różniczkowego: Jednokrotne scałkowanie określa nachylenie stycznej do osi ugiętej belki (a więc obrót przekroju poprzecznego) Ponowne scałkowanie daje w wyniku ugięcia belki: w(x) x w Dla wyznaczenia dwu stałych całkowania konieczne jest określenie dwu warunków brzegowych.

10 WM2_06/10 Całkowanie równania ugiętej osi belki Dla wyznaczenia dwu stałych całkowania: C i D trzeba ustalić dwa warunki brzegowe wynikające z podparcia belki w sposób zapewniający jej geometryczną niezmienność w płaszczyźnie rysunku, np: w =0 A B UWAGA: ponieważ nie uwzględniamy wpływu sil podłużnych na ugięcia, 3 przypadki w wierszu A i 3 przypadki w wierszu B są sobie równoważne (mimo, że niektóre belki są chwiejne lub statyczne niewyznaczalne!)

11 WM2_06/11 Całkowanie równania ugiętej osi belki W przypadku gdy równanie momentu nie da się zapisać w sposób analityczny jednym równaniem dla całej belki i musi być zapisywane w przedziałach charakterystycznych, dla każdego z tych przedziałów trzeba zapisać równanie różniczkowe ugięć (oznaczając ugięcia odpowiednim indeksem) i dokonać dwukrotnego całkowania w każdym przedziale. W rezultacie otrzymujemy 2n stałych całkowania (gdzie n oznacza liczbę przedziałów charakterystycznych) i trzeba ułożyć 2n-2 (2 warunki mamy z warunków podparcia belki) dodatkowych warunków zszycia na brzegach sąsiednich przedziałów charakterystycznych. W wyniku takiego postępowania otrzymujemy układ 2n algebraicznych równań liniowych dla wyznaczenia 2n stałych całkowania. Procedura ta jest uciążliwa i warta zastosowania tylko wtedy, gdy chcemy mieć równanie linii ugięcia dla całej belki (pozwala to na analityczne wyznaczenie maksymalnych ugięć i miejsca ich występowania.

12 WM2_06/12 Całkowanie równania ugiętej osi belki Ilustracja wykorzystania warunków brzegowych i warunków zszycia n w1=w2w1=w2 w 1 = w 2 w2=w3w2=w3 w 6 =0 w4=w5w4=w5 w5=w6w5=w6 w 2 = w 3 w 5 = w 6 w 3 = w 4 w3=w4w3=w4 w 1 =0 Całkowanie w przedziałach Zgodność pochodnych Zgodność przemieszczeń

13 WM2_06/13 UGIĘCIA ZGINANEJ BELKI METODA OBCIĄŻEŃ FIKCYJNYCH (MOHRA)

14 WM2_06/14 Statyka a ugięcia belek; podobieństwa formalne Zróżniczkujemy dwukrotnie związek wykorzystując związki M-Q-q Pierwsze zróżniczkowanie: Drugie zróżniczkowanie: Dwukrotne scałkowanie wyjściowego związku daje nam pozostałą pochodną w i samą wartość ugięć:

15 WM2_06/15 Statyka a ugięcia belek; podobieństwa formalne STATYKAUGIĘCIA Równanie to całkujemy wykorzystując definicje fizyczne wyznaczanych wielkości M(x) i Q(X) na podstawie znajomości q(x) i warunków podparcia (brzegowych). Czy nie można tej samej procedury zastosować i tutaj? ? ?

16 WM2_06/16 Statyka belki fikcyjnej a przemieszczenia belki rzeczywistej STATYKA Przestrzeń fikcyjna UGIĘCIA Przestrzeń rzeczywista J E Ś L I T O w R ( x ) M F ( x ), w R Q F ( x ) C F = C R, D F =D R

17 WM2_06/17 Dobór obciążenia i schematu belki fikcyjnej w R ( x ) M F ( x ), w R Q F ( x ) Spełnienie warunku C F = C R, D F =D R oznacza, że jedynym obciążeniem belki fikcyjnej będzie obciążenie ciągłe o wymiarze [Nm/(Nm -2 m 4 )]=[ m -1 ] rozłożone na belce tak jak przebieg wykresu momentów dla belki rzeczywistej. Wykresy momentów i sił poprzecznych od takiego obciążenia nie mogą więc zawierać nieciągłości (nie ma obciążenia w postaci skupionych momentów czy sił). [1/m] Spełnienie warunków polega na dobraniu podpór belki fikcyjnej tak, aby w charakterystycznych punktach były spełnione związki I tak, jeśli w jakimś punkcie belki rzeczywistej w R =0, to na belce fikcyjnej musi być w tym punkcie M F =0. Podobnie jeśli w R =0 to i Q F =0 itd. Podstawowym warunkiem wykorzystania analogii Mohra jest aby zmienna x w belce fikcyjnej miała taki sam zakres ważności jak w belce rzeczywistej ( 0 x R l, 0 x F l ).

18 WM2_06/18 Dobór schematów belek fikcyjnych Informacje o belce rzeczywistej Informacje o belce fikcyjnej Ugięcie w R Obrót w R Schemat belki rzeczywistej Moment M F Siła poprzeczna Q F Schemat belki fikcyjnej Przykład 1Przykład 2

19 WM2_06/19 Dobór schematów belek fikcyjnych Informacje o belce rzeczywistej Informacje o belce fikcyjnej Ugięcie w R Obrót w R Schemat belki rzeczywistej Moment M F Siła poprzeczna Q F Schemat belki fikcyjnej Przykład 3Przykład 4

20 WM2_06/20 ZamocowanieWolny koniecPodpora przegubowaPrzegub BELKA RZECZYWISTA BELKA FIKCYJNA

21 WM2_06/21 Wykres momentów (z zastosowaniem SUPERPOZYCJI)

22 WM2_06/22 Belka rzeczywista Wykres momentów dla belki rzeczywistej. Obciążenie belki fikcyjnej Korekta zwrotu obc. fikcyjnego Statyka – ale obciążenie skomplikowane!!! Sposób niezwykle pracochłonny!!! Wykres momentów dla belki fikcyjnej = wykres ugięć belki rzeczywistej

23 WM2_06/23 Zastosowanie metody Mohra dla wyznaczania ugięć i kątów obrotu przekroju w wybranych punktach l a w x EJ B A Pa Momenty od obc. fikcyjnego: M B F =w B = 2a/3a/3 Pa/EJ)(1/2)a l-a/3 wA=wA= wB=wB= wA=wA= wB=wB= M A F =w A = Q A F =Q B F =w A =w B = Siły poprzeczne od obc. fikcyjnego: Pa/EJ)(1/2)a(2a/3)=Pa 3 /3EJ Pa/EJ)(1/2)a[l-a/3]= Pa 2 /2EJ[l-a/3] Pa/EJ)(1/2)a= Pa 2 /2EJ Pa 3 /3EJPa 2 /2EJ Pa 2 /2EJ[l-a/3]Pa 2 /2EJ Prosta Parabola 3-go stopnia P Pa/EJ w

24 WM2_06/24 Zastosowanie metody Mohra dla wyznaczania ugięć i kątów obrotu przekroju w wybranych punktach B w x EJ A P a Pl Moment od obc. fikcyjnego: M B F =w B = l/3 2l/3 Pl/EJ)(1/2)l wB=wB= wB=wB= Q A F =Q B F =w A =w B = Siły poprzeczne od obc. fikcyjnego: Pl/EJ)(1/2)l[2l/3]= Pl 3 /3EJ Pl/EJ)(1/2)l= Pl 2 /2EJ w Parabola 3-go stopnia a = l P Pl 3 /3EJ Pl/EJ

25 WM2_06/25 Wzory dla wyznaczania powierzchni i środkow ciężkości obciążeń ciągłych Parabola n-tego stopnia Pozioma styczna a b c A= ab/(n+1) Powierzchnia: Położenie środka ciężkości: c= b/(n+2) Anc 0123…0123… ab ab/2 ab/3 ab/4 … b/2 b/3 b/4 b/5 …

26 WM2_06/26 Ugięcia belek o zmiennej sztywności Punkt zmiany sztywności jest punktem charakterystycznym! Jeśli EJ zmienia się po długości belki tj. EJ(x), to równanie różniczkowe ugięć przyjmuje postać

27 WM2_06/27 Przykład analizy ugięć belki o zmiennej sztywności EJ 2 Pa 2 /EJ 2 Pa 2 /EJ 1 wK=wK= Pl 3 /3EJ x l {Pl/EJ 2 } {1-J 2 /J 1 } w K = ? Pl Pl/EJ 2 x EJ l P K w Pl Pl/EJ 1 Pl/EJ 2 LUB… EJ 2 {Pa 2 /EJ 2 } {1-J 2 /J 1 } {Pl/EJ 2 } {1-J 2 /J 1 } EJ 1 K w P a1a1 a2a2 > EJ 2 a1a1 {P(l-a 2 )/a 1 } {1-J 2 /J 1 } {Pa 2 } {1-J 2 /J 1 } Pl/EJ


Pobierz ppt "WM2_06/1 INFORMACJA! Udostępniane materiały pomocnicze do nauki przedmiotu Wytrzymałość Materiałów są przeznaczone w pierwszym rzędzie dla wykładowców."

Podobne prezentacje


Reklamy Google