Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

WYKŁAD 4 : RÓWNANIA KONSTYTUTYWNE Biomechanika przepływów.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "WYKŁAD 4 : RÓWNANIA KONSTYTUTYWNE Biomechanika przepływów."— Zapis prezentacji:

1 WYKŁAD 4 : RÓWNANIA KONSTYTUTYWNE Biomechanika przepływów

2 WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne Właściwości materiałów opisywane są za pomocą Równań Konstytutywnych Ogólnie rzecz ujmując podają one relacje pomiędzy tensorem naprężeń a tensorem odkształceń w danym ciele. Ogólnie rzecz ujmując podają one relacje pomiędzy tensorem naprężeń a tensorem odkształceń w danym ciele. W przyrodzie występuje ogromna liczba materiałów, których właściwości opisywane są równie ogromną liczbą równań konstytutywnych. W przyrodzie występuje ogromna liczba materiałów, których właściwości opisywane są równie ogromną liczbą równań konstytutywnych. Okazuje się jednak że trzy wyidealizowane relacje naprężenia – odkształcenia tj.: Lepki płyn Newtonowski Płyn nielepki Elastyczne ciało Hooka w bardzo dobry sposób opisują mechaniczne właściwości wielu materiałów. Niestety materiały biologiczne nie mogą być opisywane za pomocą tych relacji… Okazuje się jednak że trzy wyidealizowane relacje naprężenia – odkształcenia tj.: Lepki płyn Newtonowski Płyn nielepki Elastyczne ciało Hooka w bardzo dobry sposób opisują mechaniczne właściwości wielu materiałów. Niestety materiały biologiczne nie mogą być opisywane za pomocą tych relacji… Równania konstytutywne opisują fizyczne własności materiałów, z tego powodu muszą być niezależne od wyboru układu odniesienia. Równania konstytutywne muszą być więc równaniami tensorowymi: każdy element równania musi być tensorem Równania konstytutywne opisują fizyczne własności materiałów, z tego powodu muszą być niezależne od wyboru układu odniesienia. Równania konstytutywne muszą być więc równaniami tensorowymi: każdy element równania musi być tensorem

3 WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne PŁYN NIELEPKI Dla płynu nielepkiego tensor naprężeń przybiera postać: delta Kroneckera skalar zwany ciśnieniem Ciśnienie p jest dla gazu idealnego związane z gęstością i temperaturą przez równanie stanu: Ciśnienie p jest dla gazu idealnego związane z gęstością i temperaturą przez równanie stanu: stała gazowa Dla gazów rzeczywistych równanie to jest bardziej skomplikowane ale osiągalne: Dla gazów rzeczywistych równanie to jest bardziej skomplikowane ale osiągalne:

4 WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne przypomnijmy że równanie ruchu dla ośrodka ciągłego : równanie ruchu Eulera jeżeli podstawimy wyrażenie na naprężenia korzystając z równania konstytutywnego:

5 WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne PŁYN LEPKI NEWTONOWSKI Płyn Newtonowski lepki to taki dla którego naprężenia ścinające są liniowo proporcjonalne do szybkości odkształcenia. Płyn Newtonowski lepki to taki dla którego naprężenia ścinające są liniowo proporcjonalne do szybkości odkształcenia. Równanie konstytutywne przybiera postać: tensor naprężenia tensor szybkości odkształcenia ciśnienie statyczne tensor współczynników lepkości płynu tensor współczynników lepkości płynu

6 WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne dla płynów Newtonowskich zakładamy, że elementy tensora mogą zależeć od temperatury ale nie mogą zależeć od naprężeń i od szybkości deformacji. Jest to tensor rzędu 4 a więc ma 3 4 =81 elementów. Nie wszystkie elementy są niezależne. dla płynów Newtonowskich zakładamy, że elementy tensora mogą zależeć od temperatury ale nie mogą zależeć od naprężeń i od szybkości deformacji. Jest to tensor rzędu 4 a więc ma 3 4 =81 elementów. Nie wszystkie elementy są niezależne. Jeżeli założymy, że tensor D ijkl jest izotropowy to może być przedstawiony jako suma dwóch niezależnych stałych λ i μ : Jeżeli założymy, że tensor D ijkl jest izotropowy to może być przedstawiony jako suma dwóch niezależnych stałych λ i μ :

7 WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne Podstawiając to wyrażenie do równania na tensor naprężeń otrzymujemy: jest to izotropowe równanie konstytutywne materiał który je spełnia musi być materiałem izotropowym jest to izotropowe równanie konstytutywne materiał który je spełnia musi być materiałem izotropowym Dla izotropowego płynu Newtonowskiego równanie to można uprościć:

8 WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne Jeżeli założymy że średnie naprężenia normalne 1/3 σ kk są niezależne od szybkości deformacji V kk to musimy przyjąć iż: Jeżeli założymy że średnie naprężenia normalne 1/3 σ kk są niezależne od szybkości deformacji V kk to musimy przyjąć iż: i równanie konstytutywne przybiera postać: równanie to wyprowadził George G. Stokes płyny je spełniające noszą nazwę płynów Stokesa

9 WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne Jeżeli płyn jest nieściśliwy to V kk = 0 i otrzymujemy równanie konstytutywne dla nieściśliwych płynów lepkich: Jeżeli płyn jest nieściśliwy to V kk = 0 i otrzymujemy równanie konstytutywne dla nieściśliwych płynów lepkich: a przy zerowej lepkości otrzymujemy: po podstawieniu do równania Eulera i odpowiednich przekształceniach otrzymamy równanie N-S po podstawieniu do równania Eulera i odpowiednich przekształceniach otrzymamy równanie N-S

10 WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne w równaniach tych występuje jedna stała fizyczna opisująca cechy materiału – współczynnik lepkości μ w równaniach tych występuje jedna stała fizyczna opisująca cechy materiału – współczynnik lepkości μ Newton zaproponował następującą relację naprężenie styczne Jednostką lepkości w systemie SI jest [N*s/ m 2 ]

11 WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne Ciało elastyczne Hooka Jest to ciało spełniające prawo Hooka które głosi iż tensor naprężeń jest liniowo proporcjonalny do tensora odkształcenia: Jest to ciało spełniające prawo Hooka które głosi iż tensor naprężeń jest liniowo proporcjonalny do tensora odkształcenia: tensor naprężenia tensor odkształcenia jeżeli przemieszczenie jest nieskończenie małe to: jeżeli przemieszczenie jest nieskończenie małe to: jeżeli jest skończone to e ij jest tensorem przemieszczeń Almansiego jeżeli jest skończone to e ij jest tensorem przemieszczeń Almansiego tensor stałych sprężystych lub modułów materiału tensor stałych sprężystych lub modułów materiału

12 WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne Jest to tensor rzędu 4 a więc ma 3 4 =81 elementów. Dla ciał sprężyście izotropowych liczba niezależnych elementów tensora C redukuje się do 2 a więc uogólnione prawo Hooka można zapisać w postaci: stałe λ i G są zwane stałymi Lamego

13 WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne Dla kartezjańskiego układu współrzędnych równanie można rozpisać w postaci: albo w formie odwrotnej:

14 WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne w równaniach tych pojawiają się stałe E, ν. Stała E nosi nazwę modułu Younga natomiast stała ν nosi nazwę liczby Poissona. (Liczby te charakteryzują właściwości materiałów) w równaniach tych pojawiają się stałe E, ν. Stała E nosi nazwę modułu Younga natomiast stała ν nosi nazwę liczby Poissona. (Liczby te charakteryzują właściwości materiałów)

15 WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne Należy pamiętać że Lepki płyn Newtonowski, Płyn nielepki i Elastyczne ciało Hooka są tylko wyidealizowanymi modelami i żaden materiał nie zachowuje się w pełni zgodnie z przedstawionymi relacjami. Oczywiście w pewnych zakresach temperatury, naprężeń i odkształceń niektóre materiały spełniają te prawa. Należy pamiętać że Lepki płyn Newtonowski, Płyn nielepki i Elastyczne ciało Hooka są tylko wyidealizowanymi modelami i żaden materiał nie zachowuje się w pełni zgodnie z przedstawionymi relacjami. Oczywiście w pewnych zakresach temperatury, naprężeń i odkształceń niektóre materiały spełniają te prawa.


Pobierz ppt "WYKŁAD 4 : RÓWNANIA KONSTYTUTYWNE Biomechanika przepływów."

Podobne prezentacje


Reklamy Google