Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ Biomechanika przepływów.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ Biomechanika przepływów."— Zapis prezentacji:

1 WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ Biomechanika przepływów

2 Czym jest odkształcenie ? Jedną z metod podejścia jest traktowanie odkształcenia jako odwzorowanie pierwotnego stanu ciała na stan ciała odkształconego. Jedną z metod podejścia jest traktowanie odkształcenia jako odwzorowanie pierwotnego stanu ciała na stan ciała odkształconego. W Mechanice Ośrodków Ciągłych (MOC) konfiguracja ciała stałego opisana jest przez ciągły model matematyczny, którego punkty geometryczne identyfikuje się z położeniami cząstek materialnych danego ciała. Gdy takie ciało zmienia swą konfigurację wskutek pewnych oddziaływań fizycznych, zakładamy, że zmiana ta jest ciągła; znaczy to iż punkty będące sąsiadami przed odkształceniem pozostają sąsiadami i po odkształceniu. W Mechanice Ośrodków Ciągłych (MOC) konfiguracja ciała stałego opisana jest przez ciągły model matematyczny, którego punkty geometryczne identyfikuje się z położeniami cząstek materialnych danego ciała. Gdy takie ciało zmienia swą konfigurację wskutek pewnych oddziaływań fizycznych, zakładamy, że zmiana ta jest ciągła; znaczy to iż punkty będące sąsiadami przed odkształceniem pozostają sąsiadami i po odkształceniu. Pęknięcia które prowadzą do powstawania nowych powierzchni granicznych muszą być traktowane oddzielnie i wymagają oddzielnego opisu !!!! Pęknięcia które prowadzą do powstawania nowych powierzchni granicznych muszą być traktowane oddzielnie i wymagają oddzielnego opisu !!!! WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ

3 (a 1,a 2,a 3 ) Niech układ współrzędnych a 1, a 2, a 3 będzie tak wybrany, że punkt P w danej chwili czasu jest określony za pomocą współrzędnych a i. W następnym momencie ciało odkształca się. Niech układ współrzędnych a 1, a 2, a 3 będzie tak wybrany, że punkt P w danej chwili czasu jest określony za pomocą współrzędnych a i. W następnym momencie ciało odkształca się. Czyli przechodzi do nowej konfiguracji. Punkt P przechodzi do punktu Q ze współrzędnymi x i. względem nowego układu współrzędnych Czyli przechodzi do nowej konfiguracji. Punkt P przechodzi do punktu Q ze współrzędnymi x i. względem nowego układu współrzędnych (x 1,x 2,x 3 ) (w ogólności mogą być to układy krzywoliniowe) Założymy że, zmiana konfiguracji ciała jest ciągła oraz odwzorowanie punktu P na Q jest zależnością jednoznaczną. Założymy że, zmiana konfiguracji ciała jest ciągła oraz odwzorowanie punktu P na Q jest zależnością jednoznaczną. Prawo transformacji: (3.1) WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ

4 Jeśli P, P`, i P`` są punktami sąsiednimi tworzącymi trójkąt w konfiguracji pierwotnej i jeśli w wyniku odkształcenia przechodzą one w punkty Q, Q`, Q``, to zmiana powierzchni i kątów omawianego trójkąta jest całkowicie określona jeśli znamy zmiany długości boków trójkąta. Jeśli P, P`, i P`` są punktami sąsiednimi tworzącymi trójkąt w konfiguracji pierwotnej i jeśli w wyniku odkształcenia przechodzą one w punkty Q, Q`, Q``, to zmiana powierzchni i kątów omawianego trójkąta jest całkowicie określona jeśli znamy zmiany długości boków trójkąta. Odkształcenia ciała mają fizyczny związek z naprężeniami. Opis zmian odległości między dwoma dowolnymi punktami ciała jest kluczem do analizy odkształceń !!!! Odkształcenia ciała mają fizyczny związek z naprężeniami. Opis zmian odległości między dwoma dowolnymi punktami ciała jest kluczem do analizy odkształceń !!!! Rozważmy nieskończenie mały element liniowy łączący punkt P(a 1,a 2,a 3 ) z punktem P`(a 1 + da 1, a 2 + da 2, a 3 + da 3 ). Kwadrat długości ds 0 odcinaka PP` w konfiguracji pierwotnej jest dany przez zależność Pitagorasa ( przestrzeń jest Euklidesowa) Rozważmy nieskończenie mały element liniowy łączący punkt P(a 1,a 2,a 3 ) z punktem P`(a 1 + da 1, a 2 + da 2, a 3 + da 3 ). Kwadrat długości ds 0 odcinaka PP` w konfiguracji pierwotnej jest dany przez zależność Pitagorasa ( przestrzeń jest Euklidesowa) lub w notacji tensorowej gdzie a ij obliczone dla punktu P jest euklidesowym tensorem metrycznym dla układu współrzędnych a i gdzie a ij obliczone dla punktu P jest euklidesowym tensorem metrycznym dla układu współrzędnych a i WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ

5 Przypomnienie : ANALIZA TENSOROWA Oznaczenia i umowa sumacyjna W rachunku tensorowym szeroko stosuje się oznaczenia wskaźnikowe. Zbiór n zmiennych x 1, x 2,…,x n oznacza się zwykle x i, i=1,…,n. W rachunku tensorowym szeroko stosuje się oznaczenia wskaźnikowe. Zbiór n zmiennych x 1, x 2,…,x n oznacza się zwykle x i, i=1,…,n. Równanie płaszczyzny w przestrzeni 3-wymiarowej x 1,x 2,x 3 ma postać (a i, i p to stałe): Można to zapisać krócej: Jeszcze krótszy jest zapis przy użyciu tzw. konwencji sumacyjnej WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ

6 Konwencja ta brzmi : Powtórzenie jakiegokolwiek wskaźnika ( niezależnie czy jest to wskaźnik dolny czy górny) w pewnym wyrażeniu oznacza sumowanie względem tego wskaźnika w całym jego zakresie. Wskaźnik względem którego odbywa się sumowanie nosi nazwę wskaźnika niemego. Wskaźnik względem którego nie ma sumowania, nosi nazwę wskaźnika wolnego. Konwencja ta brzmi : Powtórzenie jakiegokolwiek wskaźnika ( niezależnie czy jest to wskaźnik dolny czy górny) w pewnym wyrażeniu oznacza sumowanie względem tego wskaźnika w całym jego zakresie. Wskaźnik względem którego odbywa się sumowanie nosi nazwę wskaźnika niemego. Wskaźnik względem którego nie ma sumowania, nosi nazwę wskaźnika wolnego. Koniec Przypomnienia : ANALIZA TENSOROWA Gdy punkty P i P` po odkształceniu przechodzą w punkty Q(x 1,x 2,x 3 ) i Q`(x 1 + dx 1, x 2 + dx 2, x 3 + dx 3 ) kwadrat długości ds n owego elementu QQ` wynosi: Gdy punkty P i P` po odkształceniu przechodzą w punkty Q(x 1,x 2,x 3 ) i Q`(x 1 + dx 1, x 2 + dx 2, x 3 + dx 3 ) kwadrat długości ds n owego elementu QQ` wynosi: albo korzystając z równań (3.1) odpowiednie przyrosty możemy wyznaczyć z: gdzie g ij obliczone dla punktu Q jest euklidesowym tensorem metrycznym dla układu współrzędnych x i gdzie g ij obliczone dla punktu Q jest euklidesowym tensorem metrycznym dla układu współrzędnych x i WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ

7 Czyli kwadraty długości odpowiednio wyniosą: Różnica między kwadratami długości elementów może być zapisana, po kilku zmianach wskaźników niemych jako: Różnica między kwadratami długości elementów może być zapisana, po kilku zmianach wskaźników niemych jako: albo: WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ

8 Określmy teraz tensor odkształcenia: tak, że (3.2) (3.3) WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ

9 Tensor odkształcenia (strain tensor) E ij został wprowadzony przez Greena i Sain-Venanta i nosi nazwę tensora odkształcenia Greena. Tensor odkształcenia (strain tensor) E ij został wprowadzony przez Greena i Sain-Venanta i nosi nazwę tensora odkształcenia Greena. Tensor odkształcenia (strain tensor) e ij został wprowadzony przez Cauchy`ego dla nieskończenie małych odkształceń oraz przez Almansiego i Hamela dla odkształceń skończonych i znany jest jako tensor odkształceń Almansiego. Przez analogię do terminologii stosowanej w hydrodynamice E ij jest często nazywany tensorem odkształcenia we współrzędnych Lagrangea, podczas gdy e ij nazywany jest tensorem odkształcenia we współrzędnych Eulera. Przez analogię do terminologii stosowanej w hydrodynamice E ij jest często nazywany tensorem odkształcenia we współrzędnych Lagrangea, podczas gdy e ij nazywany jest tensorem odkształcenia we współrzędnych Eulera. Tensory E ij i e ij są tensorami symetrycznymi to jest: WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ

10 Z równań (3.2) i (3.3) wynika fundamentalne stwierdzenia że, koniecznym i dostatecznym warunkiem na to by odkształcenie ciała było ruchem sztywnym ( to znaczy by składało się z translacji i obrotu bez zmian odległości między poszczególnymi cząstkami) jest, by wszystkie składowe tensora odkształcenia E ij lub e ij były równe zeru w całym obszarze ciała Z równań (3.2) i (3.3) wynika fundamentalne stwierdzenia że, koniecznym i dostatecznym warunkiem na to by odkształcenie ciała było ruchem sztywnym ( to znaczy by składało się z translacji i obrotu bez zmian odległości między poszczególnymi cząstkami) jest, by wszystkie składowe tensora odkształcenia E ij lub e ij były równe zeru w całym obszarze ciała W powyższym opisie wykorzystywaliśmy dwa układy współrzędnych a i i x i Istnieją dwa szczególnie korzystne sposoby wyboru współrzędnych: I.Używamy jednego i tego samego układu prostokątnych współrzędnych kartezjańskich zarówno dla pierwotnej konfiguracji jak też dla konfiguracji ciała odkształconego. I.Używamy jednego i tego samego układu prostokątnych współrzędnych kartezjańskich zarówno dla pierwotnej konfiguracji jak też dla konfiguracji ciała odkształconego. w tym przypadku tensor metryczny jest nadzwyczaj prosty: WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ

11 II. Zniekształcamy układ odniesienia w konfiguracji ciała odkształconego w taki sposób aby współrzędne x 1, x 2, x 3 danej cząsteczki miały te same wartości liczbowe jak w konfiguracji pierwotnej tj. a 1, a 2, a 3. II. Zniekształcamy układ odniesienia w konfiguracji ciała odkształconego w taki sposób aby współrzędne x 1, x 2, x 3 danej cząsteczki miały te same wartości liczbowe jak w konfiguracji pierwotnej tj. a 1, a 2, a 3. W tym przypadku: i równania (3.2) i (3.3) redukują się do postaci: Wszystkie informacje o odkształceniu są zawarte w zmianie tensora metrycznego przy przejściu od układu odniesienia dla konfiguracji pierwotnej do zniekształconego układu odniesienia dla konfiguracji końcowej. Tak wybrane współrzędne noszą nazwę współrzędnych unoszenia lub współrzędnych wewnętrznych. Wszystkie informacje o odkształceniu są zawarte w zmianie tensora metrycznego przy przejściu od układu odniesienia dla konfiguracji pierwotnej do zniekształconego układu odniesienia dla konfiguracji końcowej. Tak wybrane współrzędne noszą nazwę współrzędnych unoszenia lub współrzędnych wewnętrznych. WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ

12 Znaczenie poszczególnych składowych tensora odkształcenia. ( wybór I) Tensor odkształcenia w prostokątnych współrzędnych kartezjańskich Jeśli korzystamy z tego samego kartezjańskiego prostoliniowego i ortogonalnego układu współrzędnych do opisu zarówno konfiguracji pierwotnej jak też końcowej to: Jeśli korzystamy z tego samego kartezjańskiego prostoliniowego i ortogonalnego układu współrzędnych do opisu zarówno konfiguracji pierwotnej jak też końcowej to: a 1, x 1 a 2, x 2 a 3, x 3 (a 1, a 2, a 3 ) (x 1, x 2, x 3 ) Wprowadźmy wektor przemieszczenia u ze składowymi: Wprowadźmy wektor przemieszczenia u ze składowymi: wówczas: WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ

13 oraz tensory odkształcenia redukują się do prostej postaci: WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ

14 Podstawmy oznaczenia nieskrócone ( x, y, z zamiast x 1, x 2, x 3 oraz u, v, w zamiast u 1, u 2, u 3 ) Jeśli składowe przemieszczenia u i są takie, iż ich pierwsze pochodne są na tyle małe, że kwadraty i iloczyny pochodnych cząstkowych u i można zaniedbać wówczas e ij redukuje się do tensora nieskończenie małego odkształcenia Cauchy`ego Jeśli składowe przemieszczenia u i są takie, iż ich pierwsze pochodne są na tyle małe, że kwadraty i iloczyny pochodnych cząstkowych u i można zaniedbać wówczas e ij redukuje się do tensora nieskończenie małego odkształcenia Cauchy`ego W przypadku przemieszczeń nieskończenie małych znika różnica między tensorami odkształcenia Lagrange`a i Eulera W przypadku przemieszczeń nieskończenie małych znika różnica między tensorami odkształcenia Lagrange`a i Eulera WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ

15 Geometryczna interpretacja składowych nieskończenie małego odkształcenia Niech x, y, z będą współrzędnymi prostokątnego układu współrzędnych. Rozważmy element dx Zmiana kwadratu długości tego elementu wskutek odkształcenia wynosi rów. (3.2): Zmiana kwadratu długości tego elementu wskutek odkształcenia wynosi rów. (3.2): W tym szczególnym ds = dx a ds 0 różni się od ds tylko o nieskończenie małą wielkość drugiego rzędu. Stąd: W tym szczególnym ds = dx a ds 0 różni się od ds tylko o nieskończenie małą wielkość drugiego rzędu. Stąd: i przedstawia to wydłużenie względne WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ

16 Rozważmy nieskończenie mały element o bokach dx i dy. suma przedstawia zmianę konta xOy będącego pierwotnie katem prostym W praktyce inżynierskiej podwójne składowe odkształcenia e ij noszą nazwę odkształceń postaciowych W praktyce inżynierskiej podwójne składowe odkształcenia e ij noszą nazwę odkształceń postaciowych WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ

17 Przypadek 3 nosi nazwę odkształcenia czysto postaciowego Wielkość nosi nazwę elementarnego obrotu elementu dxdy. Nazwa tak ajest sugerowana przez przypadek 4 bo jeśli: nosi nazwę elementarnego obrotu elementu dxdy. Nazwa tak ajest sugerowana przez przypadek 4 bo jeśli: to i ω z jest istotnie katem obrotu elementu prostokątnego jako ciała sztywnego. i ω z jest istotnie katem obrotu elementu prostokątnego jako ciała sztywnego. WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ

18 Jeśli tensor odkształcenia znika w punkcie P, można dowieść, że dla pola nieskończenie małych odkształceń nieskończenie mały obrót otoczenia punktu P jako ciała sztywnego przedstawia wektor ω i Jeśli tensor odkształcenia znika w punkcie P, można dowieść, że dla pola nieskończenie małych odkształceń nieskończenie mały obrót otoczenia punktu P jako ciała sztywnego przedstawia wektor ω i Weźmy punkt P` z otoczenia punktu P. Niech współrzędne punku P i P` będą odpowiednio x i i x i + dx i. Przemieszczenie P` względem P wynosi: Weźmy punkt P` z otoczenia punktu P. Niech współrzędne punku P i P` będą odpowiednio x i i x i + dx i. Przemieszczenie P` względem P wynosi: (vorticity tensor) tensor obrotu (vorticity tensor) tensor obrotu WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ


Pobierz ppt "WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ Biomechanika przepływów."

Podobne prezentacje


Reklamy Google