Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Symulacje obliczeniowe: w technice: inżynieria obliczeniowa: modelowanie i symulacja zjawisk i urządzeń. badania i optymalizacji procesów produkcyjnych.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Symulacje obliczeniowe: w technice: inżynieria obliczeniowa: modelowanie i symulacja zjawisk i urządzeń. badania i optymalizacji procesów produkcyjnych."— Zapis prezentacji:

1 symulacje obliczeniowe: w technice: inżynieria obliczeniowa: modelowanie i symulacja zjawisk i urządzeń. badania i optymalizacji procesów produkcyjnych oraz produktów. w nauce: interpretacja i przewidywanie danych doświadczalnych, zrozumienie obserwacji, przewidywanie nowych zjawisk. Modelowanie naukowe/inżynieryjne: metody podobne, różnica w celu oraz obiekcie badań inżynierskie metody numeryczne D11/106, konsultacje: środy 8:30-10:00 cel przedmiotu: przygotowanie do pracy w zakresie numerycznego modelowania zjawisk i urządzeń stosowanego w zagadnieniach techniki (inżynierii) i nauki

2 Metody badani układów/zjawisk/urządzeń: 1)Metody teoretyczne (modele rozwiązywane ściśle - analityczne) ograniczone do prostych problemów (w nauce – te akurat są często najważniejsze) lub wyidealizowanych modeli. Idealizacja oparta na intuicji, które bywa błędna. 2)Badania doświadczalne nieodzowne i najważniejsze, ale drogie (i / lub czasochłonne) często same w sobie nie pozwalają na zrozumienie zjawiska przydatne wsparcie ze strony obliczeń ścisłych lub przybliżonych 3)Symulacje numeryczne pozwalają na rozwiązywanie dokładnych równań z kontrolowalną dokładnością często do wykonania taniej i szybciej niż badania doświadczalne pozwalają prześledzić wyniki w funkcji dowolnych parametrów – pełna informacja o możliwych do osiągnięcia własnościach

3 Tematyka wykładu: głównie rozwiązywanie równań różniczkowych: zwyczajnych i cząstkowych. Równania różniczkowe – opis zjawisk wprowadzony w XVIII / XIX w. Problemy rozwiązywalne analitycznie – nieliczne. [np. Równania dynamiki płynów znane od połowy XIX wieku Navier/Stokes - od stosunkowo niedawna są rozwiązywane poza najprostszymi przypadkami] Metody numeryczne – przybliżone i wydajne rozwiązania równań. -- równie stare jak same równania Metoda Eulera – XVIII w. Metody Rungego-Kutty, Galerkina – początek XX wieku. Kwadratury Newtona, Gaussa – stara historia (odkrycie Neptuna – połowa XIX wieku wynik symulacji numerycznej). Nowsza historia: szybka transformata Fouriera, iteracje wielosiatkowe, niejawne metody RK Stosowanie metod numerycznych – ograniczone i żmudne przed wynalezieniem komputerów.

4 Znaczenie modelowania numerycznego rosło i będzie rosło z rozwojem sprzętu... Rok FLOPS Pamięć 1949 EDSAC (lampowy) kB 1997 ASCI Red (symulator eksplozji jądrowych) GB 2002 NEC Earth Simulator (modelowanie klimatu) TB 2009 IBM Blue Gene / Q TB Rok Tempo rachunków 1970 Eliminacja Gaussa Metoda Gaussa-Seidla Nadrelaksacja Metoda gradientów sprzężonych1 k 1990 Metody wielosiatkowe5 k 2000+Siatka adaptowana 50 k oraz metod obliczeniowych (za M. Schaeferem, computational engineering)

5 Symulacja numeryczne Matematyka numeryczna Informatyka Fizyka/Chemia Dziedzina pochodzenia problemu (inżynieria/nauka) Symulacje numeryczne są ze swej natury interdyscyplinarne (matematyka, metody numeryczne, nauki ścisłe, konkretna dziedzina inżynierii / nauki + programowanie) - gdzie trzeba będę starał się podawać elementarną wiedzę z zakresu fizyki opisywanych zjawisk. Tylko w ujęciu inter – symulacje są użyteczne (interesujące)

6 Problem (naukowy/inżynieryjny) Dane doświadczalne, modele matematyczne Równania różniczkowe / warunki brzegowe Generacja siatki, dyskretyzacja (czasu / obszaru całkowania) Układy równań algebraicznych Algebraiczne algorytmy numeryczne ** programowanie *** Rozwiązanie numeryczne (milion liczb) *** Obróbka danych *** wartości użyteczne / mierzalne Przetworzona informacja *** Weryfikacja i korekta modelu Rozwiązanie Analiza i interpretacja * *wykład (FDM,FVM,FEM,BEM) ** wykład (ten lub KSN) *** laboratorium Miejsce numeryki w rozwiązywaniu problemów

7 Szczegółowy program wykładu: galaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/imn10/planw10.pdf Literatura: Press, Numerical Recipes (The art of scientific computing). Haupt, Practical Genetic Algorithms. Weinberger, A first course in partial differential equations. Koonin, Computational Physics. Solin, Partial Differential Equations and the Finite Element Method. Zienkiewicz, Finite Element Method, its basis & fundamentals. Lienhard, A Heat Transfer Textbook. Sabersky, Fluid flow : a first course in fluid mechanics. Quarteroni, Numerical mathematics. Trefethen, Finite difference and spectral methods for ordinary and partial differential equations. Cichoń, Metody Obliczeniowe. Sewell, The numerical solution of ordinary and partial differential equations. Evans, Numerical Methods for Partial Differential Equations R.Grzymkowski, A.Kapusta, I. Nowak, D. Słota, Metody Numeryczne, Zagadnienia Brzegowe Schafer, Computational Engineering, Introduction to Numerical Methods

8 Laboratorium: staramy się aby związek wykładu z laboratorium był bliski 1:1 Tematy (za treść odpowiedzialny – wykładowca) - na stronie Podane jest w tej chwili około 10 tematów – ich treść może się zmieniać, ale nie później niż 7 dni przed zajęciami laboratoryjnymi. 4 Grupy: Wtorek 14:30-17:30dr inż. Małgorzata Krawczyk Środa dr inż. Przemysław Gawroński Środa 14:30-17:30 dr inż. Krzysztof Malarz Środa dr inż. Maciej Wołoszyn

9 Ocena z laboratorium: Średnia arytmetyczna z aktywności i raportów. Aktywność: oceniana na podstawie wyników i źródeł przesłanych prowadzącemu pod koniec zajęć. Raporty: pełne, lecz możliwe krótkie opisy uzyskanych wyników. Ocena raportu: za kompletne i poprawne wyniki uzyskać można do 60% : za adekwatny komentarz wyników 20% : za sensowny, samodzielnie napisany i zwięzły wstęp oraz wnioski – po 10% (zwięzły znaczy – nie dłuższy niż 6 zdań). Raport należy przysłać prowadzącemu w terminie 14 dni (w semestrze zimowym 7 dni) od zakończenia zajęć. Raporty przysłane później nie będą punktowane.

10 Ocena z laboratorium: Student ma prawo do dwukrotnego poprawiania zajęć laboratoryjnych. -zamiast zajęć poprawkowych: anulujemy każdemu studentowi dwie najgorsze oceny z aktywności / raportu

11 Egzamin: pisemny (test), 5 zadań do rozwiązania. Przystąpić mogą osoby z zaliczonymi obydwoma semestrami lab. Ocena: 1/3 średniej z zaliczeń + 2/3 wyniku testu Dla potrzeb egzaminu średnia z zaliczeń policzona będzie z górnych widełek dla danej oceny: Regulamin AGH: 91 – 100% bardzo dobry (5.0); 81 – 90% plus dobry (4.5); 71 – 80% dobry (4.0); 61 – 70% plus dostateczny (3.5); 50 – 60% dostateczny (3.0); Przykład: osoba z dwoma czwórkami rozwiązuje 2 zadania na 5 1/3  80% + 2/3  40% >50 % Wniosek: dobre zaliczenie bardzo pomaga zdać egzamin ( )/2 = (70%+100%)/2 = 85%

12 Zwolnienie z egzaminu: Student, którego średnia z zaliczeń laboratoryjnych będzie odpowiadała 4.5 (>80%) - może zostać zwolniony z egzaminu [średnia z zaliczeń zostaje wpisana wtedy jako wynik egzaminu]: Pary ocen uprawniających do zwolnienia z egzaminu: → →

13 Zajęcia 1: algorytm kolonii mrówek Zajęcia 2: symulowane wygrzewanie ( Środki przeszkód do zadania 2). Zajęcia 3: wariacyjne MC z algorytmem Metropolisa dla równania Poissona Zajęcia 4: schematy jawne i niejawne dla rrz Zajęcia 5: ekstrapolacja Richardsona: szacowanie błędów i automatyczny dobór kroku czasowego Zajęcia 6: problemy sztywne Zajęcia 7: niejawne metody RK Zajęcia 8: problem brzegowy 1D, metoda Numerowa Zajęcia 9: iteracja wielosiatkowa dla równania Laplace'a Zajęcia 10: metody relaksacyjne Zajęcia 11: przepływ potencjalnyalgorytm kolonii mróweksymulowane wygrzewanie Środki przeszkód do zadania 2).wariacyjne MC z algorytmem Metropolisa dla równania Poissonaschematy jawne i niejawne dla rrzekstrapolacja Richardsona: szacowanie błędów i automatyczny dobór kroku czasowegoproblemy sztywneniejawne metody RKproblem brzegowy 1D, metoda Numerowaiteracja wielosiatkowa dla równania Laplace'ametody relaksacyjneprzepływ potencjalny Obecny plan laboratorium: Zanim dojdziemy do równań różniczkowych – mniej twarde rachunki, być może mniej ważne – ale nie mniej ciekawe niż główny wątek wykładu... Zaczynamy od mrówek...

14 optymalizacja kombinatoryczna – dla zmiennej dyskretnej Przykład: najkrótsza sieć (kanalizacyjna, energetyczna, światłowodowa) dla miast powiatowych województwa małopolskiego:

15 Przykład: najkrótsza sieć (kanalizacyjna, energetyczna, światłowodowa) dla miast powiatowych województwa małopolskiego: 31 Województwo zakodowane w postaci grafu – poszukiwane najkrótsze drzewo spinające. optymalizacja kombinatoryczna – dla zmiennej dyskretnej

16 Rozwiązanie: Przykład: najkrótsza sieć (kanalizacyjna, energetyczna, światłowodowa) dla miast powiatowych województwa małopolskiego: 31 Województwo zakodowane w postaci grafu – poszukiwane najkrótsze drzewo spinające. optymalizacja kombinatoryczna – dla zmiennej dyskretnej

17 Przykład: najkrótsza sieć (kanalizacyjna, energetyczna, światłowodowa) dla miast powiatowych województwa małopolskiego: 31 Województwo zakodowane w postaci grafu – poszukiwane najkrótsze drzewo spinające. rozwiązanie dane przez algorytm zachłanny Kruskula : tworzymy las dodając po kolei najkrótsze krawędzie tak aby nie utworzyć pętli: dostaniemy najlepsze rozwiązanie a. zachłanny: kieruje się regułą maksymalnego zysku w najbliższym kroku (w szachach sukcesów nie odnosi) Rozwiązanie: optymalizacja kombinatoryczna – dla zmiennej dyskretnej

18 G T NS L B K M NT S W C Limanowa-Nowy Sącz 31

19 G T NS L B K M NT S W C Wadowice-Chrzanów 31

20 Myślenice-Kraków G T NS L B K M NT S W C

21 Bochnia-Limanowa C G T NS L B K M NT S W

22 Wadowice-Myślenice G T NS L B K M NT S W C

23 B Nowy Sącz-Gorlice G T NS L K M NT S W C

24 G T NS L B K M NT S W C Kraków-Bochnia 31 bezpośrednie połączenie CK już się nie przyda

25 M-NT B-T G T NS L B K M NT S W C

26 Rozwiązanie: Algorytm zachłanny – skuteczny więc - problem najkrótszego drzewa spinającego jest łatwy. Złożoność dla najlepszej implementacji O(|V|log|V|), V – liczba wierzchołków

27 0) Oznacz wszystkie wierzchołki kolorem białym. Przypisz wierzchołkowi startowemu (A) wagę 0 1)Znajdź i zaczerń biały wierzchołek v o najmniejszej wadze 2)Dla każdego B - białego wierzchołka przyległego do v: jeśli waga B > waga v + waga krawędzi (v,B) lub jeśli waga B nie została wcześniej zdefiniowana waga B:=waga v + waga krawędzi (v,B) oraz ustaw etykietę B na v 3)Jeśli są jeszcze białe wierzchołki idź do 1 (złożoność V 2 ) Problem najkrótszej drogi z wierzchołka A do wszystkich pozostałych w grafie (przeszukiwanie grafu wszerz z oznaczaniem wierzchołków) Każda krawędź ma wagę (długość) – ustalone i definiujące problem Wierzchołkowi przypisujemy: Wagę: najkrótsza znaleziona odległość z wierzchołka A Kolor: biały oznacza, że waga tymczasowa, czarny, że ustalona (krócej nie będzie) Etykietę: którędy do A Wagi, kolory i etykiety wierzchołków zmieniają się w czasie działania algorytmu

28 1) Gorlice malujemy na czarno, miastom sąsiednim nadajemy wagi – odległości od Gorlic i indeks G. 2) Szukamy białego miasta o najmniejszej wadze i malujemy je na czarno (Nowy Sącz), wagę czarnego miasta ustalamy (mniejszej nie będzie) 3) sąsiedzi Nowego Sącza otrzymują próbne wagi i etykiety przykład: najkrótsze trasy z Gorlic do pozostałych miast G T NS L B K M NT S W C G 45 G G T NS L B K M NT S W C G 45 G G T NS L B K M NT S W C G 45 G 93 NS 59 NS

29 4) Najmniejszą wagę ma teraz Tarnów, 5) Następnie Limanowa G T NS L B K M NT S W C G 45 G 93 NS 59 NS 89 T 91 L ? 101 L do Bochni z Gorlic bliżej przez Tarnów niż przez Limanową 6) Bochnia do Myślenic jednak bliżej przez Limanową 7) Po Nowy Targu – Myślenice, z nich bliżej do Wadowic G T NS L B K M NT S W C G 45 G 93 NS 59 NS 89 T 101 L 131B 131B? G T NS L B K M NT S W C G 45 G 93 NS 59 NS 89 T

30 ostatecznie Np.: z Chrzanowa do Gorlic trafimy po etykietach

31 ostatecznie Np.: z Chrzanowa do Gorlic trafimy po etykietach Zamiast stosować algorytmu można zrobić model z nitek i koralików, potem naciągnąć koraliki oznaczające Chrzanów i Gorlice

32 Widzieliśmy, że dwa ważne problemy mają efektywne, deterministyczne, dokładne rozwiązanie Niektóre problemy są jednak obiektywnie trudne (nie istnieje algorytm o złożoności wielomianowej): wybór najkrótszej zamkniętej trasy przez wszystkie miasta (problem komiwojażera): -algorytm deterministyczny rozwiązujący problem dokładny z wielomianową złożonością nie istnieje, gdy problem o dużym rozmiarze należy rozwiązać – stosuje się podejścia heurystyczne lub Monte Carlo Algorytm zachłanny dla komiwojażera: ruszaj do najbliższego miasta, którego jeszcze nie odwiedziłeś. - rozsądny: wyeliminuje przynajmniej długie przejazdy bez zatrzymywania się Odwiedzić wszystkie miasta w cyklu zamkniętym w takiej kolejności aby pokonana trasa była najkrótsza. Klasyczny problem testowy dla algorytmów optymalizacyjnych

33 Rozwiązanie zachłanne: start ze Szczecina: Najlepsze PL: 46 miast Zachłanne rozwiązanie nie jest optymalne (choć nie najgorsze) Szukana jest permutacja - przejrzeć wszystkie N! - niewykonalne 46!= najlepszy algorytm dokładny: złożoność rzędu 2 N –lepiej niż N!, ale wciąż wiele 2 46 = Gdy problem zbyt trudny by go rozwiązać dokładnie przy pomocy algorytmu deterministycznego – można zadowolić się przybliżonym (heurystycznym) lub próbować je poprawić przy pomocy MC

34 Problem obiektywnie trudny = gdy najlepszy deterministyczny algorytm nie zakończy swojego działania w skończonym czasie  klasy złożoności obliczeniowej Problemy NP P NP-zupełne Problemy decyzyjne: z odpowiedzią tak/nie Schemat obowiązuje pod warunkiem że P  NP NP – można łatwo sprawdzić odpowiedź (w czasie wielomianowym) zadanie rozkładu na czynniki pierwsze liczby nieznany jest wielomianowy algorytm (na komputer klasyczny) ale jeśli ktoś nam poda odpowiedź  szybko sprawdzimy. P – problemy, dla których znane jest rozwiązanie o wielomianowej złożoności (nie ma dowodu, że P  NP.) NP – zupełne (najtrudniejsze) – można do nich sprowadzić dowolny problem z NP z nadkładem wielomianowym. Jeśli jeden z problemów NP.-zupełnych zostanie rozwiązany w czasie wielomianowym, to P=NP.

35 Faktoryzacja jest NP, wydaje się, że nie jest P i że nie jest NP-zupełna. [„Wydaje się, że nie P” na tyle bardzo, że protokół klucza publicznego RSA oparty na niewykonalności faktoryzacji w krótkim czasie] NP.-zupełne: problem spełnialności binarnego układu logicznego, problem komiwojażera, izomorfizmu grafów, kliki, kolorowania wierzchołków grafu i inne. Problemy NP P NP-zupełne F W praktyce problemy, które nie są P – stają się niemożliwe do dokładnego rozwiązania dla dużych rozmiarów zadania

36 najkrótsza trasa z A do B – problem łatwy (bo wielomianowy algorytm znany) najkrótsza trasa po wszystkich miastach – problem trudny (bo algorytm wielomianowy nieznany) Inna znana para pozornie podobnych problemów o skrajnie różnej złożoności obliczeniowej: problem istnienia cyklu Eulera i cyklu Hamiltona Cykl (zamknięta ścieżka) Eulera Zadanie: zaplanować trasę spaceru: przejść po każdym moście dokładnie raz i wrócić do punktu wyjścia (odwiedź wszystkie krawędzie grafu dokładnie raz)

37 Cykl Eulera w grafie istnieje wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie jego wierzchołki są stopnia parzystego przy każdym przejściu przez wierzchołek używamy 2 krawędzi zaczynamy spacer od dowolnego wierzchołka usuwając z grafu przebyte krawędzie, wrócimy do wierzchołka startowego bez rozspójniania grafu stopień wierzchołka = liczba przyległych krawędzi Jeśli istnieje to parzyste stopnie Jeśli parzyste stopnie to można wskazać cykl E

38 Cykl Hamiltona odwiedzić wszystkie wierzchołki bez powtarzania przemarszu przez żadną z krawędzi wracając do punktu wyjścia (nie trzeba korzystać z każdej krawędzi, co wcale nie ułatwia zadania, bo problem istnienia CH – np.-zupełny ) graf planarny (rzut środkowy dwunastościanu)

39 cykl Hamiltona dla dwunastościanu

40 Jeśli wiemy, że problem NP-zupełny, a rozmiar problemu duży – poszukajmy rozwiązania przybliżonego Metoda dokładna nie zadziała w skończonym czasie. Jeśli nie wiemy jak szukać- poszukajmy losowo. Lecz: Całkiem ślepe przeszukiwanie losowe nie różni się od przeglądania wszystkich rozwiązań: prawdopodobieństwo znalezienia najlepszego jest żadne, a i rozsądnego znikome. Problem komiwojażera dla 20 miast w pd-wsch Polsce Wszystkich permutacji jest 20!= Najlepsza trasa znaleziona po prób (długość [j.umowne] ) Widać, że kiepska: 1) skrzyżowane trasy 2) krócej będzie Tarnów-Nowy Sącz-Kraków Katowice

41 Najlepsza trasa znaleziona po losowaniach (długość [j.umowne] ) Algorytm zachłanny start z Częstochowy Wniosek: jeśli przeszukiwanie MC ma być skuteczne – nie może być całkiem losowe

42 Optymalizacja wg podejścia „kolonii mrówek” Mrówki zostawiają na swojej trasie szlak zapachowy (feromonowy). Pozostałe mrówki starają się go śledzić. Ręcznie położony szlak zapachowy Ślad zapachowy: 1) wyznacza trasę między mrowiskiem a źródłem pożywienia 2) pozwala na jej optymalne wytyczenie 3) umożliwia adaptację do zmieniającego się środowiska źródło rysunków: Eberhart,Shi,Kennedy: Swarm Intelligence Dorigo M, Gambardella LM BIOSYSTEMS

43 Dodatnie sprzężenie zwrotne (najsilniejszy ślad na najkrótszej drodze). źródło rysunków: Eberhart,Shi,Kennedy: Swarm Intelligence

44 wstawiona przeszkoda ?? losowo na prawo/lewo Na krótszej drodze szlak feromonowy szybciej domknięty Dodatnie sprzężenie zwrotne Szlak zapachowy i adaptacja trasy dla zmienionego otoczenia Dorigo M, Gambardella LM BIOSYSTEMS

45 Algorytm kolonii mrówek dla problemu komiwojażera 1W metodzie: grupa przemieszczających się wędrowców symulujących zachowanie mrówek 2Preferowany szlak o największym nasileniu feromonu 3Wzrost feromonu na najkrótszej trasie 4Komunikacja między mrówkami przez szlak feromonowy 5Strategia najbliższego sąsiada włączona w algorytm (mrówki kierują się nie tylko feromonem, ale również starają się dostać do miast raczej bliżej niż dalej położonych) Założenia: Sztuczne mrówki potrafią więcej niż prawdziwe: (1) Pamiętają swoją trasę (2)Ustalają, która przeszła najkrótszą drogę

46 Miasta połączone w graf pełny: krawędź między wierzchołkami i oraz j opisana (1) długością d(i,j) stała, definiuje problem (2) natężeniem feromonu f(i,j) zmienia się w trakcie nauki Z długości (stałej) i feromonu (zmiennego) budujemy funkcję preferowanego ruchu: t(i,j) = f(i,j) / [d(i,j)]  im większe t(i,j) tym większe będzie pstwo przejścia z i do j  – parametr [znaczenie feromonu/długości krawędzi]  =0 tylko feromon, duże  tylko długość optymalne:  =2

47 Mrówki wykonują wiele obiegów przed każdym z nich są losowo rozmieszczane po miastach

48 Losujemy q z przedziału (0,1): jeśli q q 0 [eksploracja] miasto j jest losowane z rozkładem, w którym prawdopodobieństwo jest proporcjonalne do t(i,j) Wybór mrówki: jest w mieście i do którego miasta iść? i Tu nie pójdzie bo już była Każda krawędź opisana przez t(i,j) Parametr q 0 z przedziału (0,1). q 0 – jeśli wysokie mrówki bardziej skłonne korzystać z doświadczenia społeczności – jeśli niskie mrówki chętniej eksperymentują z nowymi trasami ? optymalne q0=0.9 mrówka kieruje się doświadczeniem zdobytym przez mrowisko, nawet gdy wybór miasta następuje przy użyciu generatora liczb losowych

49 i p 4 35% 3 27% 2 27% 1 11% Stworzyć dyskretny generator losowy o zadanym rozkładzie dysponując generatorem o rozkładzie równomiernym z przedziału (0,1) Tworzymy tablicę dystrybuanty rozkładu P(0)=0 P(1)=0.11 P(2)=0.38 P(3)=0.65 P(4)=1 Losujemy liczbę l z przedziału (0,1) z rozkładem równomiernym. Uznajemy, że wylosowany został osobnik i+1 (słownie i plus pierwszy), jeśli miasto j jest losowane z rozkładem, w którym prawdopodobieństwo jest proporcjonalne do t(i,j) powiedzmy że dla ustalonego i mamy: t(i,4)=1.05, t(i,2)=t(i,3)=.81, t(i,1)=.195 liczymy rozkład pstwa: p(i,j)=t(i,j)/suma

50 Odkładanie feromonu na krawędziach : globalne i lokalne 1)Globalne: Ma preferować najkrótszy szlak. Następuje na całej trasie gdy mrówki wykonają pełen obieg i porównają długości swoich tras. f(i,j):=(1-  )f(i,j)+  dla wszystkich krawędzi (i,j) na najkrótszej trasie,  – długość najkrótszej trasy  – parametr z (0,1)  ostatni przebieg ignorowany  =1ignorowane doświadczenie z poprzednich przebiegów zazwyczaj optymalne około  =0.1 Najkrótsza w jednym obiegu: czerwona Feromon na każdej z krawędzi należącej do najkrótszej trasy zostaje zmieniony wg.

51 Odkładanie feromonu na krawędziach : globalne i lokalne 2)Lokalne (zniechęcające, wykonywane po każdym kroku) Ma zniechęcać mrówki w przed poruszaniem się po dokładnie tej samej trasie (w tym samym obiegu) tym samym stymulując pozostałe do poszukiwań. Następuje na krawędzi (i,j) po przejściu mrówki z i do j. Feromon na krawędzi (i,j): f(i,j):=(1-  )f(i,j)+  p p – parametr zniechęcający (p=ML, M-liczba miast, L-długość trasy wg. heurystyki najbliższego sąsiada) f(i,j):=(1-  )f(i,j)+  1) Globalne (zachęcające, wykonywane po każdym obiegu)  – długość najkrótszej trasy

52 Algorytm kolonii mrówek dla problemu komiwojażera wprowadzamy problem – graf pełny o N wierzchołkach. z długościami krawędzi d(i,j). Na krawędzi (i,j) ustawiamy początkowy poziom feromonu f(i,j)=1/[d(i,j)]  rozmieszczamy m mrówek w losowo wybranych miastach każda z mrówek przechodzi z miasta i do miasta j, którego jeszcze nie odwiedziła z pstwem q 0 miasto j jest wybierane tak aby t(i,j) max z pstwem 1-q 0 miasto wybierane jest losowo z rozkładem danym funkcją preferencji. przy przejściu mrówka odkłada feromon lokalnie (zniechęcająco) na krawędzi (i,j) powtarzamy N razy każda z mrówek kończy obieg po pełnym obiegu mrówki porównują swoje trasy. feromon jest odkładany globalnie po najkrótszej trasie (zachęcająco na wszystkich krawędziach trasy) powtarzamy dopóki długość trasy ulega skróceniu

53 Dobór parametru q 0 okres nauki (rozkład prawdopodobieństwa zmienia się z czasem) Eksploracja przydaje się żeby przyspieszyć zbieżność. Losowe tylko rozmieszczanie mrówek przed każdym obiegiem Wyniki

54 Optymalna liczba mrówek Okres nauki

55 10 iteracja25 iteracja500 iteracja 20 miast PL południowo-wschodnia trasa optymalna – na niebiesko czerwone – krawędzie najbardziej preferowane [ max t(i,j) ] Społeczność uczy się najkrótszej trasy cd: Tylko 3 najbardziej preferowane krawędzie należą do trasy optymalnej. Przypadkowe zagęszczenie w okolicach Lublina i Świdnika Tylko 2 najbardziej preferowane krawędzie nie należą do trasy optymalnej: Przemyśl-Rzeszów, Katowice-Częstochowa Wszystkie najbardziej preferowane należą do trasy optymalnej

56 Bartłomiej Urbaniec: 20 krawędzi o największej funkcji preferencji w kolejnych iteracjach 20 najczęściej używanych krawędzi parametry  =2, q0=0.2, m=10

57 Trasy mrówek w ostatniej iteracji (Bartłomiej Urbaniec)

58 Bartłomiej Urbaniec: Zastosowanie algorytmu dla problemu najkrótszej drogi (do problemu rozwiązywanego przez prawdziwe mrowisko – który stanowił inspirację dla stworzenia algorytmu) 1)wprowadzamy prostokątna siatkę punktów 2)punkty nie są łączone w graf pełny łączymy krawędziami tylko najbliższych sąsiadów punkt czerwony przeszkoda długość czerwonych krawędzi ustawiany nieskończona pozostałe d(i,j)=1 3) mrówka wybiera spośród (zazwyczaj) 4 możliwości ruchu 4) pozwalamy jej wracać do punktów już odwiedzonych 5) nakładamy ograniczenie na maksymalną liczbę kroków

59 1 obieg


Pobierz ppt "Symulacje obliczeniowe: w technice: inżynieria obliczeniowa: modelowanie i symulacja zjawisk i urządzeń. badania i optymalizacji procesów produkcyjnych."

Podobne prezentacje


Reklamy Google