Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

WYKŁAD 2. Kolorowanie wierzchołków (Uogólnienie problemu ZOO)

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "WYKŁAD 2. Kolorowanie wierzchołków (Uogólnienie problemu ZOO)"— Zapis prezentacji:

1

2 WYKŁAD 2. Kolorowanie wierzchołków (Uogólnienie problemu ZOO)

3 Kliki i zbiory niezależne W nazywamy kliką, gdy G[W] jest pełny. W nazywamy zbiorem niezależnym, gdy G[W] jest pusty. Liczba klikowa ω(G)= ω to moc największej kliki w grafie G. Liczba niezależności α(G)=α to moc największego zbioru niezależnego w G.

4 Przykład ω=3 α=3

5 Liczba chromatyczna Liczba chromatyczna χ(G)= χ to najmniejsza liczba k, taka że zbiór V można rozbić na k rozłącznych zbiorów niezależnych. Inaczej, minimalna liczba kolorów, przy pomocy których można pomalować wierzchołki grafu, tak by końce każdej krawędzi miały różne kolory.

6 Graf Petersena: χ=3

7 k-kolorowalność = k-dzielność to mówimy, że graf jest k-kolorowalny, albo k- dzielny. Mówiąc k-dzielny, mamy zwykle na myśli ustalony podział V na k zbiorów niezależnych V_1,...,V_k. Graf pełny dwudzielny K(m,n) to graf dwudzielny o dwupodziale (V_1,V_2), przy czym |V_1|=n a |V_2|=m, posiadający wszystkie mn krawędzie o jednym końcu w V_1 a drugim w V_2. Jeśli

8 Ilustracja: k=3

9 Ilustracja: K(3,4)

10 Oszacowania dolne Grafy doskonałe: χ(G[W])=ω(G[W]) dla wszystkich W. Wszystkie grafy pełne oraz puste są doskonałe, bo χ(K_n)= ω(K_n)=n i χ(N_n)= ω(N_n)=1. Wszystkie grafy dwudzielne są doskonałe, bo χ(G)= ω(G)=2 (o ile G jest niepusty). Dopełnienia grafów dwudzielnych też są doskonałe (ćwiczenie).

11 Słaba hipoteza Bergea Lovász 1972: Graf jest doskonały wgdy jego dopełnienie jest doskonałe. Lovász pokazał mocniejszy fakt: G jest doskonały wgdy dla każdego W

12 Cykle parzyste Cykle parzyste (nieparzyste) to cykle o parzystej (nieparzystej) długości. C_4 Długość cyklu mierzymy liczbą krawędzi. Cykle parzyste są dwudzielne.

13 Cykle nieparzyste Dla cykli nieparzystych χ=3. C_5 Ponadto, cykle nieparzyste długości większej niż 3 nie są doskonałe, bo ω=2.

14 Mocna hipoteza Bergea 1966 Chudnovsky, Robertson, Seymour, and Thomas 2002: Graf jest doskonały wgdy ani on ani jego dopełnienie nie zawierają indukowanych cykli nieparzystych dłuższych niż 3. Dowód na 200 stron pomijamy!

15 Grafy anty-doskonałe Mycielski 1955: Dla dowolnej liczby naturalnej k 2 istnieje graf G_k, taki że ω(G_k)=2, a χ(G_k)=k. Dowód indukcyjny: G_2=K_2. Załóżmy, że G_k jest już skonstruowany na wierzchołkach v_1,...,v_n. Utwórzmy G_{k+1} przez dodanie n+1 nowych wierzchołków u_1,...,u_n oraz v i połączenie każdego u_i z v oraz ze wszystkimi sąsiadami wierzchołka v_i w G_k.

16 Ilustracja dowodu Tw. Mycielskiego v_1 v_2 u_2 u_1 v G_2 G_3

17 Ilustracja – ciąg dalszy v_1 v_2 v_3 v_4 v_5 v u_5 u_1 u_2 u_3 u_4 G_4

18 G_{k+1} nie zawiera K_3 Gdyby zawierał, to składałby się z 1 nowego wierzchołka – u_i i dwóch starych – v_j,v_l. Skoro jednak u_iv_j i u_iv_l są krawędziami grafu G_{k+1}, to v_iv_j i v_iv_l są krawędziami w G_k. Zatem v_i,v_j,v_l tworzą trójkąt w G_k – sprzeczność.

19 Ilustracja v_j v_l u_i v_i

20 χ(G_{k+1})=k+1 Weźmy dowolne k-kolorowanie G_k, powtórzmy kolor v_i na u_i, a v pomalujmy nowym, (k+1)- szym kolorem. Gdyby dało się pomalować G_{k+1} k kolorami, to na u_1,...,u_n wystąpiłoby tylko k-1 kolorów (k-ty kolor na v). Kolory z u_1,...,u_n można jednak przenieść na v_1,...,v_n otrzymując (k-1)-kolorowanie grafu – sprzeczność. 

21 Ilustracja v_1 v_2 v_3 v_4 v_5 v u_5 u_1 u_2 u_3 u_4

22 Oszacowania górne Δ(G)= Δ to największy stopień wierzchołka w grafie. Algorytm zachłanny (greedy) maluje kolejno wierzchołki pierwszym wolnym kolorem.

23 Greedy -- ilustracja

24

25

26

27

28

29

30 Kiedy χ=Δ+1 ? Cykle nieparzyste i grafy pełne. Jeśli G jest niespójny, to znaczy istnieje podział V na A i B bez A-B krawędzi, to χ(G)=max(χ(G[A]), χ(G[B]), Δ(G) = max(Δ(G[A]), Δ(G[B]). Grafy G, w których Δ(G)=2 i choć jedna składowa jest cyklem nieparzystym. Grafy G, w których choć jedna składowa jest grafem pełnym K_{Δ(G)+1}.

31 Grafy niespójne - kolorowanie A B B1 B2

32 Twierdzenie Brooksa (1941) Jeśli spójny graf G nie jest ani nieparzystym cyklem, ani grafem pełnym, to

33 Przypadek Δ=2 Przypadek Δ=2 obejmuje tylko ścieżki i cykle -- wśród nich tylko cykle nieparzyste mają χ=3.

34 G nieregularny Jeśli G nie jest regularny, to ustawmy wierzchołki w kolejności v_1,...,v_n, tak że d(v_n)< Δ, a dla każdego i=1,...,n-1, v_i ma sąsiada na prawo. Wtedy algorytm zachłanny użyje co najwyżej Δ kolorów.

35 Ilustracja

36 Ilustracja – c.d.

37 G ma wierzchołek cięcia Wierzchołek v grafu spójnego G nazywamy wierzchołkiem cięcia, gdy G-v nie jest spójny. To znaczy istnieje podział V na A i B, |A|,|B|>1, AB={v}, bez krawędzi pomiędzy A-{v} i B-{v}. Wtedy χ(G)=max(χ(G[A]), χ(G[B]) oraz Δ(G) max(Δ(G[A]), Δ(G[B]). Pokazać, że w tym przypadku χ(G) Δ(G) (ćwiczenia).

38 Ilustracja v A B

39 Dowód Tw. Brooksa Z głowy mamy już przypadki: Δ=2, G nieregularny i G z wierzchołkiem cięcia. Niech teraz G będzie dowolnym grafem Δ- regularnym, bez wierzchołków cięcia, Δ 3, n=|V(G)|, spełniającym założenia twierdzenia. Ponieważ G nie jest grafem pełnym, to

40 Przypadek I G-{u,v}=G[V-{u,v}] jest spójny. Ustaw wierzchołki w kolejności u,v,v_1,...,v_{n-3},w tak, że dla każdego i=1,...,n-3, v_i ma sąsiada na prawo. Algorytm zachłanny pomaluje u i v tym samym kolorem i dlatego wystarczy Δ kolorów do pomalowania całego grafu.

41 Ilustracja uv w

42 Przypadek II Istnieje podział V na A i B, |A|,|B|>2 : Łatwo pokazać, że oba podgrafy, G[A] i G[B], można pomalować Δ kolorami (ćwiczenia). Jeśli oba podgrafy można pomalować tak, by u i v miały różne kolory, to potem można zgrać kolory uzyskując Δ-kolorowanie całego grafu G.

43 Ilustracja u v A B

44 Przypadek II – c.d. Przypuśćmy, że w każdym kolorowaniu podgrafu G[A], wierzchołki u i v otrzymują ten sam kolor. Wtedy, pamiętając, że uv nie jest krawędzią, mamy w G[A] d(u),d(v) Δ-1. Ponieważ stopnie u i v w obu podgrafach są pomiędzy 1 i Δ-1 (w przeciwnym razie byłby wierzchołek cięcia lub G nie byłby spójny), to w G[B] d(u)=d(v)=1. Ponieważ Δ 3, można znaleźć kolorowanie podgrafu G[B], w którym u i v są tego samego koloru, i znów zgrać kolory. 

45 Ilustracja u v A B


Pobierz ppt "WYKŁAD 2. Kolorowanie wierzchołków (Uogólnienie problemu ZOO)"

Podobne prezentacje


Reklamy Google