Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

DOMINOWANIE W GRAFACH Magdalena Lemańska. Problem pięciu królowych (1850 r). Jaka jest najmniejsza liczba królowych jaka może być rozmieszczona na szachownicy.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "DOMINOWANIE W GRAFACH Magdalena Lemańska. Problem pięciu królowych (1850 r). Jaka jest najmniejsza liczba królowych jaka może być rozmieszczona na szachownicy."— Zapis prezentacji:

1 DOMINOWANIE W GRAFACH Magdalena Lemańska

2 Problem pięciu królowych (1850 r). Jaka jest najmniejsza liczba królowych jaka może być rozmieszczona na szachownicy 8 x 8 tak, by każde pole było w zasięgu jakiejś królowej? Problem pięciu królowych-problem znalezienia zbioru dominującego o mocy 5.

3 G=(V,E); V=V(G)- zbiór wierzchołków, |V(G)|=n(G); E=E(G)- zbiór krawędzi. Zbiór D V(G) jest zbiorem dominującym w grafie G, jeśli każdy wierzchołek ze zbioru V(G)-D w grafie G jest dominowany przez wierzchołek ze zbioru D. Dla danych wierzchołków x,y grafu G mówimy, że x dominuje y, jeśli x=y albo jeśli xy E(G). W takim razie x dominuje siebie i wszystkie wierzchołki sąsiednie z wierzchołkiem x.

4 Otwarte sąsiedztwo wierzchołka v: N G (v) – zbiór wszystkich wierzchołków połączonych krawędzią z v; Domknięte sąsiedztwo wierzchołka v: N G [v]= N G (v) {v} Otwarte sąsiedztwo zbioru X V: N G (X) =U v X N G (v); Domknięte sąsiedztwo zbioru: N G [X]=N G (X) X. Jest kilka sposobów zdefiniowania zbioru dominującego, każdy z nich ilustruje różne aspekty pojęcia dominowania. d G (u,v) – odległość między u i v - długość najkrótszej (u-v)- ścieżki w G

5 Zbiór D V(G) wierzchołków grafu G=(V,E) jest zbiorem dominującym wtedy i tylko wtedy, gdy: (i) dla każdego wierzchołka v V-D istnieje wierzchołek u D taki, że v jest sąsiedni do u; (ii) dla każdego wierzchołka v V-D, d G (v,D) 1; (iii) N G [D]=V; (iv) dla każdego wierzchołka v V-D, |N G (v) D| 1, czyli każdy wierzchołek v V-D jest sąsiedni do przynajmniej jednego wierzchołka z D; (v) dla każdego wierzchołka v V, |N G [v] D| 1.

6 Jeśli D jest dominujący w G, to każdy nadzbiór D D też jest dominujący. Z drugiej strony, nie każdy podzbiór D D jest dominujący w G. Zbiór dominujący D jest minimalny dominujący, jeśli żaden podzbiór właściwy D D nie jest dominujący.

7 Twierdzenie 1. Zbiór dominujący D jest minimalnym zbiorem dominującym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego wierzchołka u D zachodzi jeden z dwóch warunków: a) u jest izolowany w D; b) istnieje v V-D, dla którego N G (v) D = {u}. Niech D - zbiór dominujący i niech u D. Mówimy, że wierzchołek v jest prywatnym sąsiadem wierzchołka u (w odniesieniu do D), jeśli N G [v] D = {u}. Zbiór prywatnych sąsiadów wierzchołka u: PN[u,D]={v : N G [v] D = {u} }. u PN[u,D], jeśli jest izolowany w podgrafie indukowanym G[D], wtedy mówimy, że u jest swoim własnym prywatnym sąsiadem.

8 Zbiór dominujący D jest minimalny dominujący wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wierzchołek z D ma przynajmniej jednego prywatnego sąsiada. Twierdzenie 2. Każdy spójny graf G rzędu co najmniej dwa posiada zbiór dominujący D, którego dopełnienie V-D też jest zbiorem dominującym. Twierdzenie 3. Jeśli G jest grafem bez wierzchołków izolowanych, to dopełnienie V-D każdego minimalnego zbioru dominującego D jest zbiorem dominującym w G. Moc najmniejszego zbioru dominującego w grafie G nazywamy liczbą dominowania grafu G i oznaczamy (G). Moc największego zbioru minimalnego dominującego w grafie G nazywamy górną liczbą dominowania grafu G i oznaczamy (G).

9 (G)=3 (G)=5 Ograniczenia na liczbę dominowania. Twierdzenie 4 (Ore) Jeśli graf G nie ma wierzchołków izolowanych, to (G) n/2.

10 Twierdzenie 5. Dla grafu G bez wierzchołków izolowanych, rzędu n, gdzie n jest parzyste, (G) = n/2 wtedy i tylko wtedy, gdy składowymi grafu G są cykl C 4 albo korona H K 1 dla dowolnego grafu spójnego H. Korona dwóch grafów G 1 i G 2 jest to graf G = G 1 G 2 powstały z jednej kopii G 1 oraz |V(G 1 )| kopii G 2 gdzie i-ty wierzchołek G 1 jest sąsiedni do każdego wierzchołka w i-tej kopii G 2. W szczególności, G = H K 1 jest grafem powstałym z kopii H gdzie do każdego wierzchołka v V(H) dodajemy nowy wierzchołek v i krawędź wiszącą vv.

11 Twierdzenie 6. Dla każdego grafu G, (G) n - (G). Podział krawędzi uv w grafie G otrzymujemy przez usunięcie krawędzi uv, dodanie nowego wierzchołka w oraz dodanie krawędzi uw i vw. Ranny pająk jest to graf powstały przez podział co najwyżej t-1 krawędzi gwiazdy K 1,t dla t 0. Twierdzenie 7. Dla każdego drzewa T, (T) = n - (T) wtedy i tylko wtedy, gdy T jest rannym pająkiem. Twierdzenie 8. Jeśli graf G nie ma wierzchołków izolowanych oraz diam(G) 3, to (Gd) = 2, gdzie Gd jest dopełnieniem grafu G. Twierdzenie 9. Jeśli (Gd) 3, to diam(G) 2.

12 Obwód grafu G, ozn. g(G) jest to długość najkrótszego cyklu w G (jeśli graf posiada cykl). Twierdzenie 10. Dla każdego grafu G, (a)jeśli g(G) 5, to (G) (G), (b)jeśli g(G) 6, to (G) 2( (G)-1). Zbiory niezależne. Niech i(G) oznacza moc najmniejszego maksymalnego zbioru niezależnego w grafie G; 0 – moc największego zbioru niezależnego w G.

13 Drzewo T ma zbiory maksymalne niezależne o trzech rozmiarach. i(T)=3 0 (T)=5

14 Twierdzenie 11. Niezależny zbiór S jest maksymalny niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy jest niezależny i dominujący. Zbiory dominujące. Drzewo T ma zbiory minimalne dominujące o czterech rozmiarach. (T)=2 (T)=5 Wniosek: Każdy zbiór maksymalny niezależny jest zbiorem dominującym.

15 Twierdzenie 12. Każdy zbiór maksymalny niezależny w G jest minimalnym zbiorem dominującym w G. Wniosek: Dla każdego grafu G, (G) i(G) 0 (G) (G). Zbiory nienadmierne. Możemy powiedzieć, że zbiór D jest zbiorem minimalnym dominującym w G wtedy i tylko wtedy, gdy: (*) dla każdego wierzchołka v D, istnieje wierzchołek w V-(D-{v}), który nie jest dominowany przez D-{v}. Warunek (*) można wyrazić w języku prywatnych sąsiadów.

16 PN[4,D]={1,2,3,4}PN[6,D]={6}PN[7,D]={7} PN[v,D]=N G [v]-N G [D-{v}] W warunku (*) wierzchołek w musi być prywatnym sąsiadem wierzchołka v w odniesieniu do D (możliwe jest w=v). (**) zbiór D jest zbiorem minimalnym dominującym w G wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego wierzchołka v D, PN[v,D], czyli każdy wierzchołek v D ma przynajmniej jednego prywatnego sąsiada.

17 Jeśli jest spełniony warunek (**), to mówimy, że zbiór D jest zbiorem nienadmiernym. Twierdzenie 13. Zbiór dominujący D jest minimalny dominujący wtedy i tylko wtedy, gdy jest dominujący i nienadmierny. Rozważmy maksymalne zbiory nienadmierne w grafie G. Zbiór nienadmierny S jest maksymalny nienadmierny, jeśli dla każdego wierzchołka u V-S, zbiór S {u} nie jest nienadmierny, czyli istnieje przynajmniej jeden wierzchołek w S {u}, który nie ma prywatnego sąsiada. W takim razie, nienadmierny zbiór S jest maksymalny nienadmierny, jeśli zachodzi następujący warunek: (***) dla każdego wierzchołka w V-S istnieje wierzchołek v S {w}, dla którego PN[v, S {w}] =.

18 Moc najmniejszego zbioru maksymalnego nienadmiernego w G oznaczamy ir(G) i nazywamy liczbą nienadmierności. Moc największego zbioru nienadmiernego w G oznaczamy IR(G) i nazywamy górną liczbą nienadmierności. Na czerwono zaznaczone są zbiory maksymalne nienadmierne. ir(G)=2IR(G)=3

19 Twierdzenie 14. Każdy zbiór minimalny dominujący w G jest zbiorem maksymalnym nienadmiernym w G. Twierdzenie 15. Dla każdego grafu G, ir(G) (G) i(G) 0 (G) (G) IR(G). ir(G)=4 (G)=5

20 Twierdzenie 16. Dla każdego grafu G, (G)/2 < ir(G) (G) 2ir(G)-1. Twierdzenie 17. Dla każdego grafu G, IR(G) n - (G). Inne rodzaje dominowania. Oprócz dominowania, rozważa się dodatkowe własności zbiorów wierzchołków, rozważając własności podgrafów indukowanych przez te zbiory.

21 Dominowanie spójne (Sampathkumar, Walikar, 1979) Zbiór dominujący D nazywamy zbiorem spójnie dominującym, jeśli D jest dominujący i G[D] jest spójny. Moc najmniejszego zbioru spójnie dominującego w G nazywamy liczbą dominowania spójnego grafu G i oznaczamy c (G). Każdy zbiór spójnie dominujący jest dominujący, więc dla każdego grafu spójnego G mamy (G) c (G). Twierdzenie 18. W każdym grafie spójnym G istnieje zbiór spójnie dominujący S taki, że |S| 2 0 (G) – 1. Wniosek: Dla każdego grafu spójnego G, c (G) 2 0 (G) – 1.

22 Twierdzenie 19. (Duchet, Meyniel) Dla każdego grafu spójnego G, c (G) 3 (G)-2. Lemat 20. Jeśli w grafie spójnym G istnieje najmniejszy maksymalny zbiór nienadmierny, który jest zbiorem niezależnym, to ir(G) = (G) = i(G). Twierdzenie 21. Jeśli G jest spójny, to ir(G) c (G) 3ir (G)- 2. Wniosek: Jeśli G jest spójny, to c (G) 3i (G)- 2. Nierówności są najlepsze z możliwych. Przedstawimy przykłady, dla których zachodzą równości. Twierdzenie 22. Jeśli G jest grafem, który nie zawiera K 1,3 ani A-L-grafu jako podgrafów indukowanych, to ir(G) = (G) = i(G).

23 A-L- graf Przykład 1. Dla dowolnej liczby naturalnej p rozważmy graf G=C 3p. W takim grafie c (C 3p ) = 3p-2. Zbiór D, do którego należy co trzeci wierzchołek cyklu jest niezależnym zbiorem nienadmiernym i dominującym, |D|=p. Widać, że taki graf nie zawiera K 1,3 ani A-L-grafu jako podgrafu indukowanego, więc ir(C 3p ) = (C 3p ) = i(C 3p )= p.

24 Przykład 2. Dla dowolnych liczb naturalnych s i t rozważmy graf H otrzymany przez utożsamienie ze sobą jednego z wierzchołków każdego z cykli C 3s,C 3t. W takim grafie jest 3(s+t)-1 wierzchołków oraz c (H) = 3(s+t)-5. W grafie tym znajdziemy najmniejszy maksymalny zbiór nienadmierny, który jest również zbiorem niezależnym (do zbioru tego musi należeć wierzchołek powstały przez utożsamienie), wiec zgodnie z lematem 20 mamy ir(H) = (H) = i(H) = s + t – 1. Na rysunku jest przedstawiony graf G, dla którego s = t = 2, a wierzchołek v z jednego cyklu jest utożsamiony z wierzchołkiem u z drugiego. Widać, ze ilość wierzchołków w tym grafie n = 11; c (G) =3(2 + 2) - 5 = 7; ir(G) = (G) = i(G) = = 3.

25 Z łańcucha dominowania oraz z tego, że c (G) 2 0 (G) – 1 wynika również, że c (G) 2 (G) – 1 oraz c (G) 2IR(G) – 1 Ograniczenia te sa najlepsze z możliwych. Na przykład w cyklu C 5 mamy 0 (C 5 ) = (C 5 ) = IR(C 5 ) = 2; c ( C 5 ) = 3. Dla każdego grafu spójnego G istnieje drzewo spinające T grafu G takie, że c (G) = c (T) = n(G) – n 1 (T), gdzie n 1 oznacza ilość wierzchołków końcowych w T. Drzewo to ma największą z możliwych ilość wierzchołków końcowych. (Sampathkumar, Walikar) Dla każdego spójnego podgrafu spinającego H grafu G mamy c (H) c (G).

26 Twierdzenie 23. Dla każdego grafu spójnego G z n wierzchołkami zachodzi równość c (G) + (G) = n, gdzie (G) oznacza największą ilość wierzchołków końcowych w drzewie spinającym grafu G. Twierdzenie 24. Dla każdego grafu spójnego G z n wierzchołkami i największym stopniem wierzchołka (G) zachodzi nierówność c (G) n - (G). W roku 1956 E.A. Nordhaus oraz J.W. Gaddum znaleźli ograniczenia dla sumy i iloczynu liczb chromatycznych grafu G i jego dopełnienia Gd: (G)+ (Gd) n+1, n (G) (Gd) (n+1)(n+1)/4

27 Podobnych ograniczeń szuka się również dla różnych liczb dominowania. Ogólnie zagadnienia typu Nordhausa-Gadduma polegają na znalezieniu podobnych ograniczeń dla sumy i iloczynu pewnego niezmiennika grafu G i tego samego niezmiennika dopełnienia Gd grafu G. Hedetniemi i Laskar znaleźli górne ograniczenie dla sumy liczb spójnego dominowania dla grafu G i jego dopełnienia. Twierdzenie 25. Jeśli G i jego dopełnienie Gd są spójne, to c (G)+ c (Gd) n+1. Twierdzenie 26. Dla każdego drzewa T z co najmniej dwoma wierzchołkami, różnego od gwiazdy, mamy c (T)+ c (Td) n.

28 Dominowanie wypukłe i słabo wypukłe. (prof. Topp) Zbiór X V jest wypukły w G, jeśli wszystkie wierzchołki każdej najkrótszej (x-y)-ścieżki należą do X dla każdych x,y należących do zbioru X. Zbiór X V nazywamy słabo wypukłym w G, jeśli dla każdych dwóch wierzchołków x,y należących do zbioru X istnieje najkrótsza (x-y)-ścieżka, której wierzchołki należą do X. Liczba dominowania słabo wypukłego w G, oznaczana wcon (G), jest to moc najmniejszego zbioru słabo wypukłego dominującego w G, natomiast liczba dominowania wypukłego w G, oznaczana con (G), jest to moc najmniejszego zbioru wypukłego w G.

29 Dominowanie spójne: dla każdych dwóch wierzchołków u,v należących do zbioru dominującego D, istnieje (u-v)- ścieżka, której wierzchołki należą do D; Dominowanie słabo wypukłe: dla każdych dwóch wierzchołków u,v należących do zbioru dominującego D, istnieje najkrótsza (u-v)- ścieżka, której wierzchołki należą do D; Dominowanie wypukłe: dla każdych dwóch wierzchołków u,v należących do zbioru dominującego D, wierzchołki ze wszystkich najkrótszych (u-v)- ścieżek należą do D.

30 Obserwacja 28: Dla każdego grafu spójnego G jest (G) c (G) wcon (G) con (G). Twierdzenie29 Dla dowolnych k,r N, r 3, istnieje graf G taki, że c (G) - wcon (G) = r oraz con (G) - c (G) = con (G) - wcon (G) =k. Twierdzenie 30 Każda z różnic con (G) - 0 oraz con (G) - może być dowolnie duża. Twierdzenie 31 Jeśli G jest spójny, nie posiada wierzchołków końcowych oraz nie istnieje w G cykl indukowany długości mniejszej niż 6, to con (G) = n. Lemat 27 Dla każdej liczby naturalnej n 7 i dla każdej liczby naturalnej k, 7 k n, istnieje graf G rzędu n taki, że con (G)= wcon (G) = k.

31 Hipoteza Vizinga: Dla każdych dwóch grafów G, H jest (G) (H) (G H ) Twierdzenie 32 (Canoy, Garces) Zbiór D V(G H ) jest wypukły w G H wtedy i tylko wtedy, gdy D=D G D H, gdzie D G jest wypukły w G i D H jest wypukły w H. Twierdzenie 33 Jeśli D jest dominujący w G H, to D G jest dominujący w G i D H jest dominujący w H. Twierdzenie 34 Dla dowolnych grafów spójnych G i H jest con (G) con (H) con (G H). Niech G H będzie iloczynem kartezjańskim grafów spójnych G i H. Dla zbioru D V(G H ) oznaczmy: D G = {u V(G): (u,v) D dla pewnego v V(H)}; D H = {u V(H): (u,v) D dla pewnego v V(G)}.

32 Dominowanie słabo spójne (Dunbar, Grossman, Hedetniemi, Hatting, 1997) Podgraf słabo indukowany przez D V(G) - graf G[D] w =(N G [D],E w ); e E w jeśli e ma przynajmniej jeden koniec w D; D V(G) – zbiór słabo spójny dominujący, jeśli D jest dominujący oraz G[D] w ( w ) jest spójny; Liczba dominowania słabo spójnego grafu G, ozn. w (G)- moc najmniejszego zbioru słabo spójnego dominującego w G.

33 G[D] w = (N G [D], E w )

34

35

36

37 Równości między liczbami dominowania.

38

39

40


Pobierz ppt "DOMINOWANIE W GRAFACH Magdalena Lemańska. Problem pięciu królowych (1850 r). Jaka jest najmniejsza liczba królowych jaka może być rozmieszczona na szachownicy."

Podobne prezentacje


Reklamy Google