Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Ćwiczenie III. Matematyczny opis zmian zachodzących w przyrodzie – pochodne. Ciągi i szeregi matematyczne Strona internetowa ćwiczeń:

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Ćwiczenie III. Matematyczny opis zmian zachodzących w przyrodzie – pochodne. Ciągi i szeregi matematyczne Strona internetowa ćwiczeń:"— Zapis prezentacji:

1 Ćwiczenie III. Matematyczny opis zmian zachodzących w przyrodzie – pochodne. Ciągi i szeregi matematyczne Strona internetowa ćwiczeń: Pochodną funkcji f(x) w punkcie x 0 nazywamy granicę ilorazu różnicowego ( y/ x) dla x dążącego do zera i oznaczamy symbolem f(x 0 ) [ew. dy/dx lub (równanie)]. y = y 2 – y 1 x = x 2 – x 1 Pochodna f(x 0 ) jest równa tangensowi ką- ta, jaki tworzy z osią OX styczna do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie o od- ciętej x 0.Interpretacja fizyczna pochodnej: Jeżeli drogę przebytą przez punkt przyjmiemy za funkcję czasu, to szybkość – jest pierwszą pochodną tej funkcji, a przyśpieszenie – drugą pochodną (pochodna pochodnej).

2 W danym przedziale wartości zmiennej niezależnej x można wyliczyć pochodną (tzn. funkcja jest w tym przedziale różniczkowalna) tylko wtedy, gdy funkcja jest w tym przedziale ciągła. Trudno jest też wyli- czyć pochodne dla funkcji, które dla danej wartości zmiennej niezale- żnej nie są określone, przyjmują wartość zero lub dążą do. Przykła- dowo: funkcja: y = (e x – e –x )/x nie jest określona dla x = 0. Pomocne może tu być tw. de lHospitala, kt. mówi, że jeżeli 2 funkcje f(x) i g(x) są nieokreślone w danym punkcie a, to prawdziwe jest rów- nanie: Dlatego, dla przykładowej funkcji [y = (e x – e –x )/x]: Funkcje, które dążą do, powinny być przetransformowane do postaci: y = 1/f(x).

3 Pochodne funkcji elementarnych: Pochodna f. stałej: (c) = 0; Pochodna f. liniowej: (ax + b) = a; Pochodna f. kwadratowej: (ax 2 + bx + c) = 2ax + b; Pochodna f. potęgowej: (a. x b ) = b. ax b–1 ; Pochodna pierwiastka kwadratowego: ; Pochodna f. hiperbolicznej: ; Pochodna pierwiastka dowolnego stopnia: ; Pochodna f. sinus: [sin(x)] = cos(x); Pochodna f. cosinus: [cos(x)] = – sin(x); Pochodna f. tangens: ; Pochodna f. cotangens: ; Pochodna f. wykładniczej – podstawa a: (a x ) = a x. ln(a) (a>0); Pochodna f. wykładniczej – podstawa e: (e x ) = e x ; Pochodna f. logarytmicznej (ln): [ln(x)] = 1/x (x>0);

4 Pochodne funkcji... cd. (2): Pochodna f. logarytmicznej (dowolna podst. a): Pochodna f. arcus sinus: ; Pochodna f. arcus cosinus: ; Pochodna f. arcus tangens: ; Pochodna f. arcus cotangens:. Twierdzenia o pochodnych: Jeżeli funkcje f i g mają pochodne w punkcie x, to: Pochodna iloczynu funkcji przez stałą c: [c. f(x)] = c. f(x), dla c R; Pochodna sumy / różnicy funkcji: [f(x) g(x)] = f(x) g(x); Pochodna iloczynu funkcji: [f(x). g(x)] = f(x). g(x) + f(x). g(x); Pochodna ilorazu funkcji:.

5 Twierdzenia o pochodnych, cd.: Pochodna f. złożonej: {f[g(x)]} = f[g(x)]. g(x), gdy f. f ma pochodną w punkcie g(x), a funkcja g w punkcie x; Jeżeli f. y = f(x) ma f. odwrotną x = g(x), to poch f. odwr.: Zastosowanie pochodnej do badania przebiegu funkcji: Miejsca zerowe pierwszej pochodnej funkcji, odpo- wiadają maksimom i minimom badanej funkcji. O tym, czy to jest maksimum, czy minimum – mówi wartość drugiej pochodnej dla tej samej wartości zmiennej x (ujemna – maksimum; dodatnia – minimum). I-sza po- chodna dla p-ktu x n + – funkcja badana rosnąca; I-sza pochodna – – funkcja malejąca. Jeżeli I-sza pochodna = 0 nie dla pojedynczego p-ktu (min.; max.), ale dla pewnego zakresu wart. zm. x – bad. f. jest w tym zakr. stała (stan równowagi). Miejsca zerowe II-giej pochodnej, odp. punktom przegięcia bad. f. Przyrównanie I-szej poch. do 0 znajdowanie min. lub max. funkcji (zast. praktyczne).

6 Ciągi i szeregi matematyczne Ciągiem nazywamy wyrażenie typu: a 1, a 2, a 3,....., a n, gdzie poszczególne elementy a i, nazywamy wyrazami ciągu [ciągi mogą być skończone (o ograniczonej liczbie wyrazów: n 3) i nieskończone, gdy n ]. Ciąg jest rosnący, gdy a n+1 > a n ; zaś jest malejący, gdy a n+1 < a n. Ciąg nazywamy arytmetycznym każdy jego wyraz, począwszy od II-giego powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego stałej liczby r, zwanej różnicą ciągu. Ciąg nazywamy geometrycznym każdy jego wyraz, począwszy od II- giego powstaje z pomnożenia wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę q, zwaną ilorazem ciągu. Jeżeli ciąg posiada granicę, to nazywamy go ciągiem zbieżnym (do wartości, która jest granicą). Ciągi nie mające granicy, nazywamy rozbieżnymi; gdy przy n, a n, to ciąg jest rozbieżny do ; gdy a n – ciąg jest rozbieżny do –. Ciąg, którego wyrazami są liczby nazywamy liczbowym [w zal. od tego, czy będą to liczby całkowite, rzeczywiste czy zespo- lone, ciąg nazywa się odpowiednio całkowitoliczbowym, rzeczywis- tym lub zespolonym. Podobnie ciąg, którego wyrazami są funkcje nazywa się ciągiem funkcyjnym. Nieskończony ciąg, którego kolej- nymi elementami są sumy początkowych wyrazów innego ciągu nieskończonego, nazywamy szeregiem (wyrażenie typu: a 1 + a 2 + a an, gdy n ). Wyrażenie S n = a a n, nazywamy n-tą sumą częściową szeregu. Jeżeli istnieje granica S = lim n S n, to nazywamy ją sumą szeregu – a szereg – zbieżny do niej. Szeregi, podobnie jak ciągi mogą być stałe, rosnące, malejące, arytmetyczne, geometryczne oraz rozbieżne do + i –. Istnieją też szeregi liczbowe i funkcyjne.

7 W zastosowaniach praktycznych, dany wyraz ciągu można wyliczyć – podstawiając do odpowiedniego równania wartość wyrazu poprzedzającego, a kolejny (dalszy) – wartość wyrazu ostatnio wyliczonego. Wykorzystywane jest tu tzw. równanie rekursywne, czyli takie, w którym wynik dla danego etapu n zależy od wyniku dla etapu poprzedzającego n-1 i nie jest możliwe przewidywanie wyniku dla etapu n tylko na podstawie założeń/ustaleń początkowych. Wynik z etapu poprzedzającego (n-1) jest podstawiany do równania w danym etapie (n) i przeliczany, a proces takiego, pojedynczego wyliczenia nazywamy iteracją. Powyższy proces, jest zwany procesem rekursywnym I-szego rzędu, ponieważ w wyrażeniu po prawej stronie równania występuje tylko S n–1 (gdyby dodatkowo występowało: S n–2, wtedy byłby to proces rekursywny II- go rzędu). Proces rekursywny nie daje się opisać typowym, pojedy- ńczym równaniem funkcji. W praktyce często użytecznym staje się przekształcenie (rozwinięcie) niektórych funkcji w ciąg funkcji, które dają się sumować, czyli w szereg. Może to mieć zastosowanie np. w odniesieniu do skomplikowanych funkcji, których równania trudno jest rozwiązać lub scałkować. Funkcje takie powinny dać się rozwinąć w ogólne równanie funkcji algebraicznej: f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 ….. =

8 Warunek ten spełnia tzw. szereg Taylora: Wyprowadzenie równania na szereg Taylora jest opisane w starym skrypcie W.U. Dowolną funkcję można rozwinąć w ten szereg przy użyciu programów takich, jak np. wxMaxima. Szereg Taylora ma ogromne znaczenie w analizie matematycznej, ponieważ może on być podstawą do przybliżania i upraszczania wielu bardzo skomplikowanych wyrażeń.

9 Wskazówki do wykonania zadań praktycznych ćw. III. Wskazówki do zadania 1: Wyliczone analitycznie pochodne: (5x 2 – 15x + 4) = 10x – 15 (50x 1,25 ) = 1,25. 50x 1,25–1 = 62,5x 0,25 [(2x 2 – 3x). ( x + 4)] = (4x – 3 ). ( x + 4) + (2x 2 – 3x). (1/2 x) Wskazówki do zadania 2: Ekran wejściowy programu on-line Wolfram Alpha: Za pomocą backspace usuwamy przykładową funkcję

10 Następnie wpisujemy w pole derivative of tylko prawą stronę równania, czyli: 1.2*x^4-15*x^3+12*x^2-20*x+15 (1): Dalej – klikamy w przycisk = (2) Klik (2)

11 Pojawia się wynik wyliczenia pochodnej: Wykres funkcji:Pierwiastki: (rzeczywiste i zespolone):

12 Wprowadzenie równania drugiej funkcji (x*exp(–x))*log(x) (1): Klik (2)

13 Pojawia się wynik wyliczenia pochodnej: Wykres funkcji (część rzeczywista i urojona):Pierwiastki: (wyliczone numerycznie):

14 Wskazówki do zadania 3: Uruchamiamy program wxMaxima (=> ikona skrótu na pulpicie => pod- wójny klik). Korzystanie z programu polega na wpisaniu równania funk- cji w pole INPUT:, a następnie kliknięciu w przycisk, który uruchamia odpowiednią akcję. Stałą e Nepera, wpisujemy jako %e, a st. – jako: %pi. Ekran wejściowy programu: Prompt, przy którym poja- wiają się wy- niki obliczeń Pole do wpi- sywania równań wyjściowych Pasek przycisków, które uruchamiają odpowiednie czynności.

15 Wpisujemy równanie w pole INPUT (przykładowo przedstawiono prze- bieg obliczeń dla II-giej funkcji z zad. 2 i 3): Następnie klikamy w przycisk Diff, kt. uruchamia różniczko- nie Po tym pojawia się okno opcji różniczkowania: Akceptujemy klikając w OK

16 Pojawiają się wyniki: Możemy przypuszczać, że wynik obliczeń pochodnej nie jest w swej najprostszej postaci algebraicznej. Dlatego w celu jego uproszczenia, klikamy w przycisk Simplify Pojawia się: Prostsza postać wyniku

17 Wynik końcowy: [x. ln(x). e –x ] = [(x – 1). ln(x) – 1]. (– e –x ) (uwaga! Program wxMaxima wykorzystuje tylko log naturalne, które wpisujemy jako: log. Wyliczenie pochodnych cząstkowych (ze względu na x i t) funkcji: y = x/t. Poch. cząstkowa dla x – wprowadzamy równanie i wykonujemy obliczenia tak, jak w przypadku pochodnych zwykłych. Ekran po wprowadzeniu równania i uruchomieniu operacji różniczkowania: Klikamy w przycisk OK

18 Wyniki: dy/dx = 1/t Pochodna cząstkowa ze względu na t; uruchomienie liczenia: W polu in variable za- mieniamy domyślny x na t (1) Klik (2)

19 Wyniki: dy/dt = -x/t 2 Analogicznie – odpowiednie pochodne cząstkowe dla funkcji: y = x. e –t. Po wprowadzeniu i uruchomieniu liczenia: Klik

20 Wynik: dy/dx = e –t [zamiast: %e^-t można wpisać: exp(-t) ] Pochodna cząstkowa ze względu na t; uruchomienie liczenia: W in variable zamieniamy x na t (1) Klik (2)

21 Wynik: dy/dt = –x. e –t Wskazówki do zadania 4: Wyliczenie I-szej pochodnej funkcji: y = 4x 2 /(x 2 + 1) wykonujemy podobnie, jak w zadaniu poprzednim (obok). Zakładając, że uzyskany wynik można uprościć, klikamy w przycisk Simplify

22 Wynik uproszczenia: W celu obliczenia II pochodnej, upro- szczony wynik zaznaczamy (bierzemy do bloku) i kopiujemy go do schowka poprzez Ctrl+C (C przy wciśniętym Ctrl). Zawartość schowka wklejamy do pola INPUT poprzez Ctrl+V.

23 Po wklejeniu równania I-szej pochodnej: Klikamy w przycisk Diff, a po po- jawieniu się okna różniczkowania - w przycisk OK.

24 Uzyskany wynik: Zakładając, że będzie możliwe algebraiczne uproszczenie uzyskanego wyniku, klikamy w przycisk Simplify: Wynik zostaje uproszczony:

25 W pliku analiza1.xls (po pobraniu i zapisaniu na dyskietce), kopiuje- my formuły (kolumny B, C i D) od wiersza 3 do 123; w ten sposób wartości funkcji i obu jej pochodnych zostaną wyliczone dla wszyst- kich interesujących nas wartości x. Dalej wykonujemy wykres (jak na ćwiczeniach poprzednich: XY) – a właściwie 3 wykresy na 1 układzie współrzędnych, co powinno wyglądać:

26 Wykres funkcji: y = 4x 2 /(x 2 + 1) ma odwrócony kształt gaussiański z minimum dla x=0 oraz asymptotą poziomą lewą i prawą dla y=4. Na obecność ekstremum dla x=0 wskazuje zerowa wartość I-szej pochod- nej dla tego punktu, a o tym, że jest to minimum – świadczy dodatnia wartość II-giej pochodnej (maksimum). Na obecność 2 punktów prze- gięcia wskazują: minimum i maksimum I-szej pochodnej, odpowiednio w punktach x= – 0,577 i x = 0,577 oraz miejsca zerowe II-giej pochod- nej w tych samych miejscach. Wskazówki do zadania 5: Po uruchomieniu programu wxMaxima i wprowadzeniu w pole INPUT: odpowiednich równań, klikamy w przycisk Series (ew. Menu: Calculus Get series), co otwiera okno dialogowe szeregu.

27 Dla pierwszego równania będzie to: (2 + 3*x)*exp(-x). Klik Następnie pojawia się okno dialogowe szeregu: akceptujemy wszystkie wartości domyślne i klikamy OK. Dalej, uzyskujemy gotowy wynik rozwinięcia w szereg Taylora (następne przeźrocze).

28 Wynik rozwinięcia w szereg Taylora dla równania funkcji y = (2 + 3x)e–x: Godnym uwagi jest, że uzyskany szereg jest naprzemienny, tzn. poszczególne jego wyrazy mają zmieniające się znaki (+, -, +, -, +), co jest typowe dla q < 0*. Tego typu szereg trudniej osiąga zbieżność, niż szeregi o wyrazach tego samego znaku. Drugie równanie, wprowadzamy następująco: asin(x)*exp(x). Dalej, klikamy Series (Calculus Get series) Pojawia się okno dialogowe szeregu, które akceptujemy, klikając OK. (nie przedstawione). Po tym uzyskujemy wynik rozwinięcia. *) q – iloraz ciągu geometrycznego

29 Wynik rozwinięcia w szereg Taylora funkcji y = [arc sin(x)]e x : Szereg nie jest naprze- mienny; ma wyłącznie dodatnie wyrazy. Dlatego powinien łatwiej osiągać zbieżność, niż szereg dla funkcji poprzedniej.

30 Dziękuję za uwagę ;-)


Pobierz ppt "Ćwiczenie III. Matematyczny opis zmian zachodzących w przyrodzie – pochodne. Ciągi i szeregi matematyczne Strona internetowa ćwiczeń:"

Podobne prezentacje


Reklamy Google