Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 20111 Macierze, wyznaczniki, odwracanie macierzy i wzory Cramera.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 20111 Macierze, wyznaczniki, odwracanie macierzy i wzory Cramera."— Zapis prezentacji:

1 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Macierze, wyznaczniki, odwracanie macierzy i wzory Cramera

2 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Macierze - definicja Definicja: Macierzą nazywamy prostokątną tablice utworzoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) a ij (i=1,…,m; j=1,…,n), gdzie a ij jest wyrazem (lub elementem) macierzy znajdującym się na skrzyżowaniu i-tego wiersza i j-tej kolumny. Macierz o m wierszach i n kolumnach oznaczamy [a ij ], [ a ij ] m×n, A m×n lub A i nazywamy macierzą o wymiarze m×n. Jeżeli w macierzy jest m = n, to macierz tą nazywamy kwadratową stopnia n.

3 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Macierze – podstawowe wiadomości Definicja (równość macierzy): Macierze A= [a ij ] i B= [b ij ] nazywamy macierzami równymi, co zapisujemy A = B, jeżeli mają ten sam wymiar m×n i jeżeli a ij = b ij dla i=1,…, m oraz j=1,…, n. Definicja (macierz transponowana): Macierz A, która uzyskana z macierzy A przez zamianę wierszy macierzy A w miejsce kolumn (i odwrotnie) z zachowaniem ich kolejności nazywa się macierzą transponowana (względem A) lub macierzą przestawioną. Zachodzi też zależność: ( A) = A

4 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Macierze – podstawowe wiadomości Definicja (macierz jednostkowa): Macierzą jednostkową oznaczana przez E lub E n, gdzie n jest jej stopniem, nazywamy macierz diagonalną o jedynkach na głównej przekątnej. Definicja (macierz zerowa): Macierzą zerową, oznaczaną symbolem 0, nazywamy każdą macierz, której wszystkie elementy są zerami.

5 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Macierze – podstawowe działania Definicja (suma macierzy): Sumą macierzy A= [a ij ] i B= [b ij ] o tym samym wymiarze m×n nazywamy macierz C= [c ij ] o tymże wymiarze, której elementy są sumami odpowiednich elementów macierzy A i B, mianowicie: C=A+B= [a ij ] + [b ij ]= [a ij +b ij ]= [c ij ]

6 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Macierze – podstawowe działania Definicja (mnożenie macierzy przez liczbę): Iloczynem macierzy A przez liczbę α nazywamy macierz B= αA, której każdy element jest iloczynem odpowiedniego elementu macierzy A przez liczbę α. α[a ij ] =[α a ij ]

7 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Macierze – podstawowe działania Uwaga: Iloczyn macierzy A i macierzy B jest określony wtedy, gdy długość wiersza macierzy A jest równa wysokości kolumny macierzy B. Definicja (iloczyn macierzy): Iloczynem AB macierzy A mxn =[a ij ] i macierzy B nxr =[b jk ] nazywamy taką macierz C mxr =[c ik ], której wyrazami są liczby: c ik =a i1 b 1k +a i2 b 2k +…+a in b nk

8 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Wyznaczniki

9 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Wyznacznik - definicja Definicja: Wyznacznikiem det A macierzy kwadratowej A=[a ij ] nazywamy liczbę gdzie suma jest rozciągnięta na wszystkie możliwe permutacje drugich wskaźników j 1, j 2, …, j n liczb 1, 2, …,n, przy czym jest ilością inwersji permutacji j 1, j 2, …, j n.

10 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Wyznacznik - definicja Obliczanie wyznacznika macierzy z definicji: Dla n=2: możliwe permutacje: 1, 2 2, 1 Dla n=1:

11 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Wyznacznik - definicja Dla n=3: możliwe permutacje: 1, 2, 3 2, 3, 1 3, 1, 2 3, 2, 1 1, 3, 2 2, 1, 3

12 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Schemat Sarrusa Schemat Sarrusa to prosty algorytm na obliczenie wyznacznika:

13 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Wyznacznik – rozwiniecie Laplacea Zdefiniujmy pojęcia minoru i dopełnienia algebraicznego: Definicja: Minorem M ik elementu a ik wyznacznika macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy wyznacznik macierzy stopnia n-1, która powstaje z macierzy A po opuszczeniu i-tego wiersza i k-tej kolumny. Definicja: Dopełnieniem algebraicznym A ik elementu a ik wyznacznika nazywamy iloczyn:

14 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Wyznacznik – rozwiniecie Laplacea Twierdzenie (Laplacea): Wyznacznik macierzy A stopnia n jest równy sumie iloczynów każdego elementu dowolnego wiersza (kolumny) i odpowiadającego temu elementowi dopełnienia algebraicznego:

15 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Własności wyznacznika Tw.1. Wyznacznik macierzy A jest równy wyznacznikowi jej macierzy przestawionej: Tw.3. Jeśli macierz B powstaje z macierzy A przez pomnożenie wszystkich elementów jednego wiersza lub kolumny przez c, to: Tw.2. Wyznacznik macierzy o dwóch jednakowych wierszach (kolumnach) jest równy zeru.

16 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Tw.4. Wyznacznik macierzy o dwóch proporcjonalnych wierszach (kolumnach) jest równy zeru. Własności wyznacznika Tw.6. Przez zmianę między sobą dwóch kolumn lub dwóch wierszy wyznacznika otrzymujemy wyznacznik, którego wartość różni się znakiem od wartości danego wyznacznika Tw.5. Wyznacznik nie ulega zmianie, gdy do elementów jednej kolumny (wiersza) dodać odpowiednie elementy innej kolumny (wiersza) pomnożone przez dowolną stałą.

17 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Przykłady Przykład: Obliczymy wyznacznik macierzy:

18 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Przykłady Przykład: Obliczymy wyznacznik macierzy A korzystając z twierdzenia Laplacea i podstawowych własności wyznacznika.

19 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Przykłady

20 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Odwracanie macierzy

21 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Macierz odwrotna - definicja Definicja: Macierz B nazywa się macierzą odwrotną do macierzy A, jeśli: gdzie E jest macierzą jednostkową. Macierz A nazywa się macierzą odwracalną, jeśli istniej macierz odwrotna do macierzy A.

22 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Macierz nieosobliwa Definicja: Macierz kwadratową A, dla której detA 0, nazywamy macierzą nieosobliwą. Twierdzenie: Macierz odwracalna A jest macierzą nieosobliwą

23 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Macierz dołączana Macierzą dołączaną A D macierzy kwadratowej A = [ a ik ] nazywamy macierz transponowaną macierzy utworzonej z dopełnień algebraicznych elementów macierzy A, tzn. gdzie A ik jest dopełnieniem algebraicznym elementu a ik.

24 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Wyznaczanie macierzy odwrotnej Twierdzenie: Dla dowolnej macierzy kwadratowej A zachodzi równość: Twierdzenie: Jeśli A jest macierzą nieosobliwą, to macierz jest macierzą odwrotną do macierzy A. gdzie E jest macierzą jednostkową.

25 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Przykład Przykład 1.: Oblicz macierz odwrotną do macierzy Rozwiązanie: Na początku sprawdzamy wyznacznik macierzy Obliczamy dopełnienia algebraiczne elementów macierzy A:

26 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Przykład Na podstawie wcześniejszych obliczeń tworzymy macierz dołączoną: Zgodnie ze wzorem na macierz odwrotną otrzymujemy:

27 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Przykład Przykład: Oblicz macierz odwrotną do macierzy A za pomocą przekształceń elementarnych Rozwiązanie: Na początku sprawdzamy wyznacznik macierzy Dostawiamy do macierzy A macierz jednostkową E:

28 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Przykład Stosując przekształcenia elementarne dążymy po lewej stronie do macierzy jednostkowej:

29 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Przykład Ostatecznie otrzymujemy macierz odwrotną:

30 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Wzory Cramera

31 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Układ Cramera Układ n równań liniowych o n niewiadomych nazywamy układem Cramera, jeśli Macierz nazywamy macierzą układu, detA – wyznacznikiem układu.

32 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Twierdzenie Cramera Twierdzenie: Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie, dane wzorem gdzie D k jest wyznacznikiem macierzy powstałej z macierzy A w wyniku zastąpienia w niej k-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych układu.

33 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Przykład Przykład: Rozwiązać układ równań: Rozwiązanie: Obliczamy wszystkie potrzebne nam wyznaczniki:

34 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Przykład Na podstawie wzorów Cramera obliczamy wartości niewiadomych:

35 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Koniec

36 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG Bibliografia Prof.. Aleksander Romanowski: Algebra Liniowa, 2003


Pobierz ppt "Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 20111 Macierze, wyznaczniki, odwracanie macierzy i wzory Cramera."

Podobne prezentacje


Reklamy Google