Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Zbiór Przykłady: zbiór studentów 1go roku zbiór książek w bibliotece zbiór liczb naturalnych (ozn. N) zbiór liczb rzeczywistych (ozn. R) zbiór słów nad.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Zbiór Przykłady: zbiór studentów 1go roku zbiór książek w bibliotece zbiór liczb naturalnych (ozn. N) zbiór liczb rzeczywistych (ozn. R) zbiór słów nad."— Zapis prezentacji:

1

2 Zbiór Przykłady: zbiór studentów 1go roku zbiór książek w bibliotece zbiór liczb naturalnych (ozn. N) zbiór liczb rzeczywistych (ozn. R) zbiór słów nad alfabetem A (ozn. A*) Dział matematyki, którego zadaniem jest badanie ogólnych własności zbiorów, nazywamy Teorią Mnogości. (George Cantor). Zamiast mówić, że 5 jest liczbą naturalną, mówimy, że 5 należy do zbioru liczb naturalnych i piszemy 5 N. Symbol nazywamy relacją należenia. Jeśli element nie należy do zbioru, np nie jest liczbą naturalną, tzn nie należy do zbioru N, tzn N.

3 Definiowanie zbiorów przez wymienienie ich elementów przez podanie własności, które muszą spełniać elementy przez podanie sposobu wyliczania elementów A = {a,b,c,d,e,f,g} Jeśli zbiór nie posiada żadnych elementów, to powiemy, że jest pusty. Zbiór pusty oznaczamy przez. Zbiór A nie jest pusty, bo należy do niego element a. A, bo a A. Nie ma takiego obiektu, który należałby do zbioru pustego! B = {x : x N oraz x<6} C = {x : x N}

4 Równość zbiorów Definicja Powiemy, że dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają dokładnie te same elementy. A=B (wttw) dla dowolnego x, jeżeli x A, to x B i odwrotnie jeżeli x B, to x A. Przykład: A = {5,50,500,5000} = {5*10 x : 0 x<4 i x N} A = {5000,5,50,500} Uwaga: Jeżeli A=B i B=C, to A=C. A B wttw istnieje taki element zbioru A, który nie należy do B lub istnieje taki element zbioru B, który nie należy do A.

5 Relacja zawierania Definicja Powiemy, że zbiór A zawiera się w zbiorze B, ozn. A B wttw dla dowolnego obiektu x, jeśli x A, to x B. UWAGA: Jeśli A=B, to również A B. Jeśli A B i A B, to mówimy, że A jest właściwym podzbiorem zbioru B, ozn. A B. inkluzja Przykłady: N R, Q R, Z R {d, a} {a,b,c,d,e,f}

6 O zbiorze A mówimy, że jest podzbiorem zbioru B. B A A jest zawarty w zbiorze B Zbiór B zawiera zbiór A O zbiorze B mówimy, że jest nadzbiorem zbioru A.

7 Jeżeli zbiór A nie zawiera się w zbiorze B, tzn. nie jest prawdą, że zbiór A jest zawarty w zbiorze B, to musi istnieć taki obiekt (element), który należy do zbioru A i jednocześnie nie należy do zbioru B. A B A B A B wttw istnieje takie x, że x A i x B. Przykład. Zbiór liczb podzielnych przez 2 nie jest podzbiorem zbioru liczb podzielnych przez 5, bo np. 4 jest podzielne przez 2, a nie jest podzielne przez 5.

8 Własności inkluzji Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A,B,C : A A Jeśli A B oraz B C, to A C. Jeśli A B oraz B A, to A=B. Uwaga:Jeśli x A, to {x} A.

9 Zbiór potęgowy Definicja Zbiór, który składa się z wszystkich podzbiorów pewnego zbioru A, nazywa się zbiorem potęgowym ozn. P(A) Przykład:A={1,2,3}, wtedy P(A) = {, {1},{2}, {3},{1,2},{2,3},{1,3}, {1,2,3}} UWAGA: P( ) = { }

10 Suma zbiorów Definicja Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór, którego elementami są wszystkie elementy zbioru A i wszystkie elementy zbioru B. Sumę zbiorów A i B oznaczamy przez A B. x A B wttw x A lub x B Uwaga:x A B wttw x A i x B Przykład: A={3k: k N}, B= {2k : k N}. A B = {n: n jest liczbą, która dzieli się przez 2 lub przez 3}. A B

11 Własności sumy Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A,B,C : A = A A A = A A B = B A (A B) C = A (B C) Uwaga:Powyższe równości można udowodnić wykazując, że jeśli element należy do lewej strony równości, to należy do prawej strony i odwrotnie. przemienność łączność

12 Inkluzja a suma Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A, B, C: A A B oraz B A B Jeśli A C i B C, to A B C Jeśli A B i C D, to A C B D A B wttw A B = B

13 Zakładamy, że A B Dowodzimy, że A B= B (czyli A B B i B A B) i) Po pierwsze A, B B A B ii) Jeśli x A B to x A lub x B. Jeśli x A to na mocy założenia A B, x B. Powyższe rozumowanie jest poprawne dla dowolnego x (wzięliśmy dowolne x), więc udowodniliśmy, że jeśli A B to A B B. Dowód własności:A B wttw A B = B Odwrotnie, zakładamy, że A B = B. Jeżeli x A wtedy x A B, a ponieważ zbiory A B i B są równe więc x B. Czyli A B.

14 Iloczyn zbiorów Definicja Iloczynem(przecięciem) zbiorów A i B nazywamy zbiór, którego elementami są te elementy zbioru A, które są równocześnie elementami zbioru B. x A B wttw x A i x B UWAGA: x A B wttw x A lub x B A B Przykład: Niech i N {0} A={2i : i<16}, B={3i : i<11} A B={0,6,12,18,24,30}= {6i : i < 6}

15 Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A,B,C : A = A A = A A B = B A (A B) C = A (B C) łączność przemienność Własności iloczynu

16 Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A,B,C: A (A B) = A (A B) B = B A (B C) = (A B) (A C) Prawa absorpcji Prawa rozdzielności

17 A B C A B C = Diagramy Venna

18 Różnica symetryczna Definicja Różnicą symetryczną zbiorów A, B nazywamy zbiór A B taki, że: x A lub x B ale x nie należy do obu zbiorów równocześnie. Przykład: Niech i N {0} A= {2i : i<6}, B= {3i : i<6} A B = {2,3,4,8,9,10,12,15}

19 Różnica zbiorów Definicja Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór, którego elementami są te obiekty zbioru A, które nie są równocześnie elementami zbioru B. Różnicę zbiorów oznaczamy przez A\B. x A\B wttw x A i x B UWAGA:x A\ B wttw x A lub x B. A B Przykład:A= {1,2,3,4,5,6} B={ 2i+1: i<5 i i N {0}} A\B = {2,4,6} B\A = {7,9}

20 Własności różnicy Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A,B,C : A\B A A B wttw A\B = Jeśli A B, to C\B C\A A \(B C)= (A\B)\C. Prawa de Morgana A\(B C) = (A\B) (A\C)

21 Dopełnienie zbioru Definicja Dopełnieniem (Uzupełnieniem) zbioru A w przestrzeni U nazywamy zbiór -A, którego elementami są wszystkie elementy przestrzeni U nie należące do zbioru A, tzn. dla dowolnego x U i dowolnego podzbioru A przestrzeni U: x - A wttw x A UWAGA:U\A = -A Przykład: Niech uniwersum U=N oraz A={2i: i N}. Wtedy -A jest zbiorem wszystkich liczb nieparzystych. U A

22 Własności dopełnień Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A,B pewnego uniwersum U : - = U -U = -(-A ) = A Jeśli A B, to - B -A. Prawa de Morgana -(A B) = -A -B

23 Działania nieskończone Definicja Niech będzie rodzina zbiorów A= {A i : i I}. Sumą nieskończonej rodziny zbiorów nazywamy zbiór A i taki, że x A i wttw istnieje takie i I, że x A i. Iloczynem (lub przecięciem) nieskończonej rodziny zbiorów nazywamy zbiór A i taki, że x A i wttw dla wszystkich i I, x A i Przykład: A i = {x R : x

24 Para uporządkowana Postulaty jakie musi spełniać para uporządkowana: 1.Można ją utworzyć dla dowolnych dwóch elementów 2. = wttw x=z i y=w Definicja (K. Kuratowski) ={{x},{x,y}} UWAGA:trójka uporządkowana =,z> n-ka uporządkowana =...>,x n-1 >,x n > UWAGA:Jeśli x y to

25 Iloczyn (produkt) kartezjański Definicja Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B (ozn. A B) nazywamy zbiór par uporządkowanych definiowany następująco: A B={ : x A i y B} UWAGA:A B C={ : x A i y B i z C} X Y Ilustracja graficzna iloczynu kartezjańskiego

26 Własności iloczynu kartezjańskiego Stwierdzenie Jeżeli X jest zbiorem n-elementowym, a Y zbiorem m-elementowym, to produkt X Y ma n*m elementów. TwierdzenieDla dowolnych zbiorów X,A,B: X Y = Y X wttw X = Y X = X (A B) = (X A) (X B) X (A\B) = (X A) \ (X B) A B i C D wttw A C B D A (B C) (A B) C


Pobierz ppt "Zbiór Przykłady: zbiór studentów 1go roku zbiór książek w bibliotece zbiór liczb naturalnych (ozn. N) zbiór liczb rzeczywistych (ozn. R) zbiór słów nad."

Podobne prezentacje


Reklamy Google