Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 3 19.03.2008 r. Pole grawitacyjne i potencjał Potencjał grawitacyjny M A B Pole, w którym praca przy przesunięciu punktu z A do.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 3 19.03.2008 r. Pole grawitacyjne i potencjał Potencjał grawitacyjny M A B Pole, w którym praca przy przesunięciu punktu z A do."— Zapis prezentacji:

1 MECHANIKA NIEBA WYKŁAD r

2 Pole grawitacyjne i potencjał Potencjał grawitacyjny M A B Pole, w którym praca przy przesunięciu punktu z A do B nie zależy od drogi po jakiej przesuwany jest punkt, nazywamy polem potencjalnym (zachowawczym). W polu potencjalnym praca wykonana po dowolnej linii zamkniętej jest równa zero. W związku z tym praca jest tylko funkcją współrzędnych: Funkcję U(x,y,z) nazywamy potencjałem Potencjał grawitacyjny jest równy grawitacyjnej energii potencjalnej na jednostkę masy ciała znajdującego się w polu grawitacyjnym

3 Pole grawitacyjne i potencjał Potencjał grawitacyjny Różniczkując funkcję potencjału po kolejnych współrzędnych możemy w prosty sposób wyznaczyć składowe siły grawitacyjnej: W przypadku pola środkowego (dla większości zagadnień mechaniki nieba) siła F zależy tylko od odległości od środka pola, wtedy:

4 Pole grawitacyjne i potencjał Potencjał grawitacyjny z y x A(x,y,z) α β γ O α,β,γ – kąty jakie kierunek OA tworzy z osiami układu współrzędnych składowe siły: r Pamiętając, że: otrzymujemy:

5 Pole grawitacyjne i potencjał Potencjał grawitacyjny z y x A(x,y,z) α β γ O r Wprowadźmy funkcję: wtedy dla składowej x: i analogicznie dla y oraz z:

6 Pole grawitacyjne i potencjał Potencjał grawitacyjny z y x m2m2 O r Wynika stąd, że funkcja : jest potencjałem. m1m1 W polu grawitacyjnym (punkt m 1 przyciąga punkt m 2 ): a więc:

7 Pole grawitacyjne i potencjał Potencjał grawitacyjny z y x m2m2 O r m1m1 Praca wykonana przy rozsunięciu punktów m 1 i m 2 od r do r 1 jest równa różnicy: Jeżeli punkt m 2 odsuniemy do nieskończoności (r 1 ->), to: otrzymamy wyrażenie na energię potencjalną.

8 Pole grawitacyjne i potencjał Potencjał układu punktów Suma pól potencjalnych pochodzących od różnych mas jest również polem potencjalnym. Potencjał tego pola jest sumą potencjałów poszczególnych mas: Wyznaczmy potencjały dla kilku prostych przypadków… z y x 0 M mimi (x i,y i,z i ) Q(x,y,z)

9 Całkując dostajemy: Ta funkcja zależy tylko od z. Aby otrzymać natężenie pola musimy policzyć pochodną: Pole grawitacyjne i potencjał Potencjał na osi pierścienia Potencjał od elementu δM:

10 Pole grawitacyjne i potencjał Potencjał na osi jednorodnego dysku Potencjał dysku jest sumą potencjałów pochodzących od elementarnych pierścieni:

11 Pole grawitacyjne i potencjał Potencjał na osi jednorodnego dysku W przypadku dużych z, możemy rozwinąć wyrażenie w nawiasie korzystając z uogólnienia dwumianu Newtona na dowolne potęgi. Otrzymujemy:

12 Pole grawitacyjne i potencjał Potencjał od jednorodnego pręta Pręt o gęstości σ Potencjał w punkcie P, pochodzący od elementu δx: Sumaryczny potencjał dostajemy całkując: r δxδx δθ θ 2L P

13 Pole grawitacyjne i potencjał Potencjał od jednorodnego pręta r δxδx δθ θ 2L Dla r>>L możemy logarytmy rozwinąć w szereg Maclaurina. Otrzymujemy: czyli potencjał masy punktowej. Gdy r 1 i r 2 są duże możemy założyć: wtedy:

14 Pole grawitacyjne i potencjał Potencjał od jednorodnego pręta r δxδx δθ θ 2L W niewielkich odległościach od pręta powierzchnie ekwipotencjalne są elipsami (r 1 +r 2 =2a) o wielkich półosiach równych:

15 Pole grawitacyjne i potencjał Potencjał dowolnej masy Suma pól potencjalnych pochodzących od różnych mas jest również polem potencjalnym. Potencjał tego pola jest sumą potencjałów poszczególnych mas: z y x 0 M mimi (x i,y i,z i ) Q(x,y,z) gdzie:

16 Pole grawitacyjne i potencjał Potencjał dowolnej masy z y x 0 M mimi (x i,y i,z i ) Q(x,y,z) Pochodne potencjału (podobnie dla y i z): Można pokazać, że: które jest równaniem Laplacea

17 Pole grawitacyjne i potencjał Potencjał dowolnej masy z y x 0 M mimi (x i,y i,z i ) Q(x,y,z) Ogólnie: Potencjał w punkcie leżącym na zewnątrz masy przyciągającej spełnia r-nie Laplacea: Potencjał w punkcie leżącym wewnątrz masy przyciągającej spełnia r-nie Poissona:


Pobierz ppt "MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 3 19.03.2008 r. Pole grawitacyjne i potencjał Potencjał grawitacyjny M A B Pole, w którym praca przy przesunięciu punktu z A do."

Podobne prezentacje


Reklamy Google