Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Metoda różnic skończonych I -zagadnienia stacjonarne, problemy liniowe Anna Ługiewicz Elżbieta Ligocka.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Metoda różnic skończonych I -zagadnienia stacjonarne, problemy liniowe Anna Ługiewicz Elżbieta Ligocka."— Zapis prezentacji:

1 Metoda różnic skończonych I -zagadnienia stacjonarne, problemy liniowe Anna Ługiewicz Elżbieta Ligocka

2 Metoda różnic skończonych Jest to jedna z najstarszych metod numerycznego rozwiązywania zagadnień przez układy równań różniczkowych. Polega na zastąpieniu pochodnych występujących w tych równaniach przez odpowiednie ilorazy różnicowe. Trudności w zastosowaniu tej metody wiążą się z warunkami brzegowymi.

3 Warunki brzegowe Dirichleta u(x,y) = g(x,y) dla (x,y)єS Neumanna u(x,y)/n = g(x,y)

4 Wzór Taylora Pochodne funkcji, które będą zastąpione różnicami można wyznaczyć za pomocą rozwinięcia szeregu Taylora:

5 Wyznaczenie pierwszej pochodnej centralnej

6 Wyznaczenie drugiej pochodnej centralnej

7 Rozwiązanie problemu metodą różnic skończonych: 3 podstawowe kroki: Podział regionu na siatkę węzłów Przybliżenie danego równania różniczkowego przez równoważne równania różnicowe Rozwiązanie układu równań

8 Równanie i zagadnienia brzegowe

9 1: Dyskretyzacja przedziału Podział przedziału na n-1 podprzedziałów postaci siatką węzłów x i i=1,2,…,n-1gdzie x 1 =a i x n =b

10 2: Numeryczna aproksymacja funkcji u Aproksymacja rozwiązania funkcji u na węzłach siatki: u i =u(x i )i=1,2,…,n Nie szukamy już u(x), tylko wartości funkcji u w węzłach siatki: u 1, u 2, …, u n

11 3: Aproksymacja pochodnych Aproksymacja pochodnych różnicami skończonymi:

12 4: Aproksymacja dyskretna równania (1) Równanie różniczkowe (1) ma być spełnione w węzłach:

13 5: Podstawienie warunków brzegowych u 1 =u a u n =u b

14 Po podstawieniu przybliżonych wyrażeń na pochodne:

15 Zastosowanie kroków 1-5 daje układ równań:

16 Postać macierzowa A·u=b A-macierz współczynników u-wektor niewiadomych b-wektor prawych stron u=A -1 ·b

17 Postać macierzowa

18

19 Dziękujemy za uwagę


Pobierz ppt "Metoda różnic skończonych I -zagadnienia stacjonarne, problemy liniowe Anna Ługiewicz Elżbieta Ligocka."

Podobne prezentacje


Reklamy Google