Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Konstrukcje rozkładów poprzez składanie funkcji odwrotnych Jolanta Grala-Michalak Wydział Matematyki i Informatyki UAM Poznań

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Konstrukcje rozkładów poprzez składanie funkcji odwrotnych Jolanta Grala-Michalak Wydział Matematyki i Informatyki UAM Poznań"— Zapis prezentacji:

1 Konstrukcje rozkładów poprzez składanie funkcji odwrotnych Jolanta Grala-Michalak Wydział Matematyki i Informatyki UAM Poznań

2 Ogólny opis rozważanej klasy rozkładów H:, różnowartościowa, H(0) = 0 h(x) = H(X) > 0 dla każdego x Z = T, ( X, ) = H ( H -1 (X, ) ) Z ma jednowymiarowy rozkład ciągły = 0, - małe T(X) h(0) H -1 (X) Jones, Pewsey 2009 = 0, - duże T(X/ ) H (X/h(0))

3 Johnson 1949 Rieck, Nedelman 1991 rozkład S u rozkład sinh-normalny Z N (0,1) Z = T (X), T-funkcja nieparzysta W szczególności: T (X)= arcsin h (X) T (X) = sinh (X) 1 logarytmiczno-wklęsła gęstość 1 dwumodalna gęstość

4 Rozkład sinh-arcsinh X, Z N (0,1) S, S -1, Z = S, (X, ) = sinh{ arcsinh(X) } X = S -1, (Z, ) = sinh{(arcsinh(Z)+ )/ }

5 Gęstość rozkładu sinh-arcsinh S, (X, ) = sinh{ arcsinh(X) } C, (X, ) = cosh{ arcsinh(Z) } f, (x) = (2 ) -1/2 (1+x 2 ) -1/2 C, (x) exp{-(1/2) S 2, (x)} (S, ) 2 + (C, ) 2 = 1 - parametr skośności < 1 grube ogony > 1 lekkie ogony F, = (S, (x))

6 Gęstość rozkładu sinh-arcsinh = 3, = 2 = 1, = 1 = 1, = 0,5 = 0, = 0,2

7 Abe Sklar, 1959

8 Własności kopuł Tw. Niech C będzie kopułą. Wtedy a) C(u 2, v 2 )- C(u 1, v 1 ) u 2 – u 1 + v 2 – v 1, skąd wynika jednostajna ciągłość w dziedzinie. b)Poziomy, pionowy i diagonalny rzut kopuły w punkcie a, czyli funkcje t C(t,a), t C(a,t), t C(t,t), są niemalejące i jednostajnie ciągłe na [0,1]. c)0 C(u,v)/ u 1, istnieje dla prawie wszystkich u i jest niemalejąca względem v d)0 C(u,v)/ v 1, istnieje dla prawie wszystkich v i jest niemalejąca względem u

9 Twierdzenie Sklara o istnieniu funkcji kopułowej, 1959

10 Kopuła (łac. łącznik), łączy rozkłady jednowymiarowe w dwuwymiarowy Wniosek. Kopuła jako: a)scale invariant measure C(u,v) = H( F -1 (u), G -1 (v) ), gdzie F -1 (t) = inf { x : F(x) t} = sup { x : F(x) t} b) element zbioru częściowo uporządkowanego C 1 C 2 jeśli u,v [0,1] : C 1 (u,v) C 2 (u,v) c) miara niezależności C = H(x,y) = F(x) G(y) x,y [-,+ ]

11 Kopuła z 2-wymiarowego rozkładu sinh-arcsinh-normalnego X sinh-arcsinh-norm( 1, 1 ) Y sinh-arcsinh-norm( 2, 2 ) Corr(X,Y) =

12 Kopuła z p-wymiarowego rozkładu sinh-arcsinh-normalnego = 1/2 1 = 1, 1 =2 2 = 2, 2 =1/2

13 Granice Frécheta-Hoeffdinga dolna niezależne górna W(u,v)=max(u+v-1,0) (u,v) = uv M(u,v)=min(u,v)

14 Metoda konstrukcji nowych wielowymiarowych dystrybuant Meta-rozkłady – Fang, Fang 2002 a)Wziąć znaną, 2-wymiarową dystrybuantę H(x,y) i wyznaczyć jej dystrybuanty brzegowe F(x) i G(y) b)Znaleźć odwrotności x = F -1 (u) i y = G -1 (v) i znaleźć wzór określający kopułę C(u,v) = H( F -1 (u), G -1 (v) ) c)W miejsce u i v wstawić odwrotności innych jednowymiarowych dystrybuant F * i G * otrzymując inną, 2-wymiarową dystrybuantę H * (x,y) = C(F * (x),G * (y))

15 Metoda konstrukcji nowych wielowymiarowych dystrybuant F -1 (u) = -(1/ 1 )ln(1-u)G -1 (u) = -(1/ 2 )ln(1-u)

16 Bibliografia l Jones, M.C.,Pewsey, A., Sinh-arcsinh distributions, Biometrika 96 (2009), 4, pp l Fang, H.-B., Fang K.-T., The Meta-elliptical Distributions with Given Marginals, Journal of Multivariate Analysis 82 (2002), l Landsman, Z., Elliptical families and copulas: tilting and premium; capital allocation, Scandinavian Actuarial Journal 2 (2009), pp l Nelsen,R.B., An Introduction to copulas, Springer-Verlag New York, Inc., l Bobrowski,D., Grala,J., Computing of Reliability Using Copulas, Safety and Reliability International Conference, vol.2, Gdynia, 2003.


Pobierz ppt "Konstrukcje rozkładów poprzez składanie funkcji odwrotnych Jolanta Grala-Michalak Wydział Matematyki i Informatyki UAM Poznań"

Podobne prezentacje


Reklamy Google