Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Funkcja Riemanna Wydział Fizyk i Informatyki Stosowanej Dariusz Pasternak.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Funkcja Riemanna Wydział Fizyk i Informatyki Stosowanej Dariusz Pasternak."— Zapis prezentacji:

1 Funkcja Riemanna Wydział Fizyk i Informatyki Stosowanej Dariusz Pasternak

2 1.Opis funkcji (s) 2.Zbieżność szeregu 3.Przedłużenie analityczne funkcji (s) 4.Równość Eulera – dowód 5.Zależność pomiędzy (s) a (s) 6.Powiązanie funkcji (s) z Funkcją (x) 7.Funkcja Li(x) 8.Liczby Pierwsze a analiza zespolona Plan Prezentacji

3 Opis funkcji (s) Funkcja dzeta Riemana określona jest wzorem: Dla re s > 1

4 Zbieżność szeregu re s > 1 Dla mamy. A stąd wynika, że szereg ten jest zbieżny jednostajnie w każdym podzbiorze zwartym tej płaszczyzny i funkcja jest holomorficzna.

5 Przedłużenie analityczne O funkcji (s) Riemanna dowodzi się że: 1.Jest ona przedłużalna analitycznie na całej płaszczyźnie otwartej bez punktu s=1 i w punkcie s=1 ma biegun o części głównej 1/(z-1). 2.W półpłaszczyźnie re s > 1 funkcja (s) jest różna od zera, w półpłaszczyźnie re s < 0 ma zera jednokrotne a w pasie [0;1] ma nieskończenie wiele zer.

6 Przedłużenie analityczne Rozszerzenie funkcji dzeta definiujemy jako:

7 Iloczyn Eulera Prawdziwa jest następująca tożsamość, gdzie w iloczynie występują wszystkie liczby piewsze:

8 Dowód Załóżmy że przemnożymy funkcję (s) w następujący sposób: następnie

9 Dowód Podobnie raz jeszcze Bardziej ogólnie

10 Dowód W związku z tym że rozkład przybiera taką formę możemy kontynuować procedurę ostatecznie otrzymując wzór na Iloczyn Eulera:

11 Zależność pomiędzy(s) a (s) re s > 0 podstawiamy x=nt korzystając z identyczności

12 Zależność pomiędzy(s) a (s) Otrzymujemy dla re s > 1, k dodatnich

13 Zależność pomiędzy(s) a (s) Ponieważ obie części są zbieżne wykaże że drugi człon dąży do 0 gdy k dąży do nieskończoności przyjmijmy > 0, oraz takie że:

14 Zależność pomiędzy(s) a (s) następnie dobieramy takie duże k aby: w rezultacie otrzymujemy:

15 Powiązanie funkcji (s) z Funkcją (x)

16

17 Funkcja Li(x) (logarytm całkowy) Funkcja Li(x) okazała się niezwykle przydatna przy szacowaniu liczby liczb pierwszych. Jest dokładniejsza niż zaproponowanie przez Gausa zależność:

18 Wykresy funkcji

19

20

21 Liczby Pierwsze a analiza zespolona Twierdzenie o liczbach pierwszych Tw.

22 Literatura 1.F.Leja Funkcje Zespolone 2.S.Ponnusamy, Herb Silverman Complex Variables with Aplications 3.Funkcja Dzeta Riemana, Praca Riemana z 1859r. 4.http://students.mimuw.edu.pl/~pta/riemann/riemann.pdfhttp://students.mimuw.edu.pl/~pta/riemann/riemann.pdf 5.http://www-users.mat.uni.torun.pl/~philip/prime.html

23 Dziękuję Dariusz Pasternak


Pobierz ppt "Funkcja Riemanna Wydział Fizyk i Informatyki Stosowanej Dariusz Pasternak."

Podobne prezentacje


Reklamy Google