Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Ilustracja związku dystrybuanty teoretycznej z empiryczną

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Ilustracja związku dystrybuanty teoretycznej z empiryczną"— Zapis prezentacji:

1 Ilustracja związku dystrybuanty teoretycznej z empiryczną

2 Opis zadania Dla dystrybuanty F(x), która ma dobrze określoną funkcję odwrotną: Dla dystrybuanty F(x), która ma dobrze określoną funkcję odwrotną: losujemy niezależnie liczby u 1, u 2,..., u n z rozkładu jednostajnego U [0, 1]; losujemy niezależnie liczby u 1, u 2,..., u n z rozkładu jednostajnego U [0, 1]; przekształcamy x k = F 1 (u k ) dla k = 1, 2,..., n ; przekształcamy x k = F 1 (u k ) dla k = 1, 2,..., n ; przez S n (x) oznaczamy ilość tych elementów ciągu x 1, x 2,..., x n, których wartość jest mniejsza niż x. przez S n (x) oznaczamy ilość tych elementów ciągu x 1, x 2,..., x n, których wartość jest mniejsza niż x. nazywamy dystrybuantą empiryczną. nazywamy dystrybuantą empiryczną. Dla kilku konkretnych przykładów dystrybuant F oraz dla kilku rzędów parametru n porównać (m.in. graficznie) otrzymaną dystrybuantę empiryczną F n (x) z dystrybuantą teoretyczną F(x). Dla kilku konkretnych przykładów dystrybuant F oraz dla kilku rzędów parametru n porównać (m.in. graficznie) otrzymaną dystrybuantę empiryczną F n (x) z dystrybuantą teoretyczną F(x).

3 Dystrybuanta empiryczna a PWL Zauważamy, że S n oznacza ilość sukcesów w n próbach Bernoulliego, gdzie sukces w i -tej próbie to zdarzenie {X i < x}, a p=F(x) Zauważamy, że S n oznacza ilość sukcesów w n próbach Bernoulliego, gdzie sukces w i -tej próbie to zdarzenie {X i < x}, a p=F(x) Zatem S n ma rozkład Bernoulliego z parametrami n i p=F(x) Zatem S n ma rozkład Bernoulliego z parametrami n i p=F(x) Możemy zastosować tw. Borela, z którego wynika: Możemy zastosować tw. Borela, z którego wynika: Co oznacza, że dla odpowiednio dużego n F n (x)F(x), czyli dystrybuanta empiryczna jest przybliżeniem dystrybuanty teoretycznej Co oznacza, że dla odpowiednio dużego n F n (x)F(x), czyli dystrybuanta empiryczna jest przybliżeniem dystrybuanty teoretycznej

4 Rozkład wykładniczy n=5 Błąd średniokwadratowy: 0,0210044 Największe odchylenie: 0,324

5 Rozkład wykładniczy n=20 Błąd średniokwadratowy: 0,00193983 Największe odchylenie: 0,1799

6 Rozkład wykładniczy n=100 Błąd średniokwadratowy: 0,000781755 Największe odchylenie: 0,0281

7 Rozkład wykładniczy n=1000 Błąd średniokwadratowy: 1,6035 · 10 -7 Największe odchylenie: 0,0006999997

8 Rozkład Cauchyego n=5 Błąd średniokwadratowy: 0,00684262 Największe odchylenie: 0,0965

9 Rozkład Cauchyego n=20 Błąd średniokwadratowy: 7,5326 · 10 -5 Największe odchylenie: 0,0381

10 Rozkład Cauchyego n=50 Błąd średniokwadratowy: 0,000646874 Największe odchylenie: 0,0256

11 Rozkład Cauchyego n=100 Błąd średniokwadratowy: 1,43857 · 10 -5 Największe odchylenie: 0,0038

12 Rozkład Cauchyego n=1000 Błąd średniokwadratowy: 1,59877 · 10 -7 Największe odchylenie: 0,0003999

13 Rozkład arcsin n=5 Błąd średniokwadratowy: 0, 00706723 Największe odchylenie: 0, 1878

14 Rozkład arcsin n= 20 Błąd średniokwadratowy: 0,000405924 Największe odchylenie: 0, 0442997

15 Rozkład arcsin n= 100 Błąd średniokwadratowy: 0,000122224 Największe odchylenie: 0, 0110998

16 Rozkład arcsin n=5 00 Błąd średniokwadratowy: 2,54179 · 10 -7 Największe odchylenie: 0, 0014028

17 Rozkład arcsin n= 2000 Błąd średniokwadratowy: 8,76349 · 10 -8 Największe odchylenie: 0, 000296098

18 Rozkład Pareto z param. 2 n= 5 Błąd średniokwadratowy: 0, 0285624 Największe odchylenie: 0, 1733

19 Rozkład Pareto z param. 2 n= 20 Błąd średniokwadratowy: 0,00223757 Największe odchylenie: 0, 0477

20 Rozkład Pareto z param. 2 n= 100 Błąd średniokwadratowy: 0, 000619006 Największe odchylenie: 0,0249999

21 Rozkład Pareto z param. 2 n= 500 Błąd średniokwadratowy: 4,75187 · 10 -5 Największe odchylenie: 0, 00690007

22 Rozkład Pareto z param. 2 n= 2000 Błąd średniokwadratowy: 4,00494 · 10 -8 Największe odchylenie: 0, 000400007

23 Rozkład kwadratowy n= 5 Błąd średniokwadratowy: 0,0262666 Największe odchylenie: 0, 183

24 Rozkład kwadratowy n= 20 Błąd średniokwadratowy: 0,00031811 Największe odchylenie: 0, 0185

25 Rozkład kwadratowy n= 100 Błąd średniokwadratowy: 2,99292 · 10 -6 Największe odchylenie: 0, 0173001

26 Rozkład kwadratowy n= 1000 Błąd średniokwadratowy: 4,57001 · 10 -9 Największe odchylenie: 0, 0021

27 Wnioski: Gdy liczba prób o rozkładzie, którego dystrybuanta wynosi F(x), dąży do nieskończoności to dystrybuanta empiryczna tych prób dąży do dystrybuanty teoretycznej Niektóre dystrybuanty empiryczne dążą szybciej do odpowiadającym im dystrybuant teoretycznych. Przy odpowiedniej liczbie prób możemy rozpoznać jakiego typu jest przybliżana dystrybuanta

28 Dziękujemy za uwagę!


Pobierz ppt "Ilustracja związku dystrybuanty teoretycznej z empiryczną"

Podobne prezentacje


Reklamy Google