Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

1 Jan Iwanik Metody inżynierii finansowej w ubezpieczeniach Rozprawa doktorska przygotowana pod opieką prof. dra hab. Aleksandra Werona Instytut Matematyki.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "1 Jan Iwanik Metody inżynierii finansowej w ubezpieczeniach Rozprawa doktorska przygotowana pod opieką prof. dra hab. Aleksandra Werona Instytut Matematyki."— Zapis prezentacji:

1 1 Jan Iwanik Metody inżynierii finansowej w ubezpieczeniach Rozprawa doktorska przygotowana pod opieką prof. dra hab. Aleksandra Werona Instytut Matematyki i Informatyki PWr, 2006

2 2 Plan prezentacji 1. Prawdopodobieństwo niepowodzenia definicja, wzory ogólne, przypadki szczególne, efektywność obliczeniowa. 2. Systematyczne ryzyko śmiertelności definicja, wzory na prawdopodobieństwo dożycia, analiza statystyczna danych historycznych, wycena opcji na śmiertelność.

3 3 Część I Prawdopodobieństwo niepowodzenia

4 4 Proces ryzyka towarzystwa ubezpieczeń R(t) – definicja u – kapitał początkowy, c – prędkość napływania składki, S(t) – łączna wartość szkód do momentu t.

5 5 Przykładowa trajektoria procesu ryzyka

6 6 Prawdopodobieństwo ruiny Definicja 1. Niech R(t) będzie procesem ryzyka. Prawdopodobieństwem ruiny w czasie skończonym nazywamy

7 7 Prawdopodobieństwo niepowodzenia Definicja 2. Prawdopodobieństwem niepowodzenia nazywamy

8 8 Prawdopodobieństwo niepowodzenia, przypadek u = 0 Twierdzenie 1. Niech G t będzie dystrybuantą rozkładu łącznej szkody S(t). Jeśli kapitał początkowy u = 0, to

9 9 Prawdopodobieństwo niepowodzenia dla dowolnego u Twierdzenie 2. Niech G t będzie różniczkowalną dystrybuantą rozkładu łącznej szkody S(t). Niech wówczas

10 10 Związek z teorią kolejek Definicja 3. Procesem czasu obsługi dualnym do R(t) nazywamy proces V(t) Twierdzenie 3. Niech V(t) będzie procesem czasu obsługi dualnym do procesu ryzyka R(t). Jeśli V(0) = w, to niepowodzenie zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy V(T) > u.

11 11 Szkody o wartościach stałych (1) Twierdzenie 4. Niech wszystkie szkody mają wartość h, niech w/h oraz u/h będą liczbami naturalnymi. Wówczas prawdopodobieństwo niepowodzenia można szacować poprzez

12 12 Szkody o wartościach stałych (2) Twierdzenie 4 (kontynuacja)....gdzie jest zadane jawnym wzorem, np. dla T < w/c mamy

13 13 Szkody o rozkładzie dyskretnym Twierdzenie 5. Niech n = cT + u + 1 – w. Niech szkody mają rozkład skupiony na liczbach naturalnych, niech K n będzie zmienną zdefiniowaną w pracy Ignatova i Kaisheva (2000), wówczas gdzie C i n jest pewnym zbiorem ciągów.

14 14 Złożoność obliczeniowa dla metody Ignatova-Kaisheva (2000) Twierdzenie 6. Niech n = cT + u + 1 – w. Liczba obliczeń wyznacznika potrzebnych do wyznaczenia wynosi 2 n – 1.

15 15 Prawdopodobieństwo niepowodzenia: podsumowanie Zdefiniowano prawdopodobieństwo niepowodzenia i uzasadniono jego użyteczność. Wyznaczono ogólne wzory dla prawdopodobieństwa niepowodzenia. Wyznaczono wzory analityczne w szczególnych przypadkach. Wykazano, że prawdopodobieństwo to można wyliczać efektywniej niż prawdopodobieństwo ruiny.

16 16 Część II Systematyczne ryzyko śmiertelności

17 17 Zmiany w tablicach trwania życia Tablice Edmonda Halleya, jedne z pierwszych tablic trwania życia, stworzone na podstawie wrocławskich danych demograficznych (1693) Zmieniające się parametry śmiertelności w USA (z pracy Lee i Cartera, 1992)

18 18 Intensywność umieralności, przypadek deterministyczny Prawdopodobieństwo, że losowa osoba dożyje od wieku t do wieku T

19 19 Stochastyczne modele intensywności umieralności Zaproponowano następujące modele intensywności umieralności gdzie a > 0 oraz σ > 0. Ponadto przyjęto, że parametr β = 0, 1/2 lub 1.

20 20 Prawdopodobieństwo dożycia W przypadku stochastycznym

21 21 Postać prawdopodobieństwa dożycia Twierdzenia 7-9. Niech intensywność umieralności będzie zdefiniowana przez (*). Wówczas, przykładowo, jeśli β = 0, to gdzie

22 22 Analiza statystyczna danych historycznych Przebadano historyczne tablice trwania życia z 20 krajów rozwiniętych z lat I dopasowywano modele opisane przez (*): jednowymiarowe, dla osób urodzonych w zadanym roku, wielowymiarowe, dla grup osób urodzonych w różnych latach.

23 23 Dopasowane modele wielowymiarowe Model 3-wymiarowy dla osób aktualnie w wieku Krajβ = 0β = 1/2β = 1 Austriatak Belgiatak Bułgariatak Czechytak Włochytak Japoniatak Holandiatak Szwajcariatak

24 24 Opcje na śmiertelność Definicja 4. Opcją (kupna) na śmiertelność nazywamy kontrakt wypłacający w momencie T sumę Uwaga. Jeśli K = T-t p t, to opcja na śmiertelność jest idealnym zabezpieczeniem przed systematycznym ryzykiem śmiertelności.

25 25 Aproksymacje wyceny opcji Zaproponowano modyfikacje metod znanych z wyceny stóp procentowych: aproksymacyjnej metody Vorsta (1990), aproksymacyjnej metody E. Levyego (1992).

26 26 Wycena zmodyfikowaną metodą Levyego Cena opcji na śmiertelność dla intensywności umieralności opisanej zmodyfikowanym geometrycznym ruchem Browna, β = 1. Cena opcji na śmiertelność uzyskana zmodyfikowaną metodą Levyego Dokładna cena opcji na śmiertelność uzyskana metodą symulacji

27 27 Systematyczne ryzyko śmiertelności: podsumowanie Zdefiniowano nowe modele stochastyczne dla intensywności umieralności. Obliczono analityczną postać prawdopodobieństwa dożycia. Przeprowadzono analizę statystyczną danych historycznych i oceniono przydatność modeli. Zaproponowano aproksymacje do wyceny opcji na śmiertelność. Wyceniono opcję na śmiertelność dla zaproponowanych modeli.

28 28 Bardzo dziękuję za uwagę


Pobierz ppt "1 Jan Iwanik Metody inżynierii finansowej w ubezpieczeniach Rozprawa doktorska przygotowana pod opieką prof. dra hab. Aleksandra Werona Instytut Matematyki."

Podobne prezentacje


Reklamy Google