Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

czyli o mierze inaczej Wycinanki - składanki Jak mierzymy?

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "czyli o mierze inaczej Wycinanki - składanki Jak mierzymy?"— Zapis prezentacji:

1

2 czyli o mierze inaczej Wycinanki - składanki

3 Jak mierzymy?

4 Metoda wyczerpywania

5 Dwie figury - równe pola?

6 Rozkład na przystające wielokąty

7 Cechy funkcji pola (miary): 1. Dla każdej figury można określić jej pole. 2. Figury przystające mają równe pola. 3. Jeśli figura A rozkłada się na figury A 1, A 2,...., A k, to pole figury A jest sumą pól figur A 1, A 2,...., A k.

8 Figury o równych polach – równoważne przez pocięcie? Figury równoważne przez pocięcie - równe pola.

9 Każdy wielokąt można pociąć na trójkąty

10 Trójkąt jest równoważny przez pocięcie z prostokątem

11 Prostokąt o stosunku boków a:b niewiększym niż 4 jest równoważny przez pocięcie z kwadratem a b

12 Kiedy c b? Z tw. Talesa, zatem Stąd c b równoważne, czyli a b c

13 Każdy prostokąt jest równoważny przez pocięcie z prostokątem, w którym stosunek boku dłuższego do krótszego jest niewiększy niż 4 a b

14 Dwa kwadraty są równoważne przez pocięcie z jednym kwadratem

15 Wniosek: Każdy wielokąt jest równoważny przez pocięcie z kwadratem o tym samym polu.

16 Twierdzenie (F. Bolyai (1832), P. Gerwien (1833)) Dwa wielokąty są równoważne przez pocięcie wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe pola. Dowód: Własności miary (pola) 1. Wielokąt dzielimy na trójkąty 2. Trójkąty przekształcamy w prostokąty 3. Prostokąty przekształcamy w dobre prostokąty 4. Dobre prostokąty przekształcamy w kwadraty 5. Z kwadratów składamy jeden kwadrat o tym samym polu, co wielokąt.

17 Kwadratura wielokąta – kwadratura koła?...

18 Czy można koło przekształcić w kwadrat o tym samym polu przez pocięcie na wielokąty krzywoliniowe?

19 Łuk wewnętrzny Wklęsłe=Wypukłe Łuk zewnętrzny Wklęsłe < Wypukłe

20 Dwa wielościany równoważne przez pocięcie mają równe objętości.

21 Cechy funkcji objętości (miary): 1. Dla każdej bryły można określić jej objętość. 2. Bryły przystające mają równe objętości. 3. Jeśli bryła B rozkłada się na bryły B 1, B 2,...., B k, to objętość B jest sumą objętości brył B 1, B 2,..., B k.

22 Mając dwa czworościeny równej objętości zresztą najogólniejsze, pociąć, jeżeli da się to wykonać, płaszczyznami jeden z nich na najmniejszą możliwą liczbę kawałków takich, aby przez stosowne tych kawałków zestawienie, można było zbudować czworościen drugi. W razie gdyby to dokonać się nie dało, lub było możliwym pod pewnymi zastrzeżeniami, dowieść niemożności, lub też zastrzeżenia te dokładnie określić Władysław Kretkowski, 1882

23 Wielościany o równych objętościach nie muszą być równoważne przez pocięcie α Czworościan równoważny z sześcianem Czworościan nierównoważny z sześcianem

24 Funkcja f jest addytywna w zbiorze A, gdy dla dowolnych a 1, a 2, …, a k ze zbioru A i dowolnych liczb całkowitych c 1, c 2, …, c k z równości c 1 a 1 + c 2 a 2 + … + c k a k = 0 wynika równość c 1 f(a 1 ) + c 2 f(a 2 ) + … + c k f(a k ) = 0. Jedna definicja

25 Jedno twierdzenie (H. Hadwiger, 1954) Niech a 1, a 2, …, a k – kąty dwuścienne wielościanu W, b 1, b 2, …, b m - kąty dwuścienne wielościanu V. Jeśli istnieje funkcja addytywna f na zbiorze, w którym są kąty a 1, a 2, …, a k, b 1, b 2, …, b m oraz π, taka że f(W) f(V) to W i V nie są równoważne przez pocięcie. Jeśli a 1, a 2, …, a k są kątami dwuściennymi wielościanu P, a d 1, d 2, …, d k długościami odpowiadających im krawędzi, to f(P) = d 1 f(a 1 ) + d 2 f(a 2 ) + … + d k f(a k ).

26 a d Dlaczego nie są równoważne? Niech f(π/2) = f(π) = 0, f(a) = 1. C S f(C) = 3f(π/2) + 32f(a) = 32 f(S) = 12df( π/2 ) = 0 cos a = 1/3. Można wykazać, że jeśli c 1 π/2 + c 2 π +c 3 a = 0, to c 3 = 0. Wtedy jeśli c 1 π/2 + c 2 π +c 3 a = 0, to c 1 f(π/2) + c 2 f(π) + 0 f(a) = 0.

27 Definicja: Dwa zbiory A, B R n są równoważne przez rozkład skończony, jeśli można je przedstawić w postaci sumy parami rozłącznych zbiorów A=A 1 A 2... A k orazA i A j = dla i j B=B 1 B 2... B k oraz B i B j = dla i j tak by zbiory A i i B i były przystające dla i=1,2,..., k.

28 Czy koło i kwadrat o tym samym polu są równoważne przez rozkład skończony? Alfred Tarski, 1925 Miklos Laczkovich 1990: Tak! Wystarczy odpowiednio rozbić koło na podzbiorów. Czy równoważność przez rozkład skończony oznacza równość miary (pola, objętosci,…)?

29 Jakie cechy miary są potrzebne? 1. Dla każdego zbioru można określić jego pole (objętość). 2. Zbiory przystające mają równe pola (objętości). 3. Jeśli zbiór A rozkłada się na zbiory A 1, A 2,...., A k, to pole (objętość) zbioru A jest sumą pól (objętości) zbiorów A 1, A 2,...., A k.

30 Twierdzenie (S.Banach, A. Tarski, 1924) Każde dwa ograniczone podzbiory przestrzeni R 3 o niepustych wnętrzach są równoważne przez rozkład skończony. W szczególności dowolna kula jest równoważna dwóm kulom do niej przystającym.

31 W R 3 nie istnieje uniwersalna objętość. K O N I E C


Pobierz ppt "czyli o mierze inaczej Wycinanki - składanki Jak mierzymy?"

Podobne prezentacje


Reklamy Google