Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Teoria sygnałów Zdzisław Papir Warunki zbieżności Dirichleta Zachowanie szeregu Fouriera w punktach nieciągłości Peter G. L. Dirichlet Zbieżność średniokwadratowa.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Teoria sygnałów Zdzisław Papir Warunki zbieżności Dirichleta Zachowanie szeregu Fouriera w punktach nieciągłości Peter G. L. Dirichlet Zbieżność średniokwadratowa."— Zapis prezentacji:

1 Teoria sygnałów Zdzisław Papir Warunki zbieżności Dirichleta Zachowanie szeregu Fouriera w punktach nieciągłości Peter G. L. Dirichlet Zbieżność średniokwadratowa Twierdzenie Parsevala Moc ułamkowa Efekt Gibbsa Okna Fejera, Lanczosa... Podsumowanie Zbieżność szeregu Fouriera

2 Teoria sygnałów Zdzisław Papir Szereg Fouriera sygnału x(t)

3 Jeżeli sygnał x(t) w przedziale [0, T]: klasa sygnałów A A1) posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości I rodzaju, A2) posiada skończoną liczbę ekstremów, A3) jest ograniczony klasa sygnałów B B1) posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości II rodzaju, B2) poza punktami nieciągłości B1) spełnia warunki A1 A3, B3) jest bezwzględnie całkowalny to wykładniczy szereg Fouriera jest zbieżny (jednostajnie) do sygnału x(t) we wszystkich punktach jego ciągłości. Teoria sygnałów Zdzisław Papir Warunek zbieżności Dirichleta (I) Warunki Dirichleta są warunkami wystarczającymi.

4 Warunek Dirichleta (I) Teoria sygnałów Zdzisław Papir czas x(t)x(t) 0 T sygnał klasy A I I

5 Warunek Dirichleta (I) Teoria sygnałów Zdzisław Papir czas x(t)x(t) 0 T sygnał klasy B I II

6 Teoria sygnałów Zdzisław Papir Warunek Dirichleta (I) W punktach nieciągłości I rodzaju szereg Fouriera przyjmuje wartość: sugerujący, że w punktach nieciągłości sygnału x(t) jego wartość powinna być równa średniej arytmetycznej granicy lewo- i prawostronnej. Umowa ta gwarantuje zbieżność szeregu Fouriera do sygnału we wszystkich chwilach czasu (ale jednostajną wyłącznie w punktach ciągłości).

7 Teoria sygnałów Zdzisław Papir Zachowanie szeregu Fouriera w punkcie nieciągłości czas x(t)x(t) 0 T t x(t-) x(t+)

8 Teoria sygnałów Zdzisław Papir Punkt nieciągłości Zachowanie się szeregu Fouriera w pkt. nieciągłości czas (10 harmonicznych)

9 Teoria sygnałów Zdzisław Papir Punkt nieciągłości Zachowanie się szeregu Fouriera w pkt. nieciągłości czas (20 harmonicznych)

10 Teoria sygnałów Zdzisław Papir Warunek zbieżności Dirichleta - II warunek II Jeżeli sygnał x(t) w przedziale [0, T]: klasa sygnałów A A1) ma wahanie ograniczone klasa sygnałów B B1) posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości II rodzaju, B2) poza punktami nieciągłości B1) spełnia warunek A1, B3) jest bezwzględnie całkowalny to wykładniczy szereg Fouriera jest zbieżny (jednostajnie) do sygnału x(t) we wszystkich punktach jego ciągłości. warunek I

11 Teoria sygnałów Zdzisław Papir Warunek zbieżności Dirichleta - II Sygnał bezwzględnie całkowalny wg. G. M. Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy, tom II, str. 507

12 Teoria sygnałów Zdzisław Papir Warunek zbieżności Dirichleta - II

13 Teoria sygnałów Zdzisław Papir Peter Gustav Lejeune Dirichlet Matematyk niemiecki, I poł. XIX wieku Najważniejsze osiągnięcia: teoria liczb - funkcje dzeta teoria mnogości - zasada szufladkowa teoria szeregów - zasada zbieżności

14 Teoria sygnałów Zdzisław Papir Peter Gustav Lejeune Dirichlet Funkcje dzeta Riemanna: (przypadek funkcji Dirichleta) Tożsamość Eulera:

15 Teoria sygnałów Zdzisław Papir Peter Gustav Lejeune Dirichlet Hipoteza Riemanna: (nieudowodniona do dzisiaj) Wszystkie miejsca zerowe (a jest ich nieskończenie wiele) funkcji dzeta Riemanna mają postać: Dowód hipotezy Riemanna zmieniłby oblicze teorii liczb; obliczenia numeryczne wskazują, że przeszło 1,5 x 10 9 liczb spełnia hipotezę Riemanna.

16 Teoria sygnałów Zdzisław Papir Peter Gustav Lejeune Dirichlet Twierdzenie o liczbach pierwszych: (korzysta z funkcji dzeta Dirichleta) Błąd oszacowania: x = ,5% x = ,0% x = ,5%

17 Teoria sygnałów Zdzisław Papir Peter Gustav Lejeune Dirichlet Zasada pudełkowa Dirichleta: Jeżeli N przedmiotów umieścimy w K < N pudełkach, to w którymś z pudełek znajdą się co najmniej 2 przedmioty. N = 4 K = 3 Zastosowanie: W Krakowie mieszkają 2 osoby mające tę samą liczbę włosów na głowie (N ) Największa liczba włosów na głowie - K =

18 Teoria sygnałów Zdzisław Papir Zbieżność średniokwadratowa aproksymacja szeregiem Fouriera szereg Fouriera Średniokwadratowy błąd aproksymacji

19 Teoria sygnałów Zdzisław Papir Zbieżność średniokwadratowa Szereg Fouriera stanowi aproksymację średniokwadratową sygnału. Warunkiem jej istnienia jest skończona wartość całki: a więc skończona energia (moc) sygnału.

20 Teoria sygnałów Zdzisław Papir Twierdzenie Parsevala Twierdzenie Parsevala pozwala wyznaczyć moc sygnału: w dziedzinie częstotliwości:

21 Teoria sygnałów Zdzisław Papir Moc ułamkowa kf o |X k | Moc ułamkowa T = 1 t 1

22 Teoria sygnałów Zdzisław Papir Moc ułamkowa kf 0 P(kf o ) [%] Sygnał piłokształtny T = 1 t 1

23 Teoria sygnałów Zdzisław Papir Moc ułamkowa (sygnał piłokształtny - 90%) Aproksymacja sygnału piłokształtnego 2 harmoniczne 90% mocy sygnału T = 1 t 1

24 Teoria sygnałów Zdzisław Papir Moc ułamkowa (sygnał piłokształtny - 95%) Aproksymacja sygnału piłokształtnego 4 harmoniczne 95% mocy sygnału T = 1 t 1

25 Teoria sygnałów Zdzisław Papir Moc ułamkowa (sygnał piłokształtny - 99%) Aproksymacja sygnału piłokształtnego 16 harmonicznych 99% mocy sygnału T = 1 t 1

26 Teoria sygnałów Zdzisław Papir Efekt Gibbsa efekt Gibbsa Impuls prostokątny 11 harmonicznych

27 Teoria sygnałów Zdzisław Papir Efekt Gibbsa efekt Gibbsa Impuls prostokątny 39 harmonicznych

28 Teoria sygnałów Zdzisław Papir Efekt Gibbsa efekt Gibbsa Impuls prostokątny 79 harmonicznych

29 Teoria sygnałów Zdzisław Papir Efekt Gibbsa Efekt Gibbsa występuje w punktach nieciągłości sygnału, a objawia się jako nadmierne oscylacje aproksymacji skończonym szeregiem Fouriera; poziom oscylacji jest niezależny od długości aproksymacji.

30 Teoria sygnałów Zdzisław Papir Okna Fejera, Lanczosa... Funkcja okna (ang. window) jest dobierana w celu minimalizacji efektu Gibbsa. W klasycznej aproksymacji jest stosowane okno prostokątne o wagach

31 Teoria sygnałów Zdzisław Papir Okna Fejera, Lanczosa... Okno prostokątne Okno Fejera Okno Lanczosa Okno von Hanna, Hamminga, Kaisera...

32 Teoria sygnałów Zdzisław Papir Okna Fejera, Lanczosa Okna aproksymacji szeregiem Fouriera numery wyrazów szeregu Fouriera n waga wn okno prostokątne okno Fejera okno Lanczosa okno von Hanna podwójna szerokość okna 2*k + 1

33 Teoria sygnałów Zdzisław Papir Okna Fejera, Lanczosa okno prostokatne impuls prostokątny okno Fejera okno Lanczosa Impuls prostokątny 11 harmonicznych Impuls prostokątny 7 harmonicznych

34 Teoria sygnałów Zdzisław Papir Okna Fejera, Lanczosa okno prostokatne impuls prostokątny okno Fejera okno Lanczosa Impuls prostokątny 15 harmonicznych

35 Teoria sygnałów Zdzisław Papir Okna, efekt Gibbsa, błąd aproksymacji... Okna Fejera, Lanczosa pozwalają w dużym stopniu zmniejszyć efekt Gibbsa (oscylacje w pobliżu punktu nieciągłości sygnału), ale kosztem wzrostu błędu średniokwadratowego. Pamiętajmy, że przecież szereg Fouriera (z oknem prostokątnym) stanowi najlepszą aproksymację sygnału, zapewniającą minimum błędu średniokwadratowego.

36 Teoria sygnałów Zdzisław Papir Podsumowanie Warunki Dirichleta zapewniają zbieżność szeregu Fouriera do wartości sygnału; w punktach nieciągłości szereg Fouriera generuje średnią arytmetyczną nieciągłości. Praktycznym warunkiem zbieżności jest skończona wartość mocy sygnału (zbieżność średniokwadratowa). Ze zbieżności średniokwadratowej wynika twierdzenie Parsevala pozwalające wyznaczyć moc sygnału poprzez moc poszczególnych składowych harmonicznych. Moc ułamkowa (konsekwencja tw. Parsevala) pozwala szacować w praktyce użyteczną szerokość pasma sygnału. W pobliżu punktów nieciągłości aproksymacja szeregiem Fouriera wykazuje nadmierne i utrzymujące się fluktuacje (efekt Gibbsa). Okna Fejera, Lanczosa i inne pozwalają redukować efekt Gibbsa, ale kosztem dokładności aproksymacji.


Pobierz ppt "Teoria sygnałów Zdzisław Papir Warunki zbieżności Dirichleta Zachowanie szeregu Fouriera w punktach nieciągłości Peter G. L. Dirichlet Zbieżność średniokwadratowa."

Podobne prezentacje


Reklamy Google