Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

10/05 1 Instytutu Informatyki P.W.Zakład Grafiki Komputerowej Krzywe parametryczne x = f x (t); y = f y (t) funkcje liniowex = 20t + 5 y = 10t + 100 t01234.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "10/05 1 Instytutu Informatyki P.W.Zakład Grafiki Komputerowej Krzywe parametryczne x = f x (t); y = f y (t) funkcje liniowex = 20t + 5 y = 10t + 100 t01234."— Zapis prezentacji:

1 10/05 1 Instytutu Informatyki P.W.Zakład Grafiki Komputerowej Krzywe parametryczne x = f x (t); y = f y (t) funkcje liniowex = 20t + 5 y = 10t t01234 x y funkcje nieliniowex = 2t y = t t01234 x y jeśli t t = 1/4*t => t = 4t x = 2(4t) = 32t y = (4t) = 16t t=(0, 1/4, 1/2, 3/4, 1)

2 10/05 2 Instytutu Informatyki P.W.Zakład Grafiki Komputerowej Parametryczne krzywe trzeciego stopnia f(t) = at 3 +bt 2 +ct 1 +d x(t) = a x t 3 +b x t 2 +c x t 1 +d x y(t) = a y t 3 +b y t 2 +c y t 1 +d y z(t) = a z t 3 +b z t 2 +c z t 1 +d z Q(t) = [x(t), y(t), z(t)] Reguła Hornera f(t) = ((at +b)t +c)t +d Wektory styczne w punkcie Q'(t) = [d/dt x(t), d/dt y(t), d/dt z(t)] f(t) = 3at 2 +2bt +c

3 10/05 3 Instytutu Informatyki P.W.Zakład Grafiki Komputerowej Ciągłość Ciągłość geometryczna G 0 połączenie segmentów G 1 kierunki wektorów stycznych (nachylenie segmentów) równe w punkcie połączenia Ciągłość parametryczna C n pochodna jest parametrycznym wektorem stycznym C 1 kierunki i długości wektorów stycznych (pierwsza pochodna) są równe C 2 kierunki i długości wektorów drugiej pochodnej są równe

4 10/05 4 Instytutu Informatyki P.W.Zakład Grafiki Komputerowej Krzywa jako kombinacja liniowa punktów (1) punkt początkowy P p (x p,, y p ) t = 0 : P p = (x p = x(0), y p =y(0)); punkt końcowy P k (x k, y k ) t = 1 : P k = (x k =x(1), y k =y(1)); x = a x t + b x y = a y t + b y P(x,y) = P ( f x (t), f y (t) ) t f(t) = at +b x p = x(0) = b x x k = x(1) = a x +b x = a x +x p y p = y(0) = b y y k = x(1) = a y +b y = a y +y p

5 10/05 5 Instytutu Informatyki P.W.Zakład Grafiki Komputerowej Krzywa jako kombinacja liniowa punktów (2) Dla punktów P p (x p,y p ) i P k (x k y k ) wyznaczamy współczynniki a x, b x, a y, b y b x = x p b y = y p a x = x k - x p a y = y k - y p x = a x t +b x = (x k - x p ) t + x p t y = a y t +b y = (y k - y p ) t + y p x = x p (1-t) + x k t y = y p (1-t) + y k t Q(t) = (1-t) P p + t P k Q(t) = i W i (t) P i

6 10/05 6 Instytutu Informatyki P.W.Zakład Grafiki Komputerowej Krzywe Béziera Określone przez punkty końcowe (P 1,P 4 ) i dwa punkty kontrolne (P 2,P 3 ). Q(t) = n i=0 B i n (t) P i+1 t B 0 3 = (1-t) 3 B 1 3 = 3t (1-t) 2 B 2 3 = 3t 2 (1-t)B 3 3 = t 3 Q(t) = (1-t) 3 P 1 +3t(1-t) 2 P 2 + 3t 2 (1-t) P 3 + t 3 P 4 Q(0) = P 1 Q(1) = P 4 Q(0) = 3(P 2 -P 1 ) Q(1) = 3(P 4 -P 3 )

7 10/05 7 Instytutu Informatyki P.W.Zakład Grafiki Komputerowej Własności krzywych Béziera Wielomiany Bernsteina n i=0 B i n = 1 B i n (t) 0 dla t Własności krzywych początek w P 1 koniec w P 4 w P 1 krzywa jest styczna do wektora P 2 -P 1 w P 4 krzywa jest styczna do wektora P 4 -P 3 krzywa zawarta jest w wielokącie rozpiętym na punktach kontrolnych

8 10/05 8 Instytutu Informatyki P.W.Zakład Grafiki Komputerowej Łączenie krzywych Beziera x l - segment lewy x r - segment prawy Ciągłość C 0 x l (1) = x r (0) = P 4 Ciągłość C 1 d/dt x l (1) = d/dt x r (0) d/dt x l (1) = 3(P 4 - P 3 ) d/dt x r (0) = 3(P 5 - P 4 ) P 4 - P 3 = P 5 - P 4

9 10/05 9 Instytutu Informatyki P.W.Zakład Grafiki Komputerowej Jednorodne nieułamkowe krzywe B-sklejane Złożona z segmentów Q i Segment określony jest przez 4 punkty kontrolne P i-3, P i-2, P i-2, P i między węzłami Q 3 : P 0 - P 3 dla t Q 4 : P 1 - P 4 dla t... Jednorodne, bo t i, - t i-1 = 1 Nieułamkowe – funkcje wielomianowe B - bo reprezentowanie jako sumy ważone wielomianowych funkcji bazowych Bardzo gładkie ciągłość C 0,C 1,C 2 Sterowanie lokalne - zmiana punktu wpływa na 4 segmenty można łatwo "zamykać" dodając punkty P 0, P 1, P 2

10 10/05 10 Instytutu Informatyki P.W.Zakład Grafiki Komputerowej Funkcje bazowe krzywej B-sklejanej Q(t) = B -3 : ((1-t) 3 / 6 ) P i-3 + B -2 : ((3t 3 -6t 2 +4) / 6) P i-2 + B -1 : ((-3t 3 +3t 2 +3t+1) / 6) P i-1 + B 0 : (t 3 / 6) P i 0 i=-3 B i = 1 B (t) 0 dla t Segment Q i zawarty jest w wielokącie rozpiętym na punktach kontrolnych


Pobierz ppt "10/05 1 Instytutu Informatyki P.W.Zakład Grafiki Komputerowej Krzywe parametryczne x = f x (t); y = f y (t) funkcje liniowex = 20t + 5 y = 10t + 100 t01234."

Podobne prezentacje


Reklamy Google