Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

1 FUNKCJE Opracował: Karol Kara. 2 Czego się dowiesz i co poznasz:   Pojęcie funkcji, dziedzina i przeciwdziedzina Pojęcie funkcji, dziedzina i przeciwdziedzina.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "1 FUNKCJE Opracował: Karol Kara. 2 Czego się dowiesz i co poznasz:   Pojęcie funkcji, dziedzina i przeciwdziedzina Pojęcie funkcji, dziedzina i przeciwdziedzina."— Zapis prezentacji:

1 1 FUNKCJE Opracował: Karol Kara

2 2 Czego się dowiesz i co poznasz:   Pojęcie funkcji, dziedzina i przeciwdziedzina Pojęcie funkcji, dziedzina i przeciwdziedzina   Zbiór wartości funkcji Zbiór wartości funkcji   Sposoby określania funkcji Sposoby określania funkcji   Wykres funkcji Wykres funkcji   Odczytywanie własności funkcji z wykresu Odczytywanie własności funkcji z wykresu   Przykłady funkcji Przykłady funkcji >Funkcja liczbowa >Funkcja linowa >Funkcje nieliniowe Jednomian drugiego stopnia Trójmian drugiego stopnia >Funkcja wykładnicza   Zastosowanie funkcji Zastosowanie funkcji

3 3 Pojęcie funkcji Niech będą dane dwa zbiory A i B. Jeśli każdemu elementowi zbioru A przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru B, to mówimy, że na zbiorze A została określona funkcja f o wartościach w zbiorze B. Zbiór A nazywamy wtedy dziedziną funkcji (i oznaczamy D f), elementy tego zbioru nazywamy argumentami funkcji, zaś zbiór B nazywamy przeciwdziedziną funkcji.

4 4 Zbiór wartości funkcji Funkcje oznaczamy małymi literami (na ogół f, g, h …). Zbiór, do którego należą wszystkie wartości przyjmowane przez funkcję nazywamy zbiorem wartości funkcji. Jeśli f jest funkcją z A w B i a  A, to symbol f(a) oznacza wartość funkcji f dla argumentu a. Zapis f: x  f(x) czytamy: „f jest funkcją, która argumentowi x przyporządkowuje wartość f(x)”.

5 5 Sposoby określania funkcji Sposoby określania funkcji grafu grafu przepisu słownego przepisu słownego Każdej liczbie całkowitej x większej od -4 i mniejsyej od 4 przyporządkowujemy liczb y o dwa mniejszą od połowy kwadratu liczby x. tabelki wzoru lub kilku wzorów wzoru lub kilku wzorów wykresu wykresu Funkcję można określić za pomocą:

6 6 Wykres funkcji Wykresem funkcji nazywamy zbiór tych wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych (x, y), dla których x należy do dziedziny funkcji, a y jest wartością funkcji dla argumentu x.

7 7 Odczytywanie własności funkcji z wykresu Argumentami tej funkcji są liczby: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3; Wartościami tej funkcji są liczby:, 0,, -2; Funkcja ta argumentowi x=1 przyporządkowuje wartość y = ; Funkcja przyjmuje wartość y = dla argumentów x = -3 i x = 3. Z wykresu funkcji można łatwo odczytać, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie. W tym celu wystarczy znaleźć te argumenty, dla których wykres znajduje się nad osią x. Dla tych argumentów, dla których wykres znajduje się pod osią x, funkcja przyjmuje wartości ujemne.

8 8 Przykłady funkcji Funkcja liczbowa Funkcję, której argumentami i wartościami są liczby rzeczywiste, nazywamy funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej lub funkcją liczbową.

9 9 Funkcja liniowa Funkcję określoną wzorem: y = ax + b, gdzie a i b są współczynnikami liczbowymi, nazywamy funkcją liniową. Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Wykresem jest linia prosta. Aby narysować tę prostą, wystarczy znaleźć dwa dowolne jej punkty. Współczynnik a jest współczynnikiem kierunkowym prostej.

10 10 O czym mówią współczynniki funkcji liniowej? Jeżeli a > 0, to funkcja y = ax+ b jest rosnąca: Jeżeli a > 0, to funkcja y = ax+ b jest rosnąca: Jeżeli a < 0, to funkcja y = ax+ b jest malejąca: Jeżeli a < 0, to funkcja y = ax+ b jest malejąca: Jeżeli a = 0, to funkcja y = ax+ b jest stała: Jeżeli a = 0, to funkcja y = ax+ b jest stała:

11 11 Funkcje nieliniowe Funkcja kwadratowa: Jednomian drugiego stopnia y = ax 2. Jednomianem drugiego stopnia nazywamy funkcję daną wzorem: y=ax 2, gdzie x jest zmienną niezależną, a jest stałym współczynnikiem różnym od zera. Dziedziną tej funkcji jest zbiór R wszystkich liczb rzeczywistych. Wykres funkcji y = ax 2, dla a > 0 nazywamy parabolą. Ponieważ najmniejszą wartość, y = 0 funkcja przybiera dla x = 0, więc wierzchołkiem tej paraboli jest punkt (0,0). Zmienia się jedynie kształt paraboli: dla 0 1 parabola jest węższa.

12 12 Porównanie funkcji: y = ax 2 oraz y = - ax 2, a  0. Skoro do wykresu funkcji y = ax 2 należy punkt o współrzędnych (x1, y1), to do wykresu funkcji y = - ax 2 należy punkt o współrzędnych (x1, -y1). Wynika z tego, że wykres funkcji y = - ax2 jest symetryczny względem osi OX do wykresu funkcji y = ax 2. Dla a < 0 funkcja y =ax 2 ma następujące własności: Funkcja przybiera wartości niedodatnie: dla x = 0 jest ax 2 = 0, dla x  0 jest ax 2 < 0 ; Funkcja przybiera wartości ujemne o dowolnie wielkiej wartości bezwzględnej, byleby  x  była dostatecznie wielka. Mówi się, że gdy x  +  lub x  - , to wartość funkcji y  -  ; Dla x = 0 funkcja przybiera największą wartość (maksimum absolutne) równą zeru, nie istnieje natomiast najmniejsza wartość funkcji; Dla przeciwnych wartości zmiennej niezależnej funkcja przybiera te same wartości: ax 2 = a(-x) 2, czyli f(x) = f (-x); Dla dodatnich wartości zmiennej niezależnej funkcja jest malejąca, dla ujemnych jest rosnąca. Punkt, którego rzędna jest równa maksymalnej wartości funkcji nazywamy wierzchołkiem paraboli. Dla tych wszystkich parabol wierzchołkiem jest punkt (0,0).

13 13 Trójmian drugiego stopnia Funkcję określoną wzorem y = ax +bx +c nazywamy trójmianem kwadratowym, postać kanoniczna tego wzoru to y = a (x -p) +q, gdzie p, q – współrzędne wierzchołka paraboli. 2 2 Przykład. Rozpatrzmy dwie funkcje: y = 2x – 3 y = 2x 2 Porównując te funkcje można zauważyć, że tym samym wartościom zmiennej x odpowiadają w funkcji 1) wartości o trzy mniejsze niż w funkcji 2). Znaczy to, że wykres 1) powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji 2) o wektor równoległy do osi OY i takie, że q = -3. Wierzchołek paraboli ma współrzędne (0, -3). Wartość y = -3 jest najmniejszą wartością funkcji.

14 14 Funkcja wykładnicza Funkcję: y = a x, gdzie aє R+\{1} nazywamy funkcją wykładniczą. Funkcję: y = a x, gdzie aє R+\{1} nazywamy funkcją wykładniczą.

15 15 Zastosowanie funkcji Za pomocą funkcji opisujemy zwykle, w jaki sposób zmienia się jedna wielkość w zależności od drugiej; Za pomocą funkcji opisujemy zwykle, w jaki sposób zmienia się jedna wielkość w zależności od drugiej; Za pomocą funkcji można przedstawić matematycznie wiele związków fizycznych i technicznych, np. wyznaczyć, jaki wynik otrzyma się na podstawie wszystkich możliwych wartości początkowych. Za pomocą funkcji można przedstawić matematycznie wiele związków fizycznych i technicznych, np. wyznaczyć, jaki wynik otrzyma się na podstawie wszystkich możliwych wartości początkowych.


Pobierz ppt "1 FUNKCJE Opracował: Karol Kara. 2 Czego się dowiesz i co poznasz:   Pojęcie funkcji, dziedzina i przeciwdziedzina Pojęcie funkcji, dziedzina i przeciwdziedzina."

Podobne prezentacje


Reklamy Google